淺析數學課堂留白的原則與形式

蔡國發

甘肅省武威第三中學 733000

留白作為課堂藝術的基本表現形式之一，是指教師有意識地給學生留出空白時間與空間，讓學生有更多思考與嘗試的機會.格式塔心理學提出：“我們可將任何事物理解為完整的結構，當人們看到該事物有缺陷或空白時，就會不由自主地產生一種內驅力，驅使大腦產生填補與完善的命令，讓該事物趨向完整，以達到心理的平衡［1］.”教師也應抓住學生的這種心理特征，在課堂中適當留白，賦予課堂更多的生命力.

課堂留白的原則

留白雖好，但在何處留、怎么留，是值得探究的問題.留白因課而異、因生而異，但所遵循的原則是一致的.從學生的認知與思維層面來看，課堂留白應遵循以下幾個原則：

1.最近發展區原則

課堂留白是為了訓練學生的思維，從表面上來看，是給學生留下思考的余地，其實留白所蘊含的是學生的思維發展.留白時，應結合教學內容與學生的最近發展區，只有互相匹配的留白，才能驅動學生的探究欲，讓學生踮起腳尖就能夠得著［2］.但是，教師若提出的是“是不是”“對不對”等封閉式問題，不需要學生加以思考就能回答，這種則不算留白.

2.適用性原則

留白并不是想留就留，而應根據學生的認知水平來決定.如針對一些基礎差、認知水平低的學生，教師給予留白的時間就要稍許充足一些，思維的量應少一些，必要時應給予適當的引導與啟發；針對基礎扎實、思維靈活的學生，則可以根據學生的實際情況，控制留白的節奏與時間.

3.探究性原則

高中數學中的概念、公式或定理等都比較抽象，蘊含著豐富的數學文化與數學思想.教學中，教師可以充分挖掘這些深層次的內容，利用留白啟發的方式，引導學生進行局部探究，讓學生的思維在探究過程中得以發展與升華.教師應把握好概念教學時留白的時機，給學生創造探究的機會，讓學生通過探究拓展思維、提升能力.

4.整合性原則

課堂中，當新授內容與學生原有知識之間存在著一定的聯系時，可以暫緩展示新知，而通過各種形式的留白，鼓勵學生自主發現儲備知識與新知之間存在的區別與聯系，引導學生通過對知識之間關系的梳理，明晰知識脈絡，自主建構新的認知體系.

課堂留白的主要形式

從留白最初的概念來看，它是指中國繪畫過程中著墨疏淡，用空白來構造一種空靈的韻味，給人留以美的享受.由此可見，留白不僅是一種藝術，更是一種智慧與審美的表現.將它遷移到數學教學中，不僅能給學生創造更多思考的空間，還能有效地激發學生學習的主觀能動性，為核心素養的提升奠定基礎.不同的課程類型與授課內容，應采取不一樣的留白形式.一般情況下，留白存在以下三種形式：

1.顯性留白

顯性留白是指教師呈現出明顯的沉默與停頓，學生很容易辨別出教師給他們提供了思考的機會.這種方式也是課堂留白常用的一種，它具有非常明顯的留白痕跡，學生也有充裕的時間去思考或探究問題.

案例1“拋物線及其標準方程”教學.

縱向來看，拋物線的概念學生在本節課之前就有所接觸.第一次是初中階段，學習二次函數圖像時；第二次是在物理學科中，學習平拋物體或斜拋物體運動軌跡為拋物線的一部分時.因此，課程設計可以聯系學生原有認知結構，選擇將新知納入舊知的形式進行教學.

橫向來看，本節課內容隸屬于圓錐曲線與方程的范疇，教師可將本節課教學內容與橢圓、雙曲線等知識聯系在一起，以期引導學生發現它們之間存在怎樣的個性和共性特征，這涉及三種曲線異同點的區分.

引導學生從教學內容的縱、橫兩面入手，不僅能建立完整的知識網絡，還能整合學生的思維，完善學生的認知體系.本節課實施課堂留白，筆者主要從以下幾個方面進行：

（1）情境導入處留白

留白1：利用多媒體展示彩虹、噴泉的圖片，播放跳水、投籃的視頻.提問：說一說生活中還遇到過哪些拋物線.

設計意圖：引導學生回顧與拋物線相關的生活經驗，切入主題.

留白2：請大家歸納一下，之前我們是從哪些方面著手的？是怎么研究橢圓和雙曲線的？

設計意圖：引導學生回憶學習橢圓和雙曲線的共性方法：定義—建系求標準方程—認識性質.

（2）課堂講解處留白

留白3：用幾何畫板展示拋物線的定義，要求學生根據定義求曲線方程.

設計意圖：引導學生用建系的思想求曲線方程，為接下來的探究活動奠定基礎.

留白4：通過建系求方程，有沒有什么地方值得注意？

設計意圖：讓學生思考點F是否在直線l上，并通過局部探究來完善認知.

2.隱性留白

隱性留白是指不留痕跡地進行留白，即教師沒有呈現明顯的停頓，但起到了留白的效果.這種方式在授課中常用，這對吸引學生的注意力，引導學生跟上教學節奏，啟發學生的思維具有重要作用.

如在授課過程中，教師適當地減慢語言速度，讓反應較慢的學生跟上教學節奏；教師有時故意將聲音拖長，在學生給出相應的反饋時，再進入下一個環節；有時用呼之欲出的答案引誘學生接話，等等.

隱性留白由于時間有限，并不能讓學生產生較大的思維量，一般以“補白”的形式呈現.它的關鍵作用在于觀察學生的上課狀態，具有避免學生上課開小差、走神等作用，對提高學生聽課效率具有一定的影響力.

3.綜合留白

綜合留白是將顯性留白和隱性留白綜合應用的一種方式，即結合教學需求，靈活應用前兩種留白方式，讓課堂具有一定的節奏感.課堂本就是一個動態的活動場所，即使是同一個教師面對同一群學生講同樣的內容，都會呈現出不一樣的課堂狀態.因此，留白應結合課堂實際進展，合理選擇留白方式與頻次，并隨著課堂的變化與生成而作適當的調整，達到點撥、啟發的作用.

案例2“等比數列前n項和”教學.

公式、定理等的推導與證明都具有重要的教育意義，教師可以應用綜合留白的方式，引導學生挖掘其中的數學思想，鍛煉學生的思維.

顯性留白1：這種方法（錯位相減法）適用于具備什么特征的數列求和？

設計意圖：留下充足的時間與空間讓學生進行領悟與觀察，并獲得這樣的理解：“錯位相減法除了能求等比數列前n項和外，還可以用于非等比數列的求和運算，因此這是研究數列求和的重要方法之一.”

顯性留白2：還有其他推導方法嗎？

設計意圖：鼓勵學生進行自主探究，若學生感到迷茫，教師可以適當地進行啟發，如“是不是可以類比等比或等差數列求通項公式進行迭乘或迭加？”

隱性留白：a1=a1，a2=a1q，a3=a2q，…，an=an－1q，等式兩邊分別相加，可得a1+a2+…+an=a1+q（a1+a2+…+an－1）.已知等式的左邊為Sn，那么等式的右邊是……（拖長聲音）將右邊的式子變形后再觀察它與Sn的關系（稍停頓），我們要特別留意n≥2這個條件.

設計意圖：此過程呈現出了兩次顯性留白和一次隱性留白，其目的是吸引學生的注意力，深化學生對Sn的理解，等等，尤其是最后一問，是關鍵的一步.Sn=a1+qSn－1=a1+q（Sn－an），可得（1－q）Sn=a1－qan，求出Sn（q≠1）即可獲得公式.

顯性留白3：我們還有其他推導方法嗎？（適時啟發：是否可以從等比數列的定義與性質的角度進行思考呢？）（方法略）

設計意圖：以此分別引出Sn=（q≠1），Sn=（q≠1）兩個公式.這種推導方法應用了等比數列的定義與比例的性質，對訓練學生的數學思維具有重要的啟發作用.

總之，讓學生積極參與課堂教學，并表現出會思考、愿思考的態度，是提高教學效率的關鍵.留白的方式能有效深化學生對知識的理解和融會貫通，培養其數學思維，為創新意識的形成奠定基礎［3］.因此，教師應有意識地合理應用留白，為學生的思維發展提供更廣闊的空間，以彰顯出教學的機智性與藝術感.