指向深度學習的高中數學學歷案專題復習課教學實踐
——以“函數奇偶性、單調性求解不等式”為例

耿 幸

(上海市嘉定區第二中學，上海 201812)

深度學習是指在理解的基礎上，學習者能夠批判地學習新思想和事實，并將它們融入原有的認知結構中，能夠在眾多思想間進行聯系，并能夠將已有的知識遷移到新的情境中，做出決策和解決問題的學習開展深度學習是培養高中生數學核心素養的一個重要途徑，通過教師精心設計教學過程和學習材料，從教師主導課堂走向學生主導課堂，教師為學生提供思考和知識學習的素材，幫助學生挖掘知識內容，學生在課堂中全程參與、提升能力、發展素養

深度學習主要有以下幾個特點：

1深度學習遵循學習者身心發展和科學認知規律深度學習活動應是基于教育教學規律、心理學、腦科學等科學設計并展開的學習活動開展學習活動的過程中，不管是學習內容、學習方式、學習環境等各方面的因素都必須和學習者的年齡、身心發展水平及認知能力相符合，這是深度學習的前提

2深度學習要求學習者深入理解學習對象學習者對研究對象進行全面深入的理解是實現深度學習的核心學習者深入理解問題本身，就能在后續的問題處理中分析解決并完成對知識的自主建構

3深度學習促進學習者對知識的遷移應用學習者對學習對象產生的深刻認識可以使知識系統化、結構化，并為后續知識的學習產生正向遷移，并對學習者的實踐活動產生積極影響

學歷案教學能夠促進深度學習的發生，它是在教學中培養學生核心素養的有效手段學歷案是指教師在班級教學背景下，圍繞一個具體的學習單位(主題、課文或單元)，從期望“學會什么”出發，設計并展示“學生何以學會”的過程，以便于學生自主建構或社會建構經驗及知識的專業方案這個角度是以學生為本，教師自己設計學生從哪些方面來學會東西，并有相應的評價任務教師基于課程標準，結合學情，設計合理的、吸引學生積極參與學習的、促進學生發展的學習方案,通過設置合理的課堂情境，讓學生投入學習、真實學習教師通過學歷案引導學生自主構建知識框架，更加關注學生“怎么學”“學會什么”學歷案中明確深度學習的目標，讓學生感受知識學習的意義與價值；創設有挑戰性的問題情境，誘導學生的興趣或思考；設置指向學科核心素養、有意義的任務；強調多感官參與，提供合作、探究、展示與交流的機會；選擇真實情境，強調學以致用，開展表現性評價；設計學后反思的路徑，引導學生養成反思學習的習慣，從而實現學生對知識的“深度學習”

下面以“函數奇偶性、單調性求解不等式”為例談高中數學專題復習課學歷案的實踐與思考

【學習主題】函數奇偶性、單調性求解不等式

【學習目標】1能熟練運用函數的奇偶性和單調性來解決一些不等式問題

2體會數形結合思想在解決抽象函數不等式中的應用，提升數學抽象、邏輯推理等方面的數學素養

【評價任務】1回答問題1，完成探究1、探究2(檢測目標1)

2回答思考1、思考2、思考3，回答問題2，完成探究3(檢測目標2)

【教學過程】

(一)課前準備

1復習：函數奇偶性和單調性的定義函數奇偶性和單調性的圖像特征是什么？

2回顧以下兩題的解題思路：

(2)已知函數=()是定義在上的奇函數，且在[0,+∞)上單調遞減，當+=2019時，恒有()+(2019)>()成立，則的取值范圍是________

設計意圖：教師利用最近學生完成的試卷中出現的問題引入，比較具有針對性，容易激發學生的學習興趣和學習情感，這樣的設計為本節課的自然引入提供契機

(二)課堂學習

問題1：如果已經知道函數的奇偶性，那么這個函數在關于原點對稱的區間上的單調性有什么特征？

學生活動：思考，并說出自己的想法

1如果()是奇函數，則()在關于原點對稱的區間上的單調性

2如果()是偶函數，則()在關于原點對稱的區間上的單調性

設計意圖：學生通過對以往所學知識的抽象概括，鍛煉了數學抽象能力，以及提升了學習的主動性

探究一：已知函數部分解析式，如何結合函數奇偶性求解不等式？

1設函數()是定義在上的奇函數，若當∈(0,+∞)時，()=lg，則滿足()>0的的取值范圍是____________

變式1：設函數()是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數，若當∈(0,+∞)時，()=lg，則滿足()>0的的取值范圍是____________

變式2：設函數()是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數，若當∈(0,+∞)時，()=lg，則滿足(-1)>0的的取值范圍是____________

思考1：能否從代數運算的角度來解決這道題呢？

問題2：在處理有關利用函數奇偶性、單調性求解不等式的問題時，有哪些基本解題思路呢?

學生:主要有兩種思路：一種是利用函數奇偶性和單調性，畫出函數的大致圖像來進行求解；另一種是利用函數的奇偶性，求出函數的解析式，再進行求解第一種方法明顯簡單一點，也比較好操作

變式3：設函數()是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數，若當∈(0,+∞)時，()=lg，則滿足(-1)>1的的取值范圍是____________

設計意圖：此環節通過對原題進行變式，循序漸進地向學生拋出一個接一個的問題，深度挖掘利用函數奇偶性和單調性求解不等式的方法，分解了本課的難點

探究二：抽象函數問題中，如何利用函數奇偶性和單調性解不等式？

教師：通過二次函數的最值可以發現+1,-2+2都位于[1,3]上，此時只需要借助單調性求解即可，避免了大量的冗余計算當然最后對于這幾個不等式的解求交集運算，這個是我們需要注意的

思考2：在處理這些問題中利用了函數奇偶性和單調性的哪些特點？

如果()是偶函數，當∈[0,+∞)時，()為增函數，則()≥()可推出||≥||；

如果()是偶函數，當∈[0,+∞)時，()為減函數，則()≥()可推出||≤||

設計意圖：此環節注重滲透特殊到一般，猜想到證明的數學思想，教師在教學過程中要注意引導具體求解過程讓學生自己完成，教師及時鼓勵，充分調動學生的學習積極性和主觀能動性

A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1)

C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1)

思考3：例3和例1、例2有了一定的區別，不等式右邊已經變成了一個常數，能否用之前的解題思路來進行解決呢？

當∈(0,+∞)時()<0?0<<1；當∈(-∞,0)時，()>0?-1<<0，可得本題答案選D

變式1：已知函數()是定義在上的奇函數，且在(-∞，0]上為單調增函數若(-1)=-2，則滿足(2-3)≤2的的取值范圍是________

變式2：已知函數()是定義在上的偶函數，且在(-∞，0]上為單調增函數若(-1)=-2，則滿足(2-3)≤-2的的取值范圍是________

4已知函數()是定義在上的奇函數，當∈(0,+∞)時，()=2-3，則不等式()≤-5的解集為________

變式：已知函數()是定義在上的偶函數，且當≥0時，()=+若()+(-)<4，則實數的取值范圍為________

設計意圖：此環節通過不斷地對解題方法的提煉、總結和完善，加深學生對于本知識點解題方法的理解，培養學生對于問題舉一反三的能力，促進學生對于知識內容的深度學習，提高學生在邏輯推理等方面的數學素養

探究三：如果一些關于函數的問題沒有明確指出函數性質,該如何解決這樣的問題？

A.>B.>||

教師：同學們太棒了！我們發現，對于較復雜的函數不等式問題，利用函數的奇偶性和單調性來尋找解題的突破口，是一個非常不錯的選擇

其中能使()>()恒成立的條件序號是________

教師：本題的解題難點就在于(0)=0，這是對的取值范圍的一個限制，另外要注意在完全平方開根號時一定要加上絕對值符號，避免出現錯解的情況

設計意圖：本環節通過對前面一系列問題的處理，加深了對本節課知識點的理解，訓練了學生的自學能力，以及學習的主動性

(三)課后檢測：配套練習

【學后反思】

回顧所學內容，對于利用函數奇偶性和單調性求解不等式這一類問題，你有什么心得體會？能否總結出相關解題思路，并記錄下來？你還有什么好的想法愿意和大家分享？

二、高中數學專題復習課學歷案實踐的思考

1深度學習提升專題復習課教學效率

作為專題復習課，由于知識點密集、信息量大，教學形式枯燥，大多數學生只是麻木地記住相關題型的求解方法而去生搬硬套，根本不去理解其發生過程，這樣的淺層學習非常不利于學生思維深度性和活躍性的訓練，難以真正地提高學生的數學素養教師通過一個具有針對性的引入或者挑戰性的學習問題就會激發學生的學習動力和熱情教學中，教師如果采取適當的方法，注意啟發引導，不以自己的想法代替學生的想法，不是簡單地告訴他們如何處理類似問題，而是引導學生積極參與知識形成的關鍵點處的討論、交流等活動,幫助學生將已有的知識遷移到新的情境中，并解決問題，同時讓學生及時總結知識獲得過程中的思想方法，那么這樣的深度學習必然能夠促進學生核心素養的養成，幫助學生獲得全面發展

2學歷案豐富專題復習課教學模式

新課程改革的教育教學精神強調的是發揮學生的主體性，教師應該從課型上進行改變，通過學歷案開展討論、合作探究的學習方式能激發學生學習的主動性課堂上，教師與學生、學生與學生相互討論、合作探究，這樣能增進彼此的親近感，消除學生的焦慮心理，使學生的主動性得到了激發，使全班學生都獲得了成就感另外，在學歷案教學中，教師只起引導作用，把絕大部分課堂時間留給學生，將學生的學習熱情和學習效果釋放出來，課堂氣氛很輕松、熱烈，突出了學生的主體地位，調動了學生學習的主動性，能夠促進學生更加深入地挖掘知識內涵，提升其學科整體素養

3學歷案促使教師專業發展

課程標準指出：學生應“通過不同形式的自主學習、探究活動，體驗數學發現和創造的歷程”這實際上對我們教師提出了更高的要求：“教師不僅是知識的傳授者，而且是學生學習的引導者、組織者和合作者”因此，課堂教學不只是教會學生如何使用結論，更重要的是教會學生如何獲得結論另外新課程標準對于提升學生的數學核心素養有了更明確的要求，在實際的授課過程中也要注意對于思想方法的滲透，通過啟發、引導、歸納等多種形式來提升學生的數學核心素養

通過學歷案教學，教師可以扮演好“引導者”的角色對于一些“繁、難、舊”的學習內容，單純的、機械式的接受學習既無法體現數學知識的背景與應用，也無法引起學生的學習興趣那么，通過學歷案教學，教師可從學生已有的知識背景出發，設計合理的探究活動，向他們提供充分的從事數學活動和交流的機會，引導他們在自主探索的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，同時獲得廣泛的數學活動經驗，從而讓學生感覺到自己是數學學習的主人

通過學歷案教學，教師可以扮演好“組織者”的角色無論過去還是現在，教師所面對的學生層次總有不同，知識背景，實際能力存在差異通過設計適合當前學情的學歷案，教師可以組織好教學內容及學習過程，提高教學有效性，真正地實現“因材施教”同時在現代技術的背景下，數學教學中也出現了越來越多的新技術手段，這些都是對傳統教學手段的有益補充，如何用好這些手段，同樣需要教師用心將其整合到教學過程中，以期讓所有學生都能從中或多或少的有所收獲，使學生學習數學、理解數學

通過學歷案教學，教師可以扮演好“合作者”的角色在通過學歷案開展教學的活動中，教師的活動與學生的活動相互依存教師及時關注學生在學習過程中的變化，積極參與學生的小組活動和集體思考活動，與學生合作完成學習主題，同時能提高學生的合作意識

因此，在學歷案的實踐過程中極大地促進了教師本身的專業發展