放慢探究腳步，經歷抽象過程
——“有余數的除法”一課教學實錄與評析

●趙緒昌，熊榮華

2022年4月19日，四川省達州市通川區第七小學校舉辦的“促進理解與遷移”青年教師數學教學展示活動，其中“有余數的除法”一課，教學效果好。現將本節課的主要教學實錄陳述如下。

一、創設情境激興趣

師: 孩子們， 告訴你們一個秘密——我有超能力。（學生疑惑）不信？看，屏幕上這么多的珠子,你隨便說一個數，我不看屏幕，就知道這個數對應的珠子是什么顏色。 (如圖1 請學生說數，老師猜顏色）

生1：26。

師：紅色。

生2：15。

師：紫色。

……

師：想不想擁有這樣的超能力？認真學習這節課，你們也會變得這么厲害。

二、分類游戲埋伏筆

師：老師今天還給大家帶來了這4 類游戲（如圖2），它們分別是：

圖2

師：瞧，有10 個小朋友來打乒乓球，每2 人一組，可以將他們分成幾組？ （如圖3）

圖3

生：可以分成5 組。

師：剛好分完，沒有剩余。 他們還想玩剩下的這三種游戲， 你能幫他們分分組嗎？ 請拿出學習單一（如圖4），動手圈一圈。

圖4

（學生完成學習單一，教師巡視，拿一張學習單，投影展示）

師：這是生1 的分組情況（如圖5），你們贊成嗎？

圖5

生：贊成。

師：根據這樣的分組情況，你能將這些游戲分分類嗎？

生1：剛好分完的分為一類，還有剩余的分為一類。

生2：第1 種和第4 種剛好分完，第2 種和第3種還有剩余（如圖6）。

圖6

師：用數學的眼光仔細觀察，不管是正好分完，還是有剩余， 分得的每份都同樣多， 每份分得同樣多，這種分法在數學上叫——（課件展示，如圖7）

圖7

生：平均分。

三、整除除法墊基礎

師：10 個小朋友， 每2 人一組， 平均分成了幾組？ 用算式怎么表示？

生：10÷2＝5（組）。

師：這個算式表示什么意思？

生：10 個小朋友，每2 人一組，可以分成5 組。

師：那每5 人一組，又平均分成了幾組？

生：10÷5＝2（組）。

師：這個算式又表示什么意思？

生：10 個小朋友，每5 人一組，可以分成2 組。

四、有余除法拔新高

師：平均分，正好分完，我們可以用除法算式來表示。 那像這種平均分后，還有剩余，用算式怎么表示呢？

（黑板張貼：10 個小朋友，每3 人一組，可以分成3 組，還剩1 人）

師：你能用一道算式表示出題目的意思嗎？請拿出學習單二看到第一題(如圖8），試著寫一寫。

圖8

（學生試寫，教師巡視，收集題單，請學生上臺，投影展示）

師：老師收集了這幾種不同的算式，我們一起來聽聽他們的想法。

生1：我列的算式是：3×3＋1＝10（個），每3 人分一組，分成了3 組，加上剩余的1 人，一共有10 人。

生2:我列的算式是：10-3-3-3＝1（人），10 個小朋友，減去3 個3 人，還剩余1 人。

生3：我列的算式是：10÷3＝3（組）剩1（人），10個小朋友，每3 人一組，可以分3 組，還剩1 人。

生4：我列的算式是：10÷3＝3（組）……1(人）,10個小朋友，每3 人一組，可以分3 組，還剩1 人。剩余的1 人用省略號更簡潔。

師：（請生下臺，并板書）10÷3＝3（組）……1(人）

師：看到這個全新的算式，你們有什么想要了解的？

生1：這個算式表示什么意思？

生2：10 個小朋友，每3 人一組，可以分成3 組，還剩1 人。

生3：這個算式怎么讀呢？

生4：10 除以3 等于3 余1。

生5:我覺得加上單位更好，10 除以3 等于3 組余1 人。

生6：在除法算式中，余下的這個數叫什么呢？

生7：余數。

師：好的，咱們就叫它余數。

10÷3＝3（組）……1(人）

（板書：被除數 除數 商 余數）

師：這道除法算式與以前學的有什么不同？

生：以前學習的除法算式沒有余數，今天學習的除法算式有余數。

師：今天我們就一起來學習有余數的除法。

（板書：有余數的除法）

師：10 個小朋友，每4 人一組呢？ 用算式怎么表示？ 看到學習單二第2 題（如圖9），動手寫一寫。

圖9

生：10÷4=2（組）……2(人）

師：這個算式表示什么意思？

生：10 個小朋友，每4 人分一組，分成2 組，還剩2 人。

五、余數除數比大小

師：這2 個小朋友被余下，成了這道除法算式中的余數。 要是來更多的小朋友，每4 人一組，余數還可能是幾呢？ 老師為你們準備了人數不一樣的學習單三（如圖10），同桌兩人合作，先圈一圈，再列算式。

圖10

師：你們找到的余數分別為幾呢？

生1：總人數分別為9,10,11,12 時，我們找到的余數為1，2，3。

生2：當總人數為13,14,15,16 時，我們找到的余數有1，2，3。

生3：當總人數為17,18,19,20 時，我們找到的余數為1，2，3。

生4：當總人數為21,22,23,24 時，我們找到的余數有1，2，3。

師：人數不一樣，每4 人一組，余數始終為1,2,3，這里面藏著什么數學奧秘呢？我們一起來探個究竟。 （課件逐一展示，如圖11）

圖11

師：每4 人一組，余數可能為——

生：1，2，3，4。

師：余數為4，你們剛才怎么就沒有找到呢？

生1：余下的4 人又可以分成1 組啦!

生2：就算來再多的小朋友，每4 人一組，余數只可能為1,2,3。

師：如果每5 人1 組呢？ 余數可能為——（課件展示，如圖12）

圖12

生：1，2，3，4，不余5。

師：為什么不余5？

生1：余下的5 人又可以分成1 組。

生2：就算來再多的小朋友，每5 人一組，余數只可能為1,2,3,4。

師：每10 人1 組呢？ 余數可能為——

生：每10 人1 組，余數可能為1 到9。

師：每100 人一組呢？ 余數可能是——

生：每100 人1 組，余數可能為1 到99。

師：請用一句話概括余數和除數的大小關系。

生1：除數比余數大。

生2：余數不能等于除數。

生3：余數比除數小。 （板書，如圖13）

圖13

六、闖關練習固新知

師：你是否已具備擁有超能力的資格，你還得成功通過下面這三關。

第一關：

（1）11÷2=4……3。 （ ）

生：錯。

師：3 比4 小呀，哪兒錯了呢？

生：余數要比除數小，不是比商小。

（2）在有余數的除法中，只要余數不大于除數就行。 （ ）

生：錯，余數不僅不能大于除數，還不能等于除數。

（3）有算式☆÷6=○……△中，△最大為6。（ ）

生：錯。 因為余數比除數小，這里的余數和除數相等了，所以是錯的。

第二關：

師：這只青蛙遮住的余數，最大是幾？

圖14

生：余數最大是5。 因為除數是6，余數比除數小，余數最大就是5。

師：分析得真到位。瞧，真是5。那這只青蛙遮住的除數最小是幾呢？

圖15

生：這里的除數最小是9。因為余數是8，余數比除數小，那除數最小就是9 啰！

師：你的思路真清晰。 看，果真是9。

第三關：

圖16

師：孩子們，仔細觀察這些珠子的顏色，你有什么發現？

生1：它們是按紅橙黃綠紫為一組，不斷地重復出現的。

生2：余1 是紅色，余2 是橙色，余3 是藍色，余4 是綠色。

師：請問第15 顆珠子是什么顏色？

生：紫色。

師：第26 顆珠子呢？

生：紅色。

師：第18 顆珠子呢？

生：藍色。

師：呀！ 你們也擁有超能力啦。 原來解鎖超能力的鑰匙，就是這節課學習的有余數的除法。在我們的生活中，像這種平均分后有剩余的情況還有很多，你能舉一個用有余數的除法來解決的數學問題嗎？ 同桌兩人合作，試著說一說。

（學生合作完成）

二年級學生第一次學習“有余數的除法”，而有余數的除法涉及的數量關系相對復雜。 本節課通過讓學生經歷分東西的活動，先形成有“余數”的表象，在此基礎上逐步建立“余數”“有余數除法”的概念及“余數比除數小”的結論，為下一步學習有余數除法試商打下良好的基礎。概念本質上是一種分類行為，分類的過程就是事物抽象的過程。 為了讓學生深刻把握概念的本質，教師在教學時盡量不直接告知，而是引領學生經歷操作、觀察、分類、抽象、概括的過程，從而形成概念。 老師的教學設計，主要幫助學生建立余數的概念，初步理解有余數除法的意義和知道余數必須比除數小。無論是新課教學，還是課堂練習，授課老師都緊緊抓住余數的意義和余數要比除數小的重點和難點展開。教學中，老師加強了直觀教學，充分利用學習單，讓學生在圖上圈一圈，讓學生在操作過程中確實感覺到平均分物體時，余數存在的客觀性和產生過程。如此教學，“算理”與“算法”同時進行，比翼齊飛，學生的運算能力和抽象能力等在問題情境中得到形成與發展。