探究問題本質(zhì) 提升解題能力

運(yùn)其書

甘肅省民勤縣教師進(jìn)修學(xué)校 733399

評(píng)價(jià)一節(jié)數(shù)學(xué)課的好壞不是看學(xué)生做了多少道題，也不是看教師講了多少道題，而是看學(xué)生是否真的會(huì)做了、教師是否真的講透了，如果“做而不思”“講而不深”，那么就失去了“做”與“講”的真正價(jià)值.然在“唯分論”的影響下，部分教師為了追求成績(jī)，常通過加大題量和講解密度來提高課堂效率，殊不知過多的練習(xí)和講解不僅容易造成學(xué)生的思維疲勞，而且擠占了學(xué)生反思和總結(jié)的時(shí)間，學(xué)生雖然聽得懂，但是獨(dú)自解決問題時(shí)卻困難重重，出現(xiàn)了“懂而不會(huì)”的現(xiàn)象.雖然數(shù)學(xué)題目繁多，然并不是沒有規(guī)律可循，與其求急求快地講多個(gè)題型而出現(xiàn)“夾生飯”的現(xiàn)象，不如將重點(diǎn)放在一類題目上，若能將一類題目學(xué)懂吃透，那么學(xué)生再面對(duì)此類問題時(shí)會(huì)顯得得心應(yīng)手，這樣不僅可以使解題速度有所提升，解題信心也會(huì)有所提高，顯然有助于學(xué)生解題能力的提升.

筆者教學(xué)基本不等式時(shí)，以一道典型習(xí)題為例，充分展示學(xué)生的思維過程，通過有效變式誘發(fā)學(xué)生深度思考，讓學(xué)生將此類問題學(xué)懂吃透，以此有效拓展學(xué)生的思維，提升學(xué)生的整體思維水平.

提出問題，展示思維過程

例1已知正數(shù)x，y滿足x+2y=1，求的最小值.

例1源于教材，題目看似簡(jiǎn)單卻有著豐富的內(nèi)涵，筆者精心挑選習(xí)題，試圖通過充分暴露學(xué)生的問題而引發(fā)學(xué)生深度思考，完成相關(guān)知識(shí)的內(nèi)化.

師：請(qǐng)大家思考一下，給出你的解題過程.（讓學(xué)生獨(dú)立思考，嘗試應(yīng)用本節(jié)新知解決問題）

師：生1應(yīng)用了兩次基本不等式，你們是不是也應(yīng)用了同樣的方法呢？（從學(xué)生反饋來看，有不少學(xué)生也應(yīng)用了同樣的方法）

師：現(xiàn)在大家仔細(xì)觀察解題過程，有什么發(fā)現(xiàn)？（鼓勵(lì)學(xué)生先糾錯(cuò)，眼尖的學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了問題）

生2：從取等號(hào)的條件可以看出，第一次取等號(hào)是x=2y，而第二次是x=y，難以找到符合條件的x，y的值，因此用該方法求解無法同時(shí)取等號(hào)，也就不能取到最小值.

師：分析得很有道理.若解題時(shí)要應(yīng)用兩次基本不等式，需要注意什么？

生齊聲答：一定要注意兩次取等號(hào)的條件.

初學(xué)基本不等式，學(xué)生應(yīng)用時(shí)難免會(huì)考慮不周，教師不要急于批評(píng)或指正，要給學(xué)生一個(gè)自我認(rèn)識(shí)、自我糾錯(cuò)的過程，這樣便于學(xué)生形成深刻印象，為日后合理應(yīng)用奠定良好的基礎(chǔ).

師：那你們還有沒有其他的解決辦法呢？

生3：我應(yīng)用的是消元法.（利用投影儀展示生3的解題過程）

師：這個(gè)方法很好，先是應(yīng)用消元法消去了y，又靈活應(yīng)用換元法實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)化，然后應(yīng)用基本不等式解決了問題.

生4：我認(rèn)為這樣求解有點(diǎn)復(fù)雜，我有更簡(jiǎn)單的方法.（一聽到有更簡(jiǎn)單的方法，學(xué)生的注意力迅速被吸引了起來，迫不及待地想知道結(jié)果）

生4：觀察已知，其實(shí)x+2y=1是一個(gè)特殊值，因此可以利用這一特殊性來求解.

師：生4的解法確實(shí)很精彩，條理清晰、運(yùn)算簡(jiǎn)潔.請(qǐng)大家對(duì)比一下生3和生4的解題過程，你們有沒有發(fā)現(xiàn)什么共同的特征呢？

在教師引導(dǎo)下，學(xué)生將兩種解法進(jìn)行了對(duì)比，驚喜地發(fā)現(xiàn)其實(shí)兩種解法的本質(zhì)是相同的，都是通過構(gòu)造法來解決乘積為定值的問題.其實(shí)很多解法看似不同，然其本質(zhì)或出發(fā)點(diǎn)往往是相同的，而對(duì)于這些“同”與“不同”的認(rèn)識(shí)往往需要認(rèn)真反思.

應(yīng)用變式，激發(fā)思維活力

學(xué)生解題時(shí)之所以經(jīng)常出現(xiàn)“懂而不會(huì)”的現(xiàn)象，大多是因?yàn)閷W(xué)生沒有掌握問題的本質(zhì)，解題時(shí)習(xí)慣模仿和照搬，當(dāng)題目略有變化時(shí)就顯得束手無策.例1順利求解后，學(xué)生的探究熱情被激發(fā)了出來，這時(shí)筆者并不急于對(duì)下一個(gè)題型進(jìn)行講解，而是借助一些變式題目讓學(xué)生乘勝追擊，讓學(xué)生真正掌握此類題型的解題方法，進(jìn)而提升個(gè)體解題能力.

變式1與例1是結(jié)構(gòu)相同的題目，學(xué)生通過代“1”快速地解決了該題，以此提升了解題信心.從學(xué)生反饋來看，幾乎所有學(xué)生都能順利求解，學(xué)生的解題熱情高漲.

題目雖略有變化，但大多數(shù)學(xué)生對(duì)2x+y=2進(jìn)行了轉(zhuǎn)化，得到=1，又應(yīng)用了剛才的方法——代“1”法順利地解決了該題.

變式3：已知正數(shù)x，y滿足x+y=xy，求x+2y的值.

求解變式3時(shí)，一些學(xué)生應(yīng)用了消元法，一些學(xué)生應(yīng)用了代“1”法.消元法是解決二元問題的基本方法，代“1”法雖然具有一定的特殊性，然將不熟悉的已知條件轉(zhuǎn)化為熟悉的條件，也是重要的數(shù)學(xué)思想方法，是學(xué)生應(yīng)具備的數(shù)學(xué)能力.

本題乍看上去與之前的題目都不同，因此筆者將其重點(diǎn)呈現(xiàn)出來，讓學(xué)生找到解題的關(guān)鍵點(diǎn)，認(rèn)清問題的本質(zhì).

師：對(duì)于這個(gè)問題，你是怎么想的？

師：請(qǐng)具體說一說.

師：非常好，應(yīng)用換元法巧妙地解決了該題，將換元法應(yīng)用得出神入化.

生6：老師，這道題其實(shí)與例1是相同的.（很多學(xué)生投來了不解的目光）

師：說說你的想法.

師：非常棒！通過換元法撥開了問題的神秘面紗，挖掘出了問題的本質(zhì)，看來大家已經(jīng)練就了一雙火眼金睛.

高考結(jié)束后，大多數(shù)學(xué)生都感覺高考題目“新”“難”，然考后仔細(xì)分析又發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)認(rèn)為的“新”，其實(shí)就是平時(shí)重點(diǎn)練習(xí)的題目，甚至有些就是教材上的例習(xí)題.之所以很多學(xué)生感覺“新”“難”，就是因?yàn)槲茨芡嗜栴}的神秘外衣，沒有發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，致使解題時(shí)找不到較好的解決方法，即使順利地解決了問題，也可能消耗過多的時(shí)間.因此，在日常教學(xué)中，教師應(yīng)多應(yīng)用一些變式問題幫助學(xué)生挖掘問題的本質(zhì)，從而掌握解決問題的通法，以此提高解題能力.

乘勝追擊，拓展應(yīng)用

師：以大家現(xiàn)在的水平，完全可以應(yīng)對(duì)高考了，大家有沒有信心挑戰(zhàn)一下高三的題目？

生齊聲答：有！

師：很好，我們一起來看一下下面這兩道題.（用PPT展示題目）

問題給出后，學(xué)生積極思考，很快就有了答案.求解例2時(shí)，令c=b+1，得到a+c=3，將轉(zhuǎn)化為進(jìn)而得到了學(xué)生熟悉的類型，問題便迎刃而解.例3通過消元，將轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化后學(xué)生也輕松地解決了問題.至此，學(xué)生解決此類問題的能力已經(jīng)形成，無論其以何種形式出現(xiàn)，只要通過消元、換元等方法能進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化，學(xué)生都可以將其轉(zhuǎn)化為熟悉的形式.這樣通過有效的拓展練習(xí)，既能拓展學(xué)生的思維、鼓舞學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信心，又能培養(yǎng)學(xué)生以不變應(yīng)萬變的能力.

教學(xué)感悟

教材例習(xí)題是珍貴的教學(xué)資源，是專家們智慧的結(jié)晶，題目中往往蘊(yùn)含著深意，若想利用好這寶貴的資料，教師就必須認(rèn)真鉆研教材，充分挖掘例習(xí)題的價(jià)值，在幫助學(xué)生鞏固和強(qiáng)化新知的同時(shí)，還要通過有效的拓展和延伸幫助學(xué)生理清知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生挖掘出問題的本質(zhì)，掌握解決問題的通法.

另外，講解例習(xí)題時(shí)，教師要充分展示學(xué)生的思維過程，切勿越俎代庖，只有充分暴露學(xué)生的問題才能通過有效的修補(bǔ)來完善認(rèn)知，提升解題能力.如在例1的解題過程中，學(xué)生因?qū)θ〉忍?hào)的條件考慮不周而造成了錯(cuò)誤，暴露出學(xué)生對(duì)應(yīng)用基本不等式還有些生疏.問題出現(xiàn)時(shí)筆者并沒有及時(shí)指正，而是引導(dǎo)學(xué)生自己糾錯(cuò)，致使學(xué)生對(duì)該問題有了更深刻的認(rèn)識(shí)，相信學(xué)生以后能有效避免再次犯錯(cuò).同時(shí)，在筆者的鼓勵(lì)下，學(xué)生嘗試應(yīng)用消元法和代“1”法解決同類問題，為了讓學(xué)生能夠認(rèn)清問題的本質(zhì)，筆者通過變式題目進(jìn)行引導(dǎo)，既激發(fā)了學(xué)生的探究熱情，又讓學(xué)生掌握了解決此類問題的通法，實(shí)現(xiàn)了“會(huì)一題通一類”的效果，學(xué)生的思維能力和解題能力都有了“質(zhì)”的提升，真正地實(shí)現(xiàn)了高效課堂.

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)中若直接“授人以魚”，難以讓學(xué)生形成能力，即使當(dāng)時(shí)靠模仿解決了問題，然后面學(xué)習(xí)仍會(huì)困難重重，所以教學(xué)中應(yīng)“授人以漁”，借助問題形成技能，提高解題能力.