數學問題驅動學生深度學習的教學探索
——以“二次函數”教學為例

趙 陽

(貴州師范大學數學科學學院，貴州貴陽，550001)

《義務教育數學課程標準(2022年版)》中明確指出，義務教育數學課程應使人人都能獲得良好的教育，不同的人在數學上得到不同的發展，逐步形成適應終身發展需要的核心素養[1].由此可見，隨著新課改的推進，對學生的數學學習的要求有了很大的提高，使得教師和學生都面臨著更加艱巨的任務和挑戰，如何在數學教學中培養學生的核心素養如今已經成為了眾多教師以及教學研究者亟待解決的問題[2].問題驅動是培養學生數學思維的有效方式，是促進核心素養發展的重要工具.當前的數學課堂中存在大量問題驅動的教學形式，但是依舊存在一定的問題，比如，課堂中存在大量的設問，且問題設置僅僅停留于知識的表層，不具有較強的探究性，這就使得問題驅動的教學流于形式.對于學生而言，只有對知識本身的認識和理解，而缺乏參與知識生成的過程和經歷[3]，難以實現促進學生深度學習的目標.

1 基于數學問題驅動學生深度學習的理論分析

1.1 問題驅動的內涵

問題驅動是通過合理設置教學問題促進學生深度思考和解決問題的過程.問題驅動教學的實質是指要創設真實的問題，并賦予其有效的數學情境，通過教師引領，學生圍繞問題情境進行探究發現，在解決問題的過程中體驗數學的“再發現”過程，發現具體的數學知識，也能獲得相應的數學思想方法[4].有效的問題驅動需立足于學生實際，創設問題情境，激發學生學習興趣，并以問題串的方式，引導學生在問題驅動下積極參與數學探究活動，經歷數學知識的形成，提升數學學習效率.通過問題驅動教學，能激發數學學習積極性，引導學生經歷數學思考過程，有助于感受數學知識的本質，促進學生深度學習.

1.2 深度學習的內涵

數學深度學習指學生加深對數學本質的理解，提升學生數學思維能力、促進數學核心素養獲得的學習過程[5].就中學生而言，數學深度學習的主要表現是數學核心素養的形成，具體體現在數學理解、數學抽象、問題提出、問題解決以及知識遷移等方面.數學深度學習立足于學生數學核心素養的發展目標，以數學知識為載體，通過教師引導，學生圍繞數學學習任務，全身心投入到數學學習的過程.在教學中，教師應該通過創設適合的問題情境或是設置具體的學習任務，讓學生積極參與數學知識的探究，親身經歷數學知識的形成，深刻感知數學知識的本質，發展學生的數學思維能力，促進學生學科核心素養的發展.

1.3 問題驅動對深度學習的影響

問題驅動是當前數學課堂教學中的基本模式，同時也是重要模式[2].問題是數學的心臟，有效的問題驅動能夠促進學生積極參與數學知識的探索過程，促進學生對知識脈絡的充分分析，幫助學生對知識本質進行深入理解.在數學課堂中教師要學會提問，問題的設置要立足于學生現狀，積極引導學生參與到數學課堂中，深度地思考，深刻地感知，體會知識的形成過程，感悟數學的基本思想，總結數學基本活動經驗，感受數學知識的本質.

當前的數學課堂中，存在大量形式化的問題驅動，許多教師為了迎合當前的上課風格，在課堂中設置大量問題串，但是對于學生的具體情況沒有進行深入分析，數學問題沒有進行精心的設計，導致提問的水平較低，提問的內容浮于表層，沒有起到促進學生深度思考的效果，也無法讓學生感受到數學知識的本質，難以達到深度學習的效果.因此，問題驅動教學的前提是對問題的精心設計.教師要對教學材料進行細致的分析，深入理解數學知識的本質，厘清知識的脈絡，再立足于學生現狀，精心設置合適的問題串，以便更好地達到問題驅動教學的效果.

2 教學過程

2.1 復習提問，回顧舊知

問題1：函數的定義是什么？

生：一般地，如果在一個變化過程中有兩個量x和y，并且對于變量x的每一個值，變量y都有唯一的值與它對應，那么我們稱y是x的函數.

【設計意圖】通過回顧函數的概念，引導學生記憶自變量與因變量之間的關系，加深對函數定義的理解.

問題2：我們學過哪些函數？這些函數的表達式是什么？

【設計意圖】幫助學生回顧已學過的函數，加強學生對已學函數的記憶，同時也為本節學習二次函數奠定基礎.

問題3:對于一次函數y=kx+b(k≠0)，為什么限制k≠0？

生：若k≠0，則關系式變為y=b，不是一次函數.

【設計意圖】二次函數定義的學習可以類比一次函數，通過對一次函數表達式的回顧，能夠類比獲得二次函數，同時通過對k≠0的討論可以為本節內容中a≠0提供模板，幫助學生更好地理解二次函數中a≠0的意義.

2.2 創設情境，激發興趣

問題4：設正方形的邊長為x，正方形的面積為y，y與x之間有什么關系？

生：正方形的面積等于邊長乘邊長，因此正方形的面積y=x2.

追問1：如果正方體的邊長x發生變化，那正方體的表面積y與x之間有什么關系？

生：正方體的表面積等于6個全等的正方形的面積，因此正方體的面積y=6x2.

【設計意圖】正方形的面積公式是學生所熟悉的，因此首先通過正方形面積這一簡單的問題情境，讓學生進行思考，獲得關系式y=x2，再通過將題目中的正方形變化為正方體，將問題進行簡單提升，難度上的變化較小，學生能夠很快解決.在此過程中，使學生獲得勝利的喜悅感，有效提升學生的積極主動性.該問題中，學生可以獲得二次函數的一種情況，b=0，c=0即y=ax2(a≠0).

問題5：學校準備舉辦乒乓球比賽，有n支球隊參加比賽，每兩隊之間進行一場比賽，比賽場數m與球隊數量n之間有什么關系？

【設計意圖】在校園中各種比賽數不勝數，從學生感興趣的話題出發，能夠有效調動學生情緒，在該問題中，學生可以通過觀察與思考，得到每一支球隊會與(n-1)個隊伍比賽，最后得到關系式.在該問題中，獲得了二次函數的另一種情況，b≠0，c=0，即y=ax2+bx(a≠0).

問題6：某產品年產量為20 t，計劃今后兩年增加產量.如果每年都比前一年的產量增加x倍，那么今后兩年該產品的產量y與x之間的關系應該怎樣表示？

追問1：一年后該產品的產量是多少？

生：20(1+x)(t).

追問2：兩年后的產量y與x之間的關系應該怎樣表示？

生：y=20(1+x)(1+x)=20(1+x)2=20x2+40x+20.

【設計意圖】該情境是來自于現實生活中的問題，相對于前面兩個情境的問題，這個情境會更為復雜，因此可以通過分解問題，采用追問的形式先讓學生將明年的產量表示出來，在明年的基礎上再進行計算會更加簡單，也更容易理解，同時所列出的關系式包含三項，與二次函數的一般形式正好對應，更便于學生觀察.

2.3 問題驅動，獲得概念

問題7：觀察得出的4個關系式，回答下列問題：

追問1：上述四個關系式是不是函數？

生：這些關系式都滿足函數的定義，所以它們都是函數.

追問2：它們有什么共同特點？

生：x的最高次數是2，等號兩邊都是整式.

追問3：能否用符號語言，描述它們的共同特征？

生：y=ax2+bx+c.

追問4：類比一次函數的定義給猜想它是什么函數？該怎樣給它下定義呢？

師生互動：二次函數.一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c都是常數，a≠0)的函數，叫做二次函數.其中，x是自變量，ax2叫做二次項，bx叫做一次項，c叫做常數項.

追問5：為什么規定a≠0？

師生互動：因為a=0，二次項的系數就為0，此時x的最高次就是一次，不是二次了.

追問6：b和c可以為0嗎？

師生互動：若b=0，c≠0則有y=ax2+c(a≠0); 若b≠0，c=0，y=ax2+bx(a≠0)；若b=0，c=0，則有y=ax2(a≠0)，最高次數為2，依舊是二次函數，因此b和c可以為0.

【設計意圖】以問題驅動的方式引導學生進行思考，將概念的探究分成一個個小任務去完成，簡化概念探索的繁雜過程，教師通過問題引導，學生思考，有助于學生厘清概念的本質，促進學生的深度思考，加深學生的理解.

追問1：幫助學生回顧函數的概念，只有這些關系式是函數的情況下討論其屬于什么函數才有意義.

追問2：通過觀察，發現二次函數的特征，歸納出上述關系式自變量的最高次為二次，等式兩邊都是整式.

追問3：將文字語言表示為符號語言，便于后面更快速地歸納出二次函數的定義.

追問4：一次函數自變量的最高次數為1，而此處的最高次數為2，自然就會想到二次函數，根據所歸納出的二次函數的符號，結合一次函數的定義，即可類比一次函數歸納出二次函數的定義.

追問5：只有a≠0，才能保證自變量的最高次數為2，才符合二次函數的定義.

追問6：在一次函數中若b≠0，則函數變為y=kx(k≠0)，此時它是一次函數的特殊情況正比例函數，同樣的當b≠0，c=0時，y=ax2+bx(a≠0)；當b=0，c≠0時，y=ax2+c(a≠0)；b=0，c=0時，y=ax2(a≠0)，很明顯三個式子都是滿足二次函數定義的，通過問題的驅動，學生自主探究，能夠加深學生對二次函數定義以及表達式的理解.

2.4 問題檢驗，體現認知

練習1：函數y=(m-2)x2是關于x的二次函數，求m的值？

練習2：函數y=(a-2)x(a2-4)是關于x的二次函數，求a的值？

練習3：函數y=ax2+bx+c(a，b，c都是常數)是二次函數嗎？

練習4：為了擴大小區的綠化面積，決定將小區的一塊長為30 cm，寬為20 cm的矩形綠地的長、寬各增加xm，請寫出擴充后綠地面積y與x的關系式？

【設計意圖】練習1-3是為了幫助學生加深對二次函數的理解，感受二次函數的本質，讓學生體會到若y=ax2+bx+c是二次函數，必須滿足二次項系數不能為0，最高次數必須是2.練習4是通過生活實例列出二次函數的關系式，讓學生體會學習二次函數的意義，培養學生的數學應用意識.

3 教學反思

3.1 創設問題情境，促進學生深度思考

問題是數學的心臟，也是數學課堂的核心.數學問題驅動的關鍵是問題情境的創設，教師應創設有效的數學情境驅動數學教學，為學生提供一個可輕松探索的問題空間[6].引導學生快速地進入數學課堂，幫助學生體會內容的現實意義，厘清知識的概念與本質，幫助學生在數學問題情境中深度思考.

3.2 設置問題驅動，促進學生深度合作

數學學習是一個主動探索的過程，應給予更多的探索時間和空間.在教學過程中，教師要重視學生的主體地位，通過設計具有層次性的問題鏈驅動學生的數學思考，為解決數學問題指明探究的方向，給予學生深度合作的機會，幫助學生厘清概念，逐步深化對數學知識的認識，體會數學學習的意義和價值.

3.3 設置問題拓展，促進學生深度探究

愛因斯坦曾說過：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要”.教師在教學中要重視對學生問題意識的培養，問題拓展能有效促進學生的數學思考和探究，發散數學思維，是培養問題意識的重要手段.因此教師要在課堂中突出學生的主體地位，給予學生更多的思考時間和探究空間.通過設置拓展性的問題，讓學生充分思考，深度探究，促進學生數學思維的發展，加強學生的數學問題意識.

3.4 開展課后評價，促進學生深度反思

課堂教學與課后反思相結合，不僅能加強學生的數學理解，也能培養其良好的學習習慣.在課后，教師可以采用相關試題讓學生開展自評，培養學生獨立解決問題的能力，并及時反饋學生的學習情況，進一步加深對所學內容的理解，讓其在解決問題中發現問題，不斷提升發現和提出問題的能力，從而激發學生的深度反思，促進學生核心素養的提升.