JJF 1221—2009規范中若干復雜公式的推導

江 濤

(廈門市計量檢定測試院，福建 廈門 361004)

1 概述

底盤測功機在機動車檢驗檢測行業是常見且重要的設備，是在有限的空間內用來模擬車輛在道路上行駛的各種阻力的設備，用于檢驗汽車車輛的燃油經濟性(即油耗)、動力特性及排放性能等主要指標的重要設備，不僅如此，底盤測功機還能夠快速地對車輛進行加載試驗，診斷汽車在規定負載條件下可能出現的故障等[2]。

依據國家標準《GB 18565—2016道路運輸車輛綜合性能和檢驗方法》和《GB/T 18566—2011 道路運輸車輛燃料消耗量檢測評價方法》，底盤測功機可以用于檢測車輛的動力性[3]和燃油經濟性(也就是常說的百公里油耗)[4]；依據《GB 18285—2018 汽油車污染物排放限值及測量方法(雙怠速法及簡易工況法)》和《GB 3847—2018 柴油車污染物排放限值及測量方法(自由加速法及加載減速法)》中規定的試驗方法，可以按照穩態工況法(也稱ASM工況法)[5]、簡易瞬態工況法(也稱VMAS工況法)[5]、加載減速法(也稱LUGDOWN工況法)，對汽車進行排放污染物和輪邊功率檢測[6]。

因此，對底盤測功機的校準工作顯得尤為重要。各地計量技術部門依據《JJF 1221—2009汽車排氣污染物檢測用底盤測功機校準規范》(下文簡稱《JJF1221—2009》)對底盤測功機進行校準，包括主副滾筒直徑、車速準確度、扭力準確度、基本慣量、恒載荷加載滑行時間、變載荷加載滑行時間、內部損耗功率、加載響應時間等關鍵技術指標[1]。

2 基本慣量計算公式推導

首先根據動量定理公式計算底盤測功機動能如下：

mv=F×t

底盤測功機兩次滑行法測量底盤測功機基本慣量，兩次加載力不同，因此兩次的滑行時間也不同，便有了以下兩個公式：

m(v1-v2)=(f1+f0)×t1

(1)

m(v1-v2)=(f2+f0)×t2

(2)

式(1)(2)中，m——底盤測功機轉動慣量等效汽車質量，kg；v1——規定的滑行起始速度，48 km/h；v2——規定的滑行結束速度，16 km/h；f1——第一次加載力，N；f2——第二次加載力，N；f0——測功機內部阻力之和，N；t1——第一次滑行時間，s；t2——第二次滑行時間，s。

由式(1)得到：

(3)

由式(2)得到：

(4)

將式(4)式(3)等號兩邊同時乘以t1和t2，再將式(4)和式(3)相減可得：

m(v1-v2)×t1-m(v1-v2)×t2=(f2-f1)×t1×t2

(5)

由式(5)得到：

(6)

測功機上慣量模擬裝置模擬汽車行駛中的平動慣量和轉動慣量的總慣性質量m，稱為當量慣量，而底盤測功機上所有轉動部件等效的當量慣量，稱為底盤測功機的基本慣量DIW[1]。

(7)

根據基本慣量滑行試驗的要求，速度從v1=48km/h滑行到v2=16km/h，將單位由km/h轉換成m/s，分子乘以1000，分母乘以3600，得到下式計算結果[1]：

(8)

由式(8)計算過程可以看出，0.1125的單位是s/m。

3 根據動能守恒定律推導基本慣量計算公式

底盤測功機兩次滑行法測量底盤測功機基本慣量，底盤測功機轉動慣量等效于汽車質量：

(9)

(10)

同理可知：

(11)

(12)

將式(12)與式(10)等號左右兩邊相減得到：

(13)

(14)

進一步變換可以得到：

(15)

(16)

可見，采用動量定理和動能守恒定律兩種方法推導的結果是一致的。

4 恒載荷加載滑行時間公式推導

根據《JJF 1221—2009》校準規范中7.2.5恒載荷加載滑行時間的校準方法，分別設置6.0 kW和12.0 kW對底盤測功機功率吸收裝置進行加載，驅動底盤測功機滾筒轉動到v1以上開始自由滑行，滾筒表面線速度從v1滑行到v2的測量時間為滑行時間，推導理論滑行時間[1]。

應根據功率計算公式：

P=Fv

(17)

式(17)中，P——底盤測功機加載功率和內部損耗功率，W；F——底盤測功機滾筒阻力與內部轉動慣件的機械阻力之和，N；v——滾筒表面線速度，m/s。

又由牛頓第二定律推導出：

(18)

由式(17)、式(18)可得到：

(19)

對式(19)進行積分可得：

(20)

(21)

式(21)中，t——恒載荷加載理論滑行時間，即CCDT，s；v1——恒載荷加載滑行開始速度，km/h；v2——恒載荷加載滑行結束速度，km/h；P——THP總功率，kW。

(應注意：THP=PLHP+IHP，其中PLHP是底盤測功機的內部損耗功率，IHP是底盤測功機的指示功率)，THP即為P，同時將kW轉化成W。

由式(21)可以得到：

(22)

按照《JJF 1221—2009》校準規范規定，當滑行區間段為48 km/h至32 km/h時，再將速度單位km/h換算為m/s，得到平均車速40 km/h的恒載荷理論滑行時間CCDT40[1]：

(23)

式(23)中，CCDT40——測功機從48 km/h到32 km/h恒載荷加載滑行試驗時的理論計算滑行時間，s。

《JJF 1221—2009》校準規范中7.2.5.2還規定，對壓燃式發動機汽車(柴油車)加載減速法(LUGDOWN法)的底盤測功機，應該按照恒載荷加載滑行時間的校準方法[1]，但滑行區間段改為 64 km/h到48 km/h，根據式(22)則可推導出理論滑行時間：

(24)

式(24)中，CCDT56——進行64 km/h到48 km/h恒載荷加載滑行試驗時的理論計算滑行時間，s。

因此，式(23)和公式(24)中常量0.04938和常量0.06914的單位為(m/s)2。

5 恒載荷加載滑行時間公式推導(預施加載力)

按照《JJF 1221—2009》校準規范中7.2.5.3規定，在預施加載力的條件下，測量恒載荷加載滑行時間的方法，選擇12.0 kW作為總載荷THP對底盤測功機功率吸收裝置進行設定，進行48 km/h至32 km/h 速度段的加載滑行測試。當測功機滾筒開始轉動后，把相當于滾筒表面切向力200～600 N的重物加載在扭力校準裝置上[1]。

由式(22)可以得到預加載力情況下的理論滑行時間：

(25)

為了盡量準確計算理論滑行時間，把速度滑行區間48 km/h到32km/h段均勻地分為4段，即48～44km/h滑行區間、44～40km/h滑行區間、40～36km/h滑行區間和36～32km/h滑行區間。則預加載力下，每一段理論滑行時間為：

(26)

式(26)中，CCDTF1——第一段的理論滑行時間，s；v11——第一段的滑行初始速度，48 km/h；v21——第一段的滑行結束速度，44 km/h。

將速度單位由km/h換算為m/s，得到下式：

依據上述推導，得到四段理論滑行時間總和：

CCDTF=CCDTF1+CCDTF2+CCDTF3+CCDTF4

(27)

注：JJF1221-2009中的公式(14)如下：

計算過程會因為保留位數不足而造成較大計算誤差，經上述推導，與《JJF 1221—2009》校準規范給出的公式基本一致。

6 變載荷加載滑行時間公式推導

對用于汽油車簡易瞬態工況法及穩態工況法排放檢測底盤測功機，啟動底盤測功機進入變加載滑行測試功能軟件模塊，把底盤測功機滾筒線速度提升到56km/h，向底盤測功機施加總載荷THP=16.2kW,當底盤測功機滾筒線速度下降到48.3km/h時，按《JJF 1221—2009》校準規范正文中表3的要求向底盤測功機階躍加載，計算測功機速度從48.3km/h至16.1km/h速度段計算的滑行時間CCDT[1]。

變載荷加載為多速度區間段恒載荷加載之和。例如，JJF 1221—2009表3中第一個滑行區間段為加載功率7.4kW，區間段為72.4km/h至70.8km/h，將速度單位km/h換算為m/s，功率單位kW換算為W，理論時間為0.00119DIW，利用恒載荷加載式(22)計算結果如下：

=0.00119×DIW

(28)

以此類推，《JJF1221—2009》校準規范正文中表3各段累加之后理論滑行時間的總和為：

速度72.4km/h至16.1km/h加載滑行試驗時，理論上計算的滑行時間0.01713DIW；

速度48.3km/h至16.1km/h加載滑行試驗時，理論上計算的滑行時間0.00707DIW。

對用于壓燃式發動機汽車加載減速法的底盤測功機，進行速度從72.4km/h至16.1km/h加載滑行試驗，理論上所需的滑行時間CCDT也是按照上述方法進行計算。

7 內部損耗功率公式推導

按照《JJF 1221—2009》校準規范7.2.7規定，驅動滾筒轉速至56km/h以上，開始自由滑行，用記錄速度測量裝置和滑行時間測量儀測量54km/h至46km/h滑行時間t，按式(20)計算內部損耗功率作為平均速度50km/h時的內部損耗功率校準結果[1]，理論計算時間應根據能量守恒原理公式計算得出：

(29)

(30)

(31)

式(31)中，PLHP50——速度為50km/h時的內部損耗功率，kW；Δtx——54～46km/h區間段的滑行時間，s。

根據上式推導可知，常量0.030864的單位為(m/s)2,式(30)等號右側除以1000后,即可得到PLHP50的單位kW。