對數列錯位相減法求和的探討

秦文波 重慶市璧山區教師進修學校 402760

劉紅梅 重慶市長生橋中學校 401336

推導等比數列前n項和公式時，幾乎所有高中數學新教材（2019年及以后出版的）都會介紹錯位相減法，但是，同老教材一樣，新教材并沒有對錯位相減法作更深入的介紹，這在某種程度上給許多師生帶來了一些認知上的偏差.下面，筆者結合自己開展的專項教研活動，就數列錯位相減法求和中一些師生關注的問題作簡要探討.

約定

為了敘述方便，本文有以下兩點約定：

（1）將“一個非零等差數列與一個公比不為1的等比數列對應項之積構成的數列”簡稱為“差比數列”.

（2）設an≠0（n∈N*），｛bn｝是公比為q（q≠1）的等比數列，｛an·bn｝的前n項和為Sn.

探討

探討1：是不是只有差比數列才能用錯位相減法求得前n項和？

Sn=a1b1+a2b2+…+anbn①，等式兩邊同乘q得qSn=a1（qb1）+a2（qb2）+…+an（qbn）=a1b2+a2b3+…+anbn+1②，由①－②得（1－q）Sn=a1b1+［（a2－a1）b2+…+（an－an－1）bn］－anbn+1.

不難發現，能否用錯位相減法求Sn的關鍵是能否求得（a2－a1）b2+…+（anan－1）bn.不妨令Tn－1=（a2－a1）b2+…+（anan－1）bn.如果｛an｝是公差為d的等差數列，則Tn－1=d（b2+…+bn），根據等比數列求和公式容易求得Tn－1，即可以用錯位相減法求得差比數列｛an·bn｝的前n項和.

如果｛an｝不是等差數列呢？不妨令an－an－1=cn－1（n≥2），則Tn－1=c1b2+…+cn－1bn.若｛cn｝是等差數列，則｛cn·bn｝就是差比數列，就可以用錯位相減法求得Tn－1，即可以用錯位相減法求得｛an·bn｝的前n項和.另一方面，由于an=a1+（a2－a1）+（a3－a2）+…+（an－an－1）=a1+c1+c2+…+cn－1，根據等差數列前n項和公式的性質可知，這里的c1+c2+…+cn－1是關于n的二次函數，而等差數列的通項公式是關于n的一次函數，故｛an｝不是等差數列，因此｛an·bn｝不是差比數列，但仍然可以用錯位相減法求得Sn，只不過需要用到兩次錯位相減法.

因此，錯位相減法并非差比數列的專屬求和方法，某些非差比數列也可用錯位相減法求和.

探討2：什么樣的｛an｝可用錯位相減法求得｛an·bn｝的前n項和？

由探討1知，當｛bn｝是公比為q（q≠1）的等比數列且an－an－1=cn－1（n≥2）時，｛an｝為等差數列或｛cn｝為等差數列，都可以用錯位相減法求｛an·bn｝的前n項和.

事實上，當｛cn｝為等差數列時，因為可用錯位相減法求得｛cn·bn｝的前n項和，所以也可用錯位相減法求得｛an·bn｝的前n項和，此時an是關于n的二次函數.同樣地，當cn為關于n的二次函數時，由于可用錯位相減法求得｛cn·bn｝的前n項和，所以也可用錯位相減法求得｛an·bn｝的前n項和，此時an是關于n 的三次函數.進一步分析不難得到，當an是關于n的多項式函數，即an=t0+t1n+…+tini+…+tmnm（ti為常數，m∈N*，i=0，1，2，…，m）時，均可用錯位相減法求得｛an·bn｝的前n項和.

另外，當｛cn｝為等比數列時，｛cn·bn｝也為等比數列，an可以寫成an=A+B·（A，B，q1為非零常數）的形式，根據an的形式結構可知，｛an·bn｝既可分組求和也可錯位相減求和.同樣地，當cn形如cn=A+B·時，an=An+C+D·（A，C，D，q1為非零常數），｛an·bn｝也可用錯位相減法求前n項和.繼續分析不難發現，當an是關于n的多項式函數與形如B·的指數型函數的和時，｛an·bn｝也可用錯位相減法求前n項和.

綜上，當｛bn｝是公比為q（q≠1）的等比數列時，滿足｛an·bn｝可用錯位相減法求前n項和的｛an｝有很多，可以是等差數列，也可以是多項式數列（通項是關于n的多項式函數），還可以是多項式數列與等比數列對應項之積構成的新數列（以下簡稱“多項乘比數列”）或其他數列，只要｛an｝使得｛cn·bn｝的前n項和能求出來即可.

探討3：用錯位相減法求和時是不是一定要乘公比？

由探討1可知，用錯位相減法求差比數列的前n項和時，第一步是等式兩邊同“乘公比”，其目的是在“錯位”后“對位”，而“對位”是為了整體“并項”，“并項”后就可以借助等比數列的求和公式完成差比數列求和.因此，“乘公比”是非常重要的操作手段.下面探討 “乘其他實數”的情況.

因此，用錯位相減法求和時，可以在和式兩邊乘不是公比且不等于1的非零實數，只不過要多用一次錯位相減法.所以，乘公比并非錯位相減法求和的必然要求，只是與乘其他實數相比，乘公比更簡單.

結語

一般地，每一種數學運算方法都有其特定的運算對象和運算規則，錯位相減法也不例外.對運算對象的深入理解和運算規則的牢固掌握是使用運算方法進行準確運算的前提，每一種運算方法的教學都應在這兩方面深入思考、下足功夫，只有這樣，才能幫助學生形成正確的認知結構.前述可知，差比數列的前n項和雖然是錯位相減法基本的運算對象，但教師不能將其“窄化”于此；乘公比雖然是錯位相減法最佳的處理方式，但教師不能不講理由地生搬硬套，并且給學生傳達錯誤的觀念.

另外，錯位相減法雖然是差比數列求和較好的方法，但不是唯一的方法.事實上，如果設｛an｝是以d（d≠0）為公差的等差數列，那么對于差比數列｛an·bn｝，由于anbn=［nd+（a1－d）］b1qn-1，所以當x=時，［nd+（a1－d）］·b1qn-1=［x（n+1）+y］qn+1－（xn+y）qn.即對于差比數列｛an·bn｝，存在kn=（xn+y）qn，使得anbn=kn+1－kn成立.因此，除錯位相減法外，我們還可用裂項相消法求差比數列的前n項和.特別地，由于等比數列｛bn｝是特殊的差比數列，故也可用裂項相消法替代錯位相減法推導其前n項和公式.其實，對于等比數列｛bn｝，因為當kn=時bn=kn+1－kn，所以b1+b2+…+bn=（k2－k1）+（k3－k2）+…+（kn+1－kn）=kn+1－k1=（1－qn）.