數學閱讀課
——“圓周率π”教學探索

林楚涵

(廈門外國語學校海滄附屬學校，福建 廈門 361000)

在如今的初中教學里，無論何種學科，培養學生的閱讀理解能力，對提煉問題、分析問題、解決問題以及提高學生的學習素養，都起著至關重要的作用因此，身為數學教師也需要緊跟時代的要求，在教學過程中，設法加強閱讀指導和訓練，幫助學生厘清思路、掌握概念、凝練方法、發散研究、靈活解答筆者嘗試利用校內數學閱讀課的開展來實現數學閱讀指導，激發學生數學閱讀的興趣，提升學生的數學閱讀水平下面以一節有關于圓周率π的閱讀課進行呈現，探求培養中學生數學閱讀能力的方式

一、本節閱讀課的目標

1了解圓周率的發展史，了解在研究圓周率過程中做出貢獻和成就的科學家，以及他們的研究方法

2理解劉徽割圓術的研究方法，體會其中取極限的數學思想

3運用割圓術的極限思想，對一些簡單的數學問題進行探究

4梳理閱讀材料，從中總結出有關數學材料閱讀的審題方法和做題方向

5通過材料閱讀和解析，培養分析問題、解決問題的能力和應用意識，養成縝密的數學思維習慣，提升數學閱讀能力

6展現數學家們研究工作的部分內容，體會數學家們表現出來的科研精神，激發學生的學習熱情和學習動力

二、材料呈現

請大家閱讀以下材料，并回答問題：

我們知道,圓的周長=2π，面積=π，你知道公式中的π是怎么計算出來的嗎？學過了正多邊形和圓，就可以說出其中的道理了

圖1

由公式=2π可知,如果已經求得圓的周長，那么只需把它和圓的直徑相比就能得到圓周率π因此，求圓周率π的問題在某種意義上就可歸結為求圓的周長實際上，公式中圓的周長是可以用圓內接正多邊形的周長來近似代替的如圖1，把圓等分，順次連接各分點，便得到一個正邊形，再取這段弧的中點，連同前面的個分點得到2個分點，順次連接這2個點，便得到正2邊形繼續這樣做下去,圓內接正多邊形的邊數就是4，8，16，32，…，隨著邊數的成倍增多，它們的周長也越來越接近圓的周長，也越來越接近圓周長與直徑的比值,這個數就是圓周率ππ是一個無理數，π=3141592653589793…

三、數學閱讀能力的培養

1培養學生數學閱讀的概括能力

【問題呈現】

問題一：由=2π得π=________，求圓周率π的問題，可以歸結為求________________

問題二：劉徽確定圓周率的方法叫做________

問題三：歸納出π的發展的時間軸

設計意圖：教師設置帶梯度的數學閱讀問題，引導學生層層深入，進行思考總結，激發更深層次的數學閱讀能力首先，問題一只需要通讀材料，就可從文中直接找到答案其次，問題二考查學生的查找辨析能力，需要從整段材料里，定位到關鍵人物，找到其確定圓周率的方法名稱最后，問題三是考查學生的信息整合、分析能力，要求能夠按照π的發展的時間順序，整理歸納出相關的科學人物、研究方法、研究成果，形成一條完整的時間軸，并加以適當的備注補充

【教學實施】

教師先給學生留足閱讀數學材料的時間，讓他們有自主嘗試答題的機會在個別同學遇到困難的時候，教師開放小組討論，鼓勵溝通，幫助突破同時，教師要觀察了解學生對于數學閱讀題的答題思路和方法，并加以點撥

開始時，學生自然而然地能從材料的第二段前三句話中尋找到問題一的答案，直接快速地得出結論在問題二中，學生通過仔細閱讀材料第三段，能從中定位到關鍵人物“劉徽”，從而得出他確定圓周率的方法“割圓術”同時，此段落為問題四進一步研究割圓術，并類比此法解決其他數學問題做鋪墊在問題三的處理方式上，學生各有不同，有的學生僅僅整理出圓周率發展的四個不同時期，就匆匆結束答題，有的則將材料中復雜的文字描述完整地抄寫到答題區，而沒有經過思考，提煉總結，這些都反映了其提取信息，歸納整合，反饋結果能力的不足，需要進一步培養而部分同學通過清晰的時間軸，明確對應時期、人物、研究方法、所做貢獻的關系，展現出了較好的數學閱讀的素質

【教學建議】

教師要從學生的認知角度出發，解決本階段學生的主要困惑，引導他們掌握閱讀的技巧，體會解題的方向，激發學生的閱讀興趣，著力培養學生的數學閱讀能力教師要帶領學生，做到以下幾點：(1)先通讀材料，了解文章主題，做到心中有數(2)再讀題目，明確考查方向，初步嘗試答題(3)帶著問題再詳讀材料，拿筆圈點涂畫，在草稿區梳理思路(4)剖析文章，重整信息，完善答題觀點，清晰答題(5)在此過程中，向學生滲透數學發展史，同時去體會數學家們精益求精、堅持不懈的研究精神，以此激勵學生不斷探索發現，培養出勤奮好學、刻苦鉆研、努力投身科學研究的新一代青年

2培養學生數學閱讀的類比能力

【問題呈現】

問題四：

圖2

(1)用割圓術求圓面積公式

如圖2，已知圓，半徑為作出圓的內接正邊形，再連接圓心和各個頂點，每一個小三角形的底近似為________，高近似為________，所以面積為________(用含和的式子表示)，當趨近于無窮時，推導出圓的面積公式=________

(2)用割圓術求扇形面積公式

設計意圖：本環節是建立在學生已經掌握“正多邊形和圓”這節課的基礎上的，需要學生繼續熟讀材料的第二段，理解在圓中構造內接正多邊形，求正多邊形周長的作法，明白隨著邊數成倍增長，多邊形的周長也越接近圓的周長體會割圓術中取極限的數學思想，當趨近于無窮，多邊形的周長=圓的周長，并嘗試用這樣的思想，去印證已學習過的圓和扇形的面積公式

【教學實施】

再次帶領學生細讀第二自然段，教師借助多媒體，展示“割圓術”的運算過程：作圓的內接正邊形，已知正邊形的邊長，求正2邊形的邊長2，隨著越來越大，正多邊形的形狀、周長也越來越接近圓給出圓的內接正邊形的周長的計算公式與結果，引導學生觀察運算的規律，總結出運算結果的精確度隨的增大而增大體會極限的數學思想，從而運用在求圓和扇形的面積公式中得出當趨近于無窮的時候，個三角形的面積之和約等于圓或扇形的面積

【教學建議】

本環節需要學生在擁有整合概括能力的同時，進一步運用類比的能力，將所學到的思想方法，運用到新的題目中教師可以嘗試：(1)和學生一起在第三段中找到割圓術的本質，是“利用圓的內接正多邊形來確定圓周率”，緊接著定位到第二段，內容為圓內接多邊形的詳細描述(2)帶領學生，對第二段進行劃分，1—3句為第一部分，第4句“如圖，把圓等分……”到本段結尾為第二部分(3)總結每個部分的敘述重點，第一部分：將求π的問題轉化為求圓周長的問題，并提出用圓內接正多邊形的周長近似代替第二部分：揭示詳細做法，并用圖示進一步說明，邊數越多，正多邊形周長越接近圓周長，其與直徑的比值也更接近π(4)針對第二部分，借助多媒體進一步詳細展示，動態演示正多邊形逐漸接近圓的過程，并總結出取極限的數學思想(5)按照問題四，一步一步將圓和扇形面積公式所需要的元素用含的式子表示，運用極限的數學思想，在最終計算里成功約去，得到我們常用的圓的面積公式和扇形面積公式

3培養學生數學閱讀的遷移能力

【問題呈現】

設計意圖：希望學生通過這節課學習到π的發展史，了解東漢初年的研究成果在圓周率的研究初期，學者們通過粗略的計算，得出了“直徑為一，周長是其三倍”的結論這說明了直徑與圓周長之間的比例關系，也是計算圓周率π的萌芽時期本題需要學生真正去閱讀和理解材料，有文言翻譯的能力，細心觀察圖形，簡單運算推出結論，而不是憑借經驗錯誤猜想

【教學實施】

教師要引導學生在讀懂吃透材料的前提下，結合題目要求，認真分析學生自述解題觀點：問題五中“徑一周三”的意思是若直徑為一，則周長為它的三倍，而本題中圓的直徑=1，則圓周長為3鐵絲形狀是半圓，長度是圓周長的一半，即為15，進而，在圖中數軸選出正確的點有部分同學選擇點，是沒有關注到鐵絲是半圓，錯將整個圓的周長作為本題的答案還有部分同學選擇點，不僅是沒有注意圖形，更是盲目借助以往的經驗，想當然地認為直徑是1，則周長=π=314，不顧閱讀材料中的說明，導致錯選

【教學建議】

在詳細品讀、充分理解、深刻記憶數學閱讀材料的基礎上，我們希望學生能將曾經閱讀過的信息以及題干所給的信息充分融合，在數學解題技巧上融會貫通學生不僅要仔細閱讀題干的文字說明，將其翻譯成數學的等量關系，同時要仔細剖析圖形，不要出現想當然錯解的情況，要讓數學閱讀成為數學答題的奠基石，同時避免學習經驗成為解題的絆腳石

【問題呈現】

圖4

問題六：我國魏晉時期的數學家劉徽首創“割圓術”計算圓周率隨著時代發展，人們現在依據頻率估計概率這一原理，常用隨機模擬的方法對圓周率π進行估計用計算機隨機產生個有序數對(，)(，是實數，且0≤≤1，0≤≤1)，它們對應的點在平面直角坐標系中全部在某一個正方形的邊界及其內部，如果統計出這些點中到原點的距離小于或等于1的點有個，則據此可估計π的值為( )

【教學實施】

【教學建議】

教師要引導學生，在大量的材料信息中抽象出相對應的數學核心考點，培養學生理解知識之間的聯系，將幾何概型、頻率與概率的關系、面積之比、運用等式的性質進行公式的變形等知識點融會貫通

【問題呈現】

設計意圖：本題考查的是無限與有限的轉化思想，在練習了很多有關圓周率的題目后，留給學生這樣一道拓展題，其實是想讓學生體會其中的轉化過程，因為在方程中運用了無限的數學思想，從而讓學生體會數學思想的運用的可能性是無窮的，明白數學閱讀的發展性

【教學實施】

【教學建議】

本題主要是幫助學生發散思維，在圓周率的研究歷史中能夠體會到取極限的數學思想，而在看似不相關的方程領域遇到如此題型，要迅速提煉要點，將已學知識轉化成已有的技能，用更多的耐心和勇氣，沉著面對表述冗雜、說辭新穎的數學閱讀題，撥開云霧尋找解題的真相

四、關于數學閱讀課的反思

這是我們首次嘗試在校內開展以數學閱讀為目標的完整的一節課，可以說效果頗佳一位學生在課堂總結的環節發言道：“這節課和我們以往的數學課有很大的不同，讓我發現通過閱讀能夠掌握這么多有趣的數學發展史！數學知識也可以像故事一樣，去探求它的來龍去脈，讓我們看到對于圓周率的探究，古今中外許多數學家做出了努力和貢獻，他們的方法源遠流長，直至今日都可以發揮作用雖然我對于數學閱讀課的形式還沒有很熟悉，但是感覺收獲滿滿，回味無窮”

數學閱讀課給我們的啟發：數學閱讀課不是空中樓閣，而是可以經過研究論證，不斷修繕，磨煉出來的一種主題課程我們嘗試提煉出其課程的主要環節：1呈現閱讀材料；2問題鏈引導探索；3同主題下不同題型的探究；4思維發散、拓展提升在新課改下，數學學習對于學生的數學閱讀能力有著日益增長的需求，新題型也層出不窮，急需當代教師完成自我成長，提高主題課程設計的能力在課程中，教師能引導學生明晰主題，解讀問題，厘清概念，重視例題，進行數學思考，提升閱讀能力我們希望有更多的數學閱讀的課程的開發，在教學中增加數學閱讀的趣味性，提升數學閱讀課程的內涵，激發學生探索數學問題的興趣，探索未知的動力，建立牢固的數學知識體系，培養嚴謹的數學思維，助力學生數學素養的提升！