多元表征策略在分數乘除法計算教學中的運用

董美榮

(南師附中黃山路小學，江蘇南京，210000)

“表征”即“顯示出來的現象，表現出來的特征”.作為動詞，“表征”表示對事物本質的揭示和闡明；作為名詞，“表征”表示事物顯示出來的現象、特征.多元表征指的是信息通過心象碼的建構過程，對信息進行編碼和形成多種轉譯，從而形成對信息多元化的表征.

在數學教學中，多元表征主要分外部表征和內部表征.所謂“外部表征”，是指學生借助語言、文字、符號、圖片等形式對學習對象進行的表征；所謂“內部表征”，是指學生加工數學的心理表征，包括言語表象、視覺表象、記憶表象、思維表象等.通常情況下，只有將外部表征轉化成學生的內部表征，數學教學才能發揮應有的效用.在數學教學中，教師以言語信息(主要包括口語、符號、圖象、文字等)和非言語信息(主要包括圖片、實物、模型等)將數學學習內容呈現給學生，經過學生的個體加工，將外部的言語或者非言語編碼以多元表征形式納入內部表征系統之中，形成學生的心象碼.在這個過程中，學生能夠完成信息的轉換和意義的建構.

分數乘除法的計算，包括了算法和算理等程序性知識，如“甲除以乙等于甲乘乙的倒數”這個法則，是在理解算理的基礎上，通過壓縮、抽象，將運算過程壓縮成標準化的運算步驟，進而概括出運算法則[1].同時，它也包含一些概念性的知識，如分數乘法的意義、分數除法的意義以及分數的基本性質等內容，算理是總結算法的依據.所以，分數除法的計算一方面體現了算法的程序性知識，另一方面也體現了算理的概念性知識.但不管哪種學習，都需要一種內在或外在的“客體”來表征，即多元表征，來提高學生的思維能力.

1 多元表征方式的相互轉化，促進算理的深入理解

美國的心理學家萊什(Lesh)把數學學習中常見的表征方式歸結為：實物情境(real-word situations)、操作模型(manipulative aids)、圖形或圖表(picture or diagrams)、語言表征(spo-kenlanguag)、符號表征(writtensymbols)五種表征系統.他認為這五種表征系統之間沒有先后順序關系，但能相互轉化和相互影響，正是這種轉換和影響的密切關系能有助于提高學生數學理解能力[2].

蘇教版數學六年級上冊《分數乘法》這一單元例1，教授的是分數乘整數的計算，這部分內容的計算方法很多學生在沒有學習之前，都能做出來.但為什么可以這樣做，也就是算理是什么，大部分學生是模糊的，如果不把算理弄清楚，就會對后續的分數乘分數以及分數除法的計算帶來很大的困擾.

圖1 分數乘整數計算的多元表征結構

在分數乘法的練習中，學生經常會遇到下面這樣的題組練習：

(長方形表示1米)

(長方形表示4米)

圖2

圖3

圖4

圖5

2 多元表征方式的運用，加深算理理解的拓展

鄭毓信教授指出：數學核心素養的真正內核所在是我們如何能夠通過數學教學幫助學生思維，這并非是指想得更快一點、如何能夠與眾不同，而是我們應當逐步學會想得更清晰、更全面、更深刻、更合理.

數學語言和符號表征是數學研究中兩種古老的方法，將兩者結合起來，也是非常實用的教學方法，在分數算法的探究和算理的理解上能起到錦上添花的作用.教師在教學的過程中，要幫助學生建立新舊知識之間的內在聯系，打通思維的脈絡，使學生獲得原理性知識.把直觀地發現演變成深刻的理性思考的符號表征環節是課堂教學的核心點.

蘇教版數學六年級上冊第39頁有這樣一道思考題.

圖6

看到這道題目，很多同學會感到無從下手，即使知道應該先確定中間那個數是多少，但也不知道如何確定下來.教師應該幫助學生深入理解“使每條線上3個數的乘積都是1”這句話，乘積是1，聯想到倒數的概念.我們剛剛學習過的是“乘積是1的兩個數互為倒數”，那延伸開來，三個數是不是也可以找到一個數與另外兩個數的積互為倒數呢？結合題目我們繼續探究中間的○同時在三條線上這一關鍵信息，也就是說中間的數要與每一條線上的另外兩個數的積正好是互為倒數，則三個數的乘積才能是1.這樣，我們就能找到解決問題的突破口.

圖形表征是將概念或法則用圖形、圖象、直觀模型等方式描述出來理解.低年級學生由于抽象思維能力相對較弱，借助直觀圖形來解題的情況很多.其實，在高年級，遇到較難或是易錯的題目時，圖形表征也是一種非常有效的教學方法，例如在分數除法教學中，讓學生從圖形中找出計算的步驟，并理解計算過程中每一個數據在圖形中所代表的模塊.

蘇教版數學六年級上冊第52頁的思考題如下.

圖7

圖8

這題我們也可以轉化成份數來解決：小明原有金魚5份，送給小紅1份后，兩人的金魚條數一樣多.這時小明還有4份，而小紅加上1份后變成4份，說明小紅原本只有3份，也就是說原來小明比小紅多2份，正好是多了8條金魚.那我們便可以利用8÷2求出1份金魚的數量是4條.

3 多元表征方式的運用，促進不同層次學生的真正發展

新修訂的《義務教育數學課程標準》(2017年版)中提出：要使不同的人在數學上得到不同的發展，要調動學生積極性，引導學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維[3].在課堂教學中，為了促進學生學會對知識進行圖形、模型、語言、符號情境等表征形式的運用，可以讓學生借助“畫一畫、做一做、說一說、寫一寫、舉例子”的形式來探究知識，使學生手、眼、耳、口、腦全方面、多途徑地去理解知識，從而達到有效地理解計算的目的.

蘇教版數學六年級上冊《分數除法》這一單元，從分數除以整數，到整數除以分數，再到分數除以分數，采取層層遞進的方式讓學生慢慢掌握分數除法的計算法則.

圖9

圖10

圖11

圖12

列式：

通過上面分數除法例題和題目的講解，我們不難發現，對待同一題目，要根據不同層次學生的理解能力，在不同的教學環節采用不同形式和層次進行表征，實施恰當有效的教學來提升學生對分數除法計算知識的深刻理解.

小學分數乘除法計算算理的理解很抽象，應該善用各種表征，為學生搭起思考的橋梁.針對不同的教學內容，巧用、善用數學多元表征和不同的教學策略，為更多學生的發展提供幫助.