《線性代數(shù)》學(xué)習(xí)中三次方程求根方法探討

萬前紅

(湖南工商大學(xué)理學(xué)院，湖南 長沙 410205)

《線性代數(shù)》是高等學(xué)校理科、工科及經(jīng)濟類等非數(shù)學(xué)專業(yè)本科生必須學(xué)習(xí)的一門公共基礎(chǔ)課程，該課程具有概念多、抽象、邏輯嚴(yán)密等特點線性代數(shù)知識體系中，包含兩個重要內(nèi)容，一個是線性方程組解的判別，另一個是方陣特征值的計算眾所周知，《線性代數(shù)》是以線性方程組為主線發(fā)展起來的，從而線性方程組解的判別與求解對于學(xué)習(xí)線性代數(shù)十分重要方陣特征值與特征向量是計算方陣高次冪、二次型化標(biāo)準(zhǔn)型的重要方法的基礎(chǔ)

若一個實際問題轉(zhuǎn)化成系數(shù)矩陣為方陣且含有參數(shù)的線性方程組，我們需要對其解進(jìn)行判別，如例1

針對例1，我們可以使用初等變換法將系數(shù)矩陣化為行階梯形或行最簡形，然后利用系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩以及它們與未知數(shù)之間的關(guān)系來判別方程組的解但系數(shù)矩陣含有參數(shù)，不僅在化行階梯形或行最簡形的過程中容易出錯，而且討論含參數(shù)的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩以及它們與未知數(shù)之間的關(guān)系來判別方程組解的難度也不小又因為系數(shù)矩陣是方陣，所以我們可以考慮使用克萊姆法則來進(jìn)行判定

對含有個未知量、個方程的線性方程組

(1)

注：在克萊姆法則中，系數(shù)行列式=||不等于零，是方程組(1)有唯一解的充分必要條件

根據(jù)克萊姆法則，我們來解例1：

利用集合補集的計算，我們有：方程組無解或有無窮多解當(dāng)且僅當(dāng)=≠0或者=0

在解答例1的過程中，我們發(fā)現(xiàn)最關(guān)鍵的一步是計算系數(shù)矩陣的行列式不等于零，而此過程相當(dāng)于計算一個三次方程根的補集

若要計算一個方陣的特征值，如例2

由線性代數(shù)知識可知，方陣的特征值是其特征多項式的根針對例2，即是求

的根

由此我們發(fā)現(xiàn)解決例1、例2均以求方程的根為基礎(chǔ)很多學(xué)生對解決例1和例2的方法步驟是比較清晰的，但是卻沒有得到最后結(jié)果經(jīng)過調(diào)查分析我們發(fā)現(xiàn)，主要問題在于學(xué)生不會計算高次方程的根下文就方程求根問題，結(jié)合線性代數(shù)知識列舉幾種方程求根方法

1 整系數(shù)多項式的有理根

該引理提供了一個求整系數(shù)多項式全部有理根的方法見下例3

為了更好地利用引理1求方程的有理根，我們需要下面引理：

設(shè)是次多項式方程()=0的重根的充分必要條件是()的階導(dǎo)函數(shù)()()=0(=0,…,-1)，且()的階導(dǎo)函數(shù)()()≠0

3求例2中方程-4+5-2=0的所有根

令()=-4+5-2,次數(shù)最高項的系數(shù)為1，因而因子為±1；常數(shù)項為-2，因而因子為±1,±2由引理1，方程的所有有理根可能為±1,±2經(jīng)驗證，2和1為方程的根

()的導(dǎo)函數(shù)′()=3-8+5經(jīng)驗證，1為′()的根,2不是″()的根,由引理2可知，1為()的二重根因此我們找到了()的三個根：2，1，1由代數(shù)學(xué)基本定理可知(參見[1])，三次方程共有3個根，因此我們找到了()的所有根

需要說明的是，該引理中雖然要求多項式的系數(shù)為整數(shù)，但是對一般的方程，我們可以通過系數(shù)處理，使其變?yōu)檎禂?shù)

2 利用行列式的性質(zhì)尋找根

如果行列式中兩行(列)元素對應(yīng)成比例，那么行列式值為零

我們用一個例子來說明如何利用該性質(zhì)求方程的根

矩陣的特征方程為

若

則行列式的第1行和第2行元素對應(yīng)成比例，由性質(zhì)1可知，此時-1=-2滿足方程，即=-1是方程的根所以

|-|=-3-9-5=(+1)(),

其中()可按多項式的除法得到具體計算如下：

即()=-4-5所以|-|=(+1)(-4-5)=(+1)(-5)從而，方陣的特征值為=5，==-1

若行列式中有一行(列)元素全為0，則行列式的值為0

我們以例2為例說明該性質(zhì)的應(yīng)用

此題還可以按下面性質(zhì)來考慮：

行列式的值等于其某一行(列)的元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和

從而矩陣的特征值為2，1(二重)

性質(zhì)3提示我們，在處理高階行列式時，我們可利用行列式的初等變換，將行列式的某行(列)化成只有一個元素不為零然后利用性質(zhì)3，即可分離出特征多項式的一個因式，從而找到特征多項式的一個根且可以一直重復(fù)此步驟，直到將行列式的階數(shù)降為2階為止

3 直接利用三次方程的通用求根公式

3.1 將一般三次方程轉(zhuǎn)化為不完全三次方程

3.2 不完全三次方程求根

其中是虛數(shù)單位該方法的最大優(yōu)勢是可以找出三次方程無理根和復(fù)數(shù)根三次方程的根還有其余表示形式，參見[4]

5求+1=0的全部根

利用因式分解+1=(+1)(-+1)及二次方程的求根公式，很容易驗證上面用不完全三次方程求根公式法計算出來的根是正確的

4 結(jié) 語

線性方程組在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用是非常廣泛的,不僅可以廣泛地應(yīng)用于數(shù)學(xué)自身，還可以應(yīng)用于經(jīng)濟學(xué)、統(tǒng)計學(xué)、工程學(xué)、計算機科學(xué)、物理學(xué)、力學(xué)、通信、航空等學(xué)科和領(lǐng)域，相關(guān)問題均可將問題轉(zhuǎn)化為線性方程組求解特征值與特征多項式也廣泛地應(yīng)用于數(shù)學(xué)自身，如，F(xiàn)ibonacci數(shù)列通項公式計算、矩陣高次冪的運算、二次型的標(biāo)準(zhǔn)化等，同時也應(yīng)用于其他領(lǐng)域，如統(tǒng)計學(xué)中的主成分分析法本文所介紹的三次方程求根方法為線性方程組解的判別、特征值的計算提供了更多途徑，幾種方法之間可以融合起來使用，且均可以應(yīng)用到高次方程的求解，為我們奠定學(xué)習(xí)線性代數(shù)的基礎(chǔ)