關注思維發展梯度 促進學習能力提升
——以“函數概念”教學為例

李泳霖

廣西壯族自治區玉林市北流中學 537499

眾所周知，學生現有知識水平往往是下一個階段即將要到達的認知水平發展的基礎，學生現有知識水平與潛在的發展水平會存在著一定的差異，這個差異往往就需要學生站在“已有認知”水平上“跳一跳”才能到達，然因學生“已有認知”水平不同，加上“跳一跳”的高度不同，因此學生的認知發展水平也會存在一定的差異.教學中要客觀地認識潛在的發展水平，科學地引導學生“跳一跳”，進而使學生的認知結構和思維發展水平得以逐漸完善和發展.

為了探究最近發展區的價值，筆者以“函數概念”教學為例，通過探究最近發展區在教學中的具體作用，逐漸培養和完善學生的已有認知，促進學生學習能力不斷提升.

學情分析

對于函數學生并不陌生，在初中階段學生已經學習并掌握了一次函數、正比例函數、反比例函數和二次函數的圖像及性質，重點掌握了變量之間的變化規律.雖然初中與高中定義函數的角度不同，然初中對函數的定義和數形結合思想為學生在高中理解函數定義中的一一對應的關系奠定了基礎.之所以分為兩個階段進行定義，依據的就是學生的最近發展區：初中階段，學生的邏輯思維能力較弱，對于抽象概念的理解還處于初期的經驗型；高中階段，學生的認知水平、概括能力、思維能力都有大幅度提升，更能掌握抽象概念的本質.可見，教材的編排設計遵循著最近發展區理論.值得注意的是，剛步入高中，受初中學習模式和思維方式的影響，學生思考問題時依然習慣從具體運算或具體問題出發.比如，學生看待函數時還是會從函數的特點出發，將其看成具體的函數，而沒有將其看成一般函數y=f（x）.同時，大部分學生不習慣用抽象的數學符號來理解問題，因此他們常將抽象字母賦予特殊值，將問題向特殊轉化，在特殊中推測出一般規律.

鑒于學生的認知水平和思維特點，教師在概念教學中可以創設一些問題或制造一些認知沖突，讓學生發現很多問題不能用特殊化的方法來解決，也不能用初中對函數的定義進行解釋，以此引導學生“跳一跳”，重新解讀函數的概念.

確定目標

通過舊知回顧喚醒原有認知，借助認知沖突引發學生對新概念探究的熱情，引導學生在互動交流中不斷完善認知，通過解決最近發展區問題發展學生的數學思維.同時，教學中從概念產生的背景出發，讓學生體驗概念形成的過程，進而學會用抽象的語言或符號進行歸納和總結，讓學生在不斷探究和完善的過程中感受數學的抽象美.

教學過程

1.舊知回顧

師：請同學們回憶一下，初中階段我們學習了哪幾個函數？是如何定義函數的？

函數的相關知識是初中學習的重點內容，學生印象深刻，問題回答毫不費力.教師以舊知為引線，喚醒學生的已有認知，掌握學生現有認識水平以便確定下一個發展目標.

師：大家都說得很好，初中的基礎都很扎實.大家分析一下表1中的幾個變化過程是不是函數.

學生根據函數定義首先判斷變化過程中的變量個數，尋找變量在變化時，y與x的對應關系.表1中的變化過程學生并不陌生，此階段教師讓學生先獨立思考，然后進行組內交流，最終得出前面3個是函數，后面2個不是函數.

教師通過預設以上問題不僅讓學生回顧了舊知，也為接下來創設認知沖突做好了鋪墊，以便學生在現有認知上可以“跳一跳”，深入了解函數的概念.

2.引發沖突

師：本節課要學習的重點內容是函數的概念.（很多學生投來了疑惑的眼神）

師：確實，初中已經學過，也能熟練應用，為什么高中還要學呢？（教師以設問的方式激發學生想一探究竟的熱情）

師：現在大家分析一下下面幾個式子，看看他們是不是函數.

（1）y=2；

（2）y=2x+3，x∈｛1，2，4，8，16｝.

從學生現有發展水平來看，學生對函數的理解為“變量x按照一定的規律變化而得到變量y”，學生認為y=x，y=，y=ax2+bx+c這樣的，y隨x變化而變化的才是函數.對于以上式子用已有認知中的“變量說”來判斷它們顯然不是函數，那么新概念中的函數是否有變化呢？是否可以將以上式子歸結為函數呢？這樣通過創設認知沖突和心理沖突，引導學生積極思考，進而沖破已有認知的束縛，從一個新的角度重新認識函數，在學生的最近發展區完成新知的建構.

3.形成新知

在初中學習函數概念時，單純從變化的觀點去描述，強調的是變量和變域，并未揭示函數的實質，因此，高中階段需變“特殊”為“一般”，從新的角度出發，準確地刻畫函數的實質.

師：請大家從集合的角度去思考表1中的①、②、③，看看它們有什么共同的特征.（從集合的角度去思考會使部分學生產生一定的困擾，因此教師讓學生進行合作探究，通過合作交流、集思廣益從新角度重新出發）

生1：此過程中形成了兩個非空數集A，B.

師：很好，還有什么其他發現？

生2：集合A中的每一個元素x，在集合B中都可以找到唯一對應的元素y.

師：若將變化過程看成對應法則f，請大家從集合的角度重新定義一下函數.（因概念較為抽象，需要在教師的引導下，通過積極討論，抽象概括出新概念）

生3：一般地，設集合A，B為非空集合，若集合A中的每一個元素x，按照某種對應法則f進行變化，在集合B中都有唯一的元素y與之對應，這樣的對應叫做從A到B的一個函數.

師：總結得非常好.那么這種對應關系記為y=f（x），x∈A，所有輸入的值x組成的集合叫做y=f（x）的定義域；所有輸出的值y組成的集合C（C?B）叫做函數y=f（x）的值域.（教師進行及時補充）

在生3的基礎上教師及時進行了補充，從而使概念更加完整.此過程雖然有教師的引導，然教師提出問題及后期學生的探究活動都是在學生現有發現水平上推進的，因此新知的探究顯得自然流暢，學生參與的積極性較高，很快由“變量說”轉化為“集合說”，使學生對函數的認知更加全面、具體.

4.深化理解

雖然學生全程參與了新概念概括和抽象過程，然教師若對概念的關鍵要素不進行提取，學生對概念的理解可能依然無法深入.

師：請根據函數的定義思考一下，構成函數需要哪幾個必備的條件呢？（教師用PPT展示概念，讓學生更加清晰完整地重新認識概念）

生4：兩個集合必須“非空”.

生5：還有兩個關鍵詞——“每一個”“唯一”.

學生對“每一個”和“唯一”的理解是形成概念的基礎，教師在此環節應仔細講解，進而讓學生深入理解“定義域”和“值域”.

師：現在大家再來判斷之前給出的y=2和y=2x+3是不是函數.

應用新概念，學生可以輕松地判斷出兩個式子都是函數，可見，新知已經得到了內化.為了探究函數的核心，教師又做了如下引導：

師：根據新概念，函數由哪幾部分構成？

在問題的引導下，學生根據概念總結出了構成函數的三要素.為了讓學生深入理解函數的三要素，教師可以設計一些具體實例，如將函數y=30x（x≥0）和y=x2（x∈R）相對比，讓學生體會對應法則；讓學生思考f（x）=x與g（x）=（）2是否為同一函數，引導學生知曉定義域的價值，對于值域主要取決于定義域和對應法則，故兩者相同其值域必然相同；為了消除字母的干擾，可引導學生分析f（x）=x與g（t）=是否為同一函數，顯然兩個函數的定義域和對應法則相同，故可直接判斷其為同一函數，由此讓學生跳出函數變量為x，y的固定思維模式的束縛，以便更加全面地理解函數概念.

5.練習及反思

練習是鞏固、檢測知識的必經之路，教師可設計一些分層練習，同時在練習時預設一些“陷阱”，進而幫助學生進一步完成知識的內化.同時，學習中要關注反思，例如函數概念教學中，讓學生進行初中、高中函數概念的對比反思，總結和歸納出兩者的區別與聯系；讓學生反思函數概念的三要素，理清三要素的關系，進而使學生可以更加深入地理解函數概念，便于完成最近發展區知識體系的建構.

總之，教學中不要急于求成，要堅持以學生為主體，從學生的現有認知水平出發，通過“沖突”“抽象”“反思”等思維活動，引導學生在最近發展區“跳一跳”，進而不斷提升學生的學習能力.