基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下深度教學(xué)的三種策略
——以事件的關(guān)系與運(yùn)算為例

周 瑛

(浙江省永嘉中學(xué)，浙江 永嘉 325100)

“事件的關(guān)系與運(yùn)算”這節(jié)課的課程標(biāo)準(zhǔn)要求：了解隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，知道隨機(jī)事件的含義，并能識(shí)別它們之間的關(guān)系；知道隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算的集合表示，能用簡(jiǎn)單隨機(jī)事件表示復(fù)雜的隨機(jī)事件，能結(jié)合實(shí)例進(jìn)行隨機(jī)事件的并交運(yùn)算

概率研究的一個(gè)重要方法是建立一些運(yùn)算法則，用簡(jiǎn)單事件的概率推算復(fù)雜事件的概率這就需要研究事件之間的關(guān)系與運(yùn)算，而用簡(jiǎn)單事件的運(yùn)算表示復(fù)雜事件的概率是概率學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)所以，教師要通過(guò)不同語(yǔ)言轉(zhuǎn)換及多種不同方法突破此難點(diǎn),為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)事件獨(dú)立性、概率的基本性質(zhì)、概率的計(jì)算、排列組合、隨機(jī)變量分布列等內(nèi)容打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)

基于以上分析，下面談?wù)勅绾芜M(jìn)行基于核心素養(yǎng)下的深度教學(xué)策略

一、加強(qiáng)教師對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)內(nèi)涵的深刻理解

事件的關(guān)系與運(yùn)算的教學(xué)目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)思想方法,重點(diǎn)是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)

(一)數(shù)學(xué)抽象

特征：(1)符號(hào)式：數(shù)學(xué)概念、學(xué)習(xí)方法都可以進(jìn)行抽象，都可以使用抽象的符號(hào)來(lái)表達(dá)

(2)階梯式：逐級(jí)抽象，下一次的抽象是建立在一次抽象材料的基礎(chǔ)之上，甚至在更早的抽象材料上拾級(jí)而上

(3)廣泛性：高度的抽象必然有高度的概括

如，本節(jié)課至少有四次抽象，具體如下：

第一次抽象：

引入問(wèn)題：在擲骰子的試驗(yàn)中，觀察骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，可以定義許多事件

設(shè)計(jì)意圖：要求學(xué)生將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，再轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言

事件集合形式事件集合形式C1=“點(diǎn)數(shù)為1”C1={1}C2=“點(diǎn)數(shù)為2”C2={2}D1=“點(diǎn)數(shù)不大于3”D1={1,2,3}D2=“點(diǎn)數(shù)大于3”D2={4,5,6}E1=“點(diǎn)數(shù)為1或2”E1={1,2}E2=“點(diǎn)數(shù)為2或3”E2={2,3}F1=“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”F1={2,4,6}F2=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”F2={1,3,5}

第二次抽象：

將事件的關(guān)系與運(yùn)算用自然語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言三種語(yǔ)言描述

事件的關(guān)系或運(yùn)算自然語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言包含關(guān)系A(chǔ)發(fā)生則B一定發(fā)生B?A(或A?B)相等關(guān)系A(chǔ)發(fā)生B一定發(fā)生,且B發(fā)生A一定發(fā)生B?A且A?B(或A=B)并(和)事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生A∪B(或A+B)交(積)事件A與B同時(shí)發(fā)生A∩B(或AB)互斥事件A與B不能同時(shí)發(fā)生A∩B=?對(duì)立事件A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生A∩B=?A∪B=Ω

第三次抽象：

模型抽象：

(1)較復(fù)雜的試驗(yàn)，按模型歸類可輕而易舉得以解決例如,拋擲一枚硬幣；1個(gè)產(chǎn)品是正品還是次品；射擊是否命中；新生兒的性別等這些試驗(yàn)的樣本空間具有相同的結(jié)構(gòu)這一模型的學(xué)習(xí)可為兩點(diǎn)分布打下基礎(chǔ)

(2)拋擲3枚硬幣；拋擲3次骰子；觀察三個(gè)元件構(gòu)成的電路是否通暢等都是3次重復(fù)試驗(yàn)的問(wèn)題依次類推，可以得出次重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?放球入盒、兩人比賽問(wèn)題也可以化為有放回摸球問(wèn)題這一模型的學(xué)習(xí)可為二項(xiàng)分布打下基礎(chǔ)

(3)抽簽問(wèn)題：抽到次品與正品；摸球不放回等都可以化為不放回模型，為超幾何分布的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)

(4)兩個(gè)隨機(jī)事件運(yùn)算結(jié)果抽象

第四次抽象:

方法抽象：如類比、歸納等研究方法

(二)邏輯推理

邏輯推理是指從已有事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)律推出其他命題的思維過(guò)程主要包括兩類，一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；另一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要是演繹

從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的研究過(guò)程來(lái)看，我們經(jīng)常使用如下的邏輯思考方法：

它突出了聯(lián)系的特點(diǎn)，通過(guò)類比、推廣、特殊化等方式，可以有力地促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，使學(xué)生更有效地尋找自己感興趣的問(wèn)題，從而獲得研究方法的啟示

本節(jié)課可以用集合的觀點(diǎn)來(lái)研究事件的關(guān)系和運(yùn)算：

此外，事件關(guān)系與運(yùn)算的得出都是從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，先舉實(shí)例，由特殊到一般，再?gòu)囊话愕教厥馔瑫r(shí)，教師選的例子也應(yīng)呈現(xiàn)進(jìn)階性，事件個(gè)數(shù)從一個(gè)到二個(gè)，再到三個(gè)，再到個(gè)

數(shù)學(xué)思維活動(dòng)是數(shù)學(xué)素養(yǎng)形成與發(fā)展的核心過(guò)程要素，有效的問(wèn)題鏈可以引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入深度學(xué)習(xí)基于問(wèn)題鏈的概念課堂教學(xué)應(yīng)著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，在學(xué)生原有的基礎(chǔ)上進(jìn)行，通過(guò)獨(dú)立活動(dòng)提升其解決問(wèn)題的水平，再提供需要挖掘、有難度的內(nèi)容激發(fā)學(xué)生的潛能，提升學(xué)生的發(fā)展水平，并超越其最近發(fā)展區(qū)而達(dá)到下一發(fā)展階段，教師在此基礎(chǔ)之上進(jìn)行下一個(gè)階段的教學(xué)

設(shè)計(jì)問(wèn)題鏈的流程：

本節(jié)課可以設(shè)置以下問(wèn)題鏈：

問(wèn)題1：你能說(shuō)說(shuō)本試驗(yàn)的其他事件嗎？試用集合的形式表示這些事件

問(wèn)題2：借助集合之間的關(guān)系與運(yùn)算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間類似的聯(lián)系嗎？

問(wèn)題3：你能說(shuō)出實(shí)際生活中具有包含關(guān)系的隨機(jī)事件嗎？

問(wèn)題4：你能歸納概括一下不可能事件的定義嗎？

問(wèn)題5：你能舉出事件的一個(gè)互斥事件嗎？對(duì)立事件呢？

問(wèn)題6：互斥事件與對(duì)立事件的聯(lián)系和區(qū)別有哪些？

問(wèn)題7：三個(gè)事件的并事件；交事件你能寫出來(lái)嗎？

問(wèn)題8：你能寫出表示兩個(gè)元件工作狀態(tài)的樣本空間嗎？

問(wèn)題9：你能用集合的形式表示事件、事件以及它們的對(duì)立事件嗎？

問(wèn)題11：如何用事件的運(yùn)算得到新的事件

問(wèn)題12：將串聯(lián)改為并聯(lián)，你又如何看待這幾個(gè)問(wèn)題？2個(gè)元件改為4個(gè)元件，你又如何解決這幾個(gè)問(wèn)題？摸球事件與電路試驗(yàn)有何聯(lián)系？

問(wèn)題13：你有什么收獲？

三、提升學(xué)生的參與度

學(xué)習(xí)主體在思維活動(dòng)中的經(jīng)歷、體驗(yàn)、反思過(guò)程中產(chǎn)生的情感共鳴是其數(shù)學(xué)素養(yǎng)形成與發(fā)展的催化劑

深度學(xué)習(xí)流程圖如下：

具體措施：

1適當(dāng)留白

2設(shè)置學(xué)生感興趣的探究題

如：以通用技術(shù)中接線路問(wèn)題為切入點(diǎn),層層遞進(jìn)設(shè)置問(wèn)題,提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

現(xiàn)有4個(gè)外觀一致的電子元件甲、乙、丙、丁，每個(gè)元件可能正?；蚴?/p>

如圖，由甲、乙兩個(gè)元件組成一個(gè)串聯(lián)電路，觀察兩個(gè)元件正?；蚴У那闆r設(shè)事件=“甲元件正?！保?“乙元件正?！?/p>

(1)寫出表示兩個(gè)元件工作狀態(tài)的樣本空間

(2)用集合的形式表示事件，以及它們的對(duì)立事件

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固概念

2已知電子元件甲、乙(標(biāo)號(hào)為1和2)正常，丙、丁(標(biāo)號(hào)為3和4)失效，現(xiàn)從中不放回地依次隨機(jī)抽取2個(gè)元件，如圖，組裝成一個(gè)串聯(lián)電路

設(shè)事件=“第一次抽取到正常元件”，=“第二次到抽取正常元件”，

=“兩次都抽取到正常元件”，=“兩次都抽取到失效元件”，

=“兩次抽取的元件狀態(tài)相同”，=“電路不能正常工作”

(1)用集合的形式分別寫出試驗(yàn)的樣本空間以及上述各事件

(2)事件與，與，與之間分別有什么關(guān)系？

(3)∪與事件有什么關(guān)系？∩與事件有什么關(guān)系？

變式方法:

(1)將電子元件甲、乙、丙、丁改為紅球1號(hào)、2號(hào)，綠球3號(hào)、4號(hào)

(2)從中不放回地依次隨機(jī)抽取2個(gè)元件改為從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球

(3)=“第一次抽取到正常元件”→“第一次摸到紅球”，

=“第二次抽取到正常元件”→“第二次摸到紅球”，

=“兩次都抽取到正常元件”→“兩次都摸到紅球”，

=“兩次都抽取到失效元件”→“兩次都摸到綠球”，

=“兩次抽取的元件狀態(tài)相同”→“兩個(gè)球顏色相同”，

=“電路不能正常工作”→“兩個(gè)球顏色不同”

上述例題從兩個(gè)元件的串聯(lián)，到兩個(gè)元件的并聯(lián)，再到四個(gè)元件選兩個(gè)進(jìn)行串聯(lián)，再到抽象出一樣模型的摸球問(wèn)題，逐層遞進(jìn)問(wèn)題還可以挖掘，如拓展為三個(gè)正常元件等，讓學(xué)生帶著問(wèn)題回顧課堂所謂學(xué)習(xí)不止，探究不息

3給學(xué)生展示的機(jī)會(huì)與適當(dāng)?shù)墓膭?lì)

教師要經(jīng)常巡視班級(jí)，多多傾聽(tīng)學(xué)生的想法，給予學(xué)生正面的評(píng)價(jià)與鼓勵(lì)，讓學(xué)生充滿學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成就感，對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)更加有興趣，同時(shí)設(shè)置淺層的問(wèn)題，幫助學(xué)困生逐漸提起學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使其在不斷的鼓勵(lì)中形成數(shù)學(xué)思維

四、結(jié) 語(yǔ)

數(shù)學(xué)的世界是星辰大海，是浩瀚宇宙，它深邃唯美作為教師，應(yīng)該帶領(lǐng)求知欲旺盛的學(xué)生們探究數(shù)學(xué)，感悟數(shù)學(xué)，享受數(shù)學(xué)紙上得來(lái)終覺(jué)淺,絕知此事要躬行,教師在平常教學(xué)中要踐行基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下深度教學(xué)的三種策略,真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，從而實(shí)現(xiàn)立德樹(shù)人