“物理光學”中菲涅耳波法線方程的教學范式及探索

陳云天，邵鶴冉，楊振宇，萬辰皓

（華中科技大學光學與電子信息學院 湖北 武漢 430074）

物理光學是工科院校“光學工程”學科下的重要基礎性課程，其中關于菲涅耳波法線方程的理論推導過程煩瑣，且對數學基礎要求較高。為了更好地幫助學生理解學習各向異性介質中光傳播的本質，筆者從“物理光學”教學實踐中探索教學研究新范式，提出了一種更為合理和簡潔的方法討論各向異性介質中光傳播特性。

晶體中的菲涅耳波法線方程描述了單色平面波傳播的等效折射率和光波法線方向之間的關系，揭示了單色平面波的傳播特性。在菲涅耳波法線方程的求解的基礎上，可進一步求解單色平面波的矢量波函數，即各偏振分量間的相對大小，從而完整地刻畫了單色光波在晶體及其他均勻各向異性介質中的傳播特性。本文從本征值問題的角度出發(fā)，探討均勻各向異性材料中光波傳播特性的本征值屬性，將菲涅耳波法線方程和矢量波函數的求解過程合二為一，為各向異性介質中光波傳播特性的教學提供一種更為簡潔、清晰的思路。

1 均勻各向異性晶體中的本征模式

1.1 晶體中的單色平面波和菲涅耳波法線方程

菲涅耳波法線方程作為光學和電磁理論的一個重要基本公式，是理解單色光波在各向異性晶體中傳播的關鍵，也是后面學習和掌握利用雙折射原理實現起偏器、分束器和玻片的基礎。盡管在《物理光學》課本中給出了菲涅耳波法線方程詳細完備的推導過程及結論，但推導過程復雜且煩瑣，無法通過公式（1）直觀還原其推導過程的物理意義和物理本質。筆者在教學科研的實踐過程中總結了一套更為直觀的方法，創(chuàng)新地從本征值角度出發(fā)來探討菲涅耳波法線方程。據筆者所知，直接從本征值角度出發(fā)來探討菲涅耳波法線方程的方法，沒有出現在國內外中英文經典教材和相關科技文獻中。

1.2 晶體中的本征模式

在各向異性的均勻光學環(huán)境中，平面波的電場和磁場可以表達為：

將平面波形式代入上述公式并化簡得到平面波條件下的麥克斯韋方程：

為了得到菲涅耳波法線方程，最關鍵的一步是將波矢幅度（有效折射率）和波矢方向的分離，即

圖1 是波矢方向球坐標系示意圖，將波矢量的幅度和方向的變量進行坐標系的變換分離后，代入平面波條件下的麥克斯韋方程，整理并化簡可得線性方程組：

圖1 波矢方向球坐標系示意圖

其中

對公式（10）求解后可得本征方程表達式：

在分析不同的物理問題時，本征方程至關重要，這一方程幾乎可以描述所有的線性問題。對于任意的物理系統，其本征方程和相應的本征值、本征矢量就可以完整刻畫該物理系統。對公式（11）的本征方程進行求解，每一組解就對應一種光學模式。通過引入單色平面波近似，把麥克斯韋方程整理化簡為本征方程，可以幫助我們直觀地理解各向異性介質中光波傳播特性，推導過程簡潔易懂，物理含義更為直觀。隨著晶體光學和光電調制器件的不斷發(fā)展，各向異性晶體，尤其是單軸晶體，在光學中應用越來越廣，目前在文獻和教材中給出的都是單軸晶體在菲涅耳公式上的一般形式，我們可以代入上述方法，從本征值角度分析單色平面波在單軸晶體中的傳播規(guī)律。

2 單軸晶體的本征模式和菲涅耳波法線方程

各向異性材料中同一個平面波的不同偏振具有不同的等效折射率。在單軸晶體中介電張量具有旋轉對稱性，可以把單軸晶體寫成

由此我們可以解出方程的六組解，它們分別對應不同的光學模式。

本文以獨特的視角，即本征值角度來探討各向異性介質中的光傳播過程，創(chuàng)新地提供了一種更為簡潔、清晰的教學方法，幫助同學們更好地理解各向異性介質中光傳播的本質和相關數學處理方法。以單軸晶體為例，重構菲涅耳波法線方程及其對應的單色平面波波函數，并與菲涅耳波法線方程的相關結論對比，完整地刻畫了單色光波在晶體及其他均勻各向異性介質中的傳播特性。在“物理光學”的教學實踐中探索從本征值角度探討菲涅耳波法線方程的方法，對于培養(yǎng)本科學生，尤其工科院校光學工程學科下相關課程的大學生的物理思維，有一定的積極意義。

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