核心素養下教材例題的探究性學習例談與思考

靳 朋,嚴艷華，夏小剛

(貴州師范大學數學科學學院，貴州貴陽，550025)

1 習題解答，探究性學習起始點

人教A版高中數學必修第一冊《5.5.2簡單的三角恒等變換》一節中，練習第2題是一道求扇形內接矩形面積的習題，它是在學習了三角函數的圖象與性質、兩角和與差的三角函數、和(差)角公式、二倍角公式和輔助角公式等必備知識的基礎上呈現的.在課堂教學中，教師不應只滿足于簡單地就題論題的講解、分析、總結，這樣只能讓學生簡單鞏固所學內容，而很難達到對于知識點的深度學習.教師可以將課本例題和習題作為探究性學習的出發點，引導學生尋找探究學習中有關聯的學習素材，做好類比、歸納等變式教學，找準探究性學習的恰當時機，只有這樣，才能對例題和習題作探究式學習，不但可以提升學生問題探究的思維活躍度，還可以提高學生分析問題和解決問題的能力.

例1要在半徑為R的圓形場地內建一個矩形花壇，用什么方法截取才能使花壇的面積最大？

圖1

分析：將圓形場地內建成一個最大矩形花園就是求圓內接最大矩形.如圖1，當邊AB固定時，內接矩形面積的大小取決于點C所在圓弧上的位置，而∠BAC的大小又決定點C所在的位置.由此可先建立矩形面積關于∠BAC的函數，再求此函數的最大值即得圓內接最大矩形的面積.

啟示：數學知識既是數學思考的基礎，又是數學思考的結果.通過對上面題目的分析和解答，可以看出，內接矩形面積的大小可以由圓弧上點的位置來確定：先設圓心角，建立起內接矩形面積關于圓心角的三角函數，再通過三角函數的有界性找出特殊點，從而求出內接矩形面積的最大值.所以，在實際教學中，我們不應該只滿足于對三角函數的簡單應用和基礎知識鞏固，更要擅于歸納、整理和提煉其中所蘊含的數學思想.探究始于問題、問題引領探究，正如課程標準中指出“在倡導積極主動的探究式學習過程中，培養學生的創新精神和實踐能力”[1].因此在數學課堂中，教師應當帶動學生參與問題的探究活動，引導學生經歷數學知識“再創造”的過程，發展學生的思維能力和知識遷移能力.

2 方法類比，探究性學習關鍵點

類比是在事物之間進行的，由特殊到特殊的推理形式[2].類比思維強調知識點的共通與轉化，主要包括聯想和比較兩種形式，聯想是指依據新信息聯想起舊知識，比較是指在新舊知識間建立聯系，找出相似點或不同點[3].它不僅是科學探究中最常用的基本方法之一，也是進行探究性學習的初級過程和必備知識要求.

類比思維注重由典型例題引出新問題，即由特殊題目類比聯想，猜想到一般性的結論并加以證明，使得探究環環相扣，并且做到由淺入深，由現象到本質.通過不斷嘗試、探究，既能讓學生鞏固之前所學的知識，又能體會數形結合、歸納類比，多題歸一等數學方法，達到“既見樹木，又見森林”的效果.

2.1 從圓內接矩形類比到半圓內接矩形

變式1如圖2，要在半徑為R的半圓形場地內建一個矩形的花壇，應怎樣截取，才能使花壇的面積最大？

分析：在半圓形場地內建一個面積最大矩形的花壇.可以先確定半圓內接矩形的一個頂點，則剩下三個頂點也隨之而定，所以此時只要設出圓上一個動點，便能求解.

圖2

啟示：將圓類比得到一個半圓后，同樣可通過角來設圓上點，利用三角函數的有界性，求圓內接最大矩形的面積，通過改變題目條件或結論，進行探究性學習，可以有效提升學生對所學方法的靈活應用能力，激活解題思維.

2.2 從半圓內接矩形類比為四分之一圓內接矩形

圖3

變式2如圖3，要在半徑為R的四分之一圓形場地內建一個矩形的花壇，應怎樣截取，才能使花壇的面積最大？

分析：由變式1可以看出，圖形具有很好的對稱性質，對于本題也是一種啟發，可以采用“先猜后證”，即，先根據特殊點(弧中點)，特殊圖形(正方形)猜出結論，再證明一般情況.

啟示：用三角函數和基本不等式來探求多種解法，幫助學生樹立用數學知識解決問題的意識，學生在探究過程中能更深刻感悟知識點間的內在聯系.在理解鞏固并靈活運用知識的基礎上，深層次啟發學生的數學思考能力，從而培養學生的多向思維、歸納能力和創造性思維.

2.3 從四分之一圓類比到圓心角為60°的扇形

圖4

分析：矩形ABCD因C而定，因此設置參數α.只需要借助參數和半徑表示出矩形ABCD的相鄰兩邊長，再應用三角恒等變換，將面積表示為三角函數，最后利用三角函數性質直接求解.

啟示：波利亞認為，類比是偉大的引路人.通過課本例題，從學生的最近發展區入手，引導學生用類比的方法探索新知識.由圓類比到半圓，由半圓到四分之一圓，再到圓心角為60°的扇形，在圓的解題方法和思想中得到了其他圖形的解題方法，具有很好的教育價值.不難看出，在圓類比的過程中也蘊含了普遍性與特殊性的辯證關系，學生在無形中也運用了哲學思想來思考問題，看待問題的角度和方式也更科學合理.

3 分類討論探究性學習接力點

把所有探究的問題根據題目的特點和要求分成若干類，轉化成若干個小問題來解決.這種按不同情況分類，然后再逐一探究解決的數學思想，被稱為分類討論思想[4].分類討論思想可以應用于多種題型，除應用于四分之一圓內接矩形這一情形外，還可用于四分之一圓內接矩形在圓弧上有兩個頂點的情形，所以求四分之一圓最大內接矩形需按圓弧上點的個數為一個或兩個進行分類討論，這是開展探究性學習活動的主干內容之一，也是支撐探究性學習活動順利開展的關鍵點和支撐點.

3.1 從內接矩形一個頂點在弧上變為兩個頂點在圓弧上

圖5

變式4如圖5，要在半徑為R的四分之一圓形場地內建一個矩形的花壇，A，B兩點在圓弧上，求這個花壇的面積最大值.

解：過點O作矩形AB邊的垂線OP交圓弧于點P，則根據對稱性，點P為四分之一圓弧的中點.設∠BOP=θ，則

3.2 從圖形語言表述轉向文字語言表述

變式5求四分之一圓內接矩形面積的最大值.

分析：因為圓弧上只有一個或兩個矩形的頂點，所以四分之一圓內接矩形有且只有變式2和變式4兩種情形，因而求四分之一圓內接矩形面積的最大值，只需比較兩種情形下的最大值即可.

分析：由圓弧上只有一個或兩個矩形的頂點可知，半徑為R、圓心角為60°的扇形內接矩形有且只有兩種情形，如圖6所示.

圖6

4 歸納拓展，探究性學習的延伸點

歸納是從個別性的前提推導出一般性結論的推理方法，其實質是從已經驗證過的事物中推斷出未經驗證的事物，它是從特殊推向一般的合情推理.在數學教學過程中，有選擇性地讓學生體驗探究一些歸納拓展的推理過程十分重要，它往往是探究性學習活動過程中的生長點.

分析：本題是求扇形內接矩形面積的最大值，可以理解為在扇形中如何裁剪出最大的矩形，可以看出，矩形的頂點至少有一個在扇形的圓弧上才能使其面積最大，所以要分在圓弧上的頂點為一個或兩個來求內接矩形面積的最大值，再比較兩種情形下的最大值，從而求得扇形內接矩形面積的最大值.

圖7

啟示：在教學中，教師應借“題”發揮，小“題”大做，引導學生全面、深入、創造性地研究經典例題.正如蘇聯數學教育家奧加涅相所說：“很多習題潛在著進一步擴展其數學功能、發展其教育功能的可能性……，從解本題到轉向獨立地提出類似的問題和解答這些問題，這個過程顯然在擴大解題的‘武器庫’，學生利用類比和概括的能力在形成；辯證思想的獨立性以及創造素質也在發展.”因此，讓學生在理解題目的基礎上，多角度、全方位深層次地針對習題開展探究性學習活動，并獨立地提出一些與此有關的問題或結論，是提高學生數學核心素養的有效途徑之一.

5 教學啟示

5.1 解答習題，發掘研究性學習素材

關注習題解答，是提高教師教學效率的重要方式，更是提升學生解題能力的重要途徑.通過對教材的挖掘、探究、拓展、變式的思想理念，為學生進行數學知識“再創造”提供機會，讓學生把具有共性的知識點進行條理化和系統化，以達到優化知識、開拓視野、活躍思維的目的.同時在開展探究性學習活動的過程中，引導學生進行反思與提升，總結出解題的通性通法，為下一步的探究做好準備，讓學生的“再創造”過程從被動轉為主動.

5.2 類比求解，揭示類比數學思想方法與思維的形成

張奠宙教授指出：“數學教育的核心是讓學生掌握數學的本質.”數學的本質是什么？從教育者角度看，數學的本質應該包括數與形的客觀規律、知識所處的背景、地位、作用、聯系、區別及其蘊含的數學思想方法、思維過程[5].應用探究所得結論進行解題，是探究學習的坐標體現.利用例題所得出的解題思路和方法，對例題作一般化的推廣處理是數學的學科特征，是理性思維的體現.運用類比思想，從“特殊到一般”的思維過程，落實“理性思維”的育人目標.

5.3 歸納延伸，留下繼續探究的“上升通道”

研究性學習不僅要做好知識層面、思想方法層面、學習方法層面的歸納，還要在歸納的基礎之上，運用發散的類比思維做好延伸.