多法歸一：厘清本質，感悟思想
——一道例題的教學感悟

蔣志勇

(江蘇省如皋初級中學，江蘇如皋，226599)

數學思想是學生分析和解決一些綜合性較強的數學問題的重要工具，在學生四能發展中起到十分重要的作用.數學教學，要重視數學思想的教學.一線課堂應努力將數學思想的發現與應用融入常態課堂，要力求讓學生經歷分析問題和解決問題的完整過程，并通過交流總結，感悟數學思想的客觀存在和應用價值，從而提升其數學能力.本文擬結合一道例題的教學過程及簡要分析，談談筆者的做法，供大家參考.

1 例題及分析

例題已知P=x2+t，Q=2x，若對于任意的實數x，P>Q始終成立，則t的取值范圍為.

簡析：本題是有兩個等式和一個不等式組成的“求取值范圍”的例題，題目將函數、方程、不等式等知識融為一體，意在讓學生通過方程、不等式向函數的轉化，調用函數思想、數形結合思想來分析和解決問題.本題被教師作為例題，安排在“二次函數的圖象和性質”復習課中.

2 教學過程及簡析

2.1 教學過程簡述

2.1.1 自主解答，組內交流

教師投影例題，讓學生自主解答，3分鐘后，學生在學習小組中交流結果，解題思路及出錯的原因.

2.1.2 全班交流，分享解法

學生組內交流結束后，教師安排學生進行了8分鐘的解法分享，按小組分別展示了如下幾種解法：

小組1：P=x2+t，Q=2x，可以看作是兩個關于x的函數，P>Q就可以看作是函數P的值的大于函數Q的值，接下來在坐標系中作出兩個函數的大致圖象.如圖1，當兩函數圖象只有唯一的一個公共點時，P=Q，此時，方程x2+t=2x有兩個相等的實數根，Δ=0，所以，t=1，將P=x2+t的圖象向上平移，即讓t>1，即可保證P>Q了.

小組2：由P>Q得P-Q>0，將P=x2+t，Q=2x統整為一個函數y=x2-2x+t，作大致圖象如圖2，結合P-Q>0得y>0，即函數圖象位于x軸上方，所以，方程x2-2x+t=0有兩個不相等的實數根，所以，由Δ>0可得t>1.

小組3：P>Q，即x2+t>2x，整理得x2-2x>-t.令y1=x2-2x，y2=-t，作兩函數的圖象如圖3.當y2=-t的圖象位于y1=x2-2x的下方時，滿足題目要求，此時-t<-1，即t>1.

圖1

圖2

圖3

2.1.3 小結提升，歸納經驗

教師引導學生回看三個小組列出的式子、畫出的圖象，逐一梳理三種不同解法的解題過程，并歸納出共性過程：先依據題意建構數學模型(數)——一次函數或二次函數，畫出函數圖象(形)，根據函數圖象建構新的方程(組)或不等式(組)等數學模型(數)，通過解這些新建的模型得到問題的答案.教師隨即將“數→形→數”板書在黑板上，并指出這是今后解答此類數學問題的一般路徑.

2.2 簡析

教師為這道例題的教學安排了三個環節：第一環節，自主解答，組內交流.學生先獨立思考，嘗試解決問題，然后小組交流，各人將自己的思考成果組內分享，并在小組中達成共識；第二個環節，全班交流，分享解法.教師安排學生以小組為單位將本組的解法再全部進行了分享，三種不同路徑下的數形結合，為下面的總結歸納提供了充足的素材；第三環節，小結提升，歸納經驗.教師引導學生圍繞第三個環節中呈現的三種不同方法，歸納其共性路徑，學生在梳理中不斷感悟數形結合思想，并對解決此類問題的一般方法——“數→形→數”有了更深的認識.

3 教后反思

3.1 例題教學要關注問題本質

例題教學要關注問題的本質，要帶領學生揭去問題情境的外衣，透過現象看本質，把握問題的實質，從而找尋到問題解決的一般路徑.比如，本文中的這道例題，表面看是方程、不等式，其實質確是函數問題，是需要借助函數圖象的高低來解決的.在教學中，如果教師不去引導學生透過方程組、不等式這一表象，去看到函數的本質，那問題的解答與交流時很難有深度的，學生的發展自然也就很難契合例題設計的要求了.事實上，例題的本質在其作為例題時就已經明確了，比如，本文中的這道例題被教師安排在“二次函數的圖象和性質”復習課上，其用意是十分明顯的，如果學生個體不能看透這個話，片斷中安排的小組交流、全班交流同樣可以揭示這一實質，所以，關注例題的本質應是教師課前要做的功課，課上也可以在適當的時機予以明晰.

3.2 解題交流要聚焦同質方法

一題多解在數學中十分常見.相同的數學問題，不同人會有不同思考路徑，也就會產生不同的解題方法.人的差異、情境的不同等都是產生異樣解法的重要原因，而我們的數學教學在通過多樣解法呈現學生的不同思維歷程，達到梳理知識、積累經驗的目的時，我們還應關注同質方法的歸納總結，要力求在相同解法的“同在何處”和“差在哪里”的詳實分析，讓學生獲取這類數學問題解決的通解通法，以求實現“解一題，會一類，通一片”的教學目標.再來說說文中的這道例題，學生完全可以利用配方法來求解，但教師并沒有將此為作為教學的重點加以呈現，而是讓學生觀摩了三組“數→形→數”的求解過程，這些同質方法的交流，使學生對方程(組)、不等式(組)與函數的關系，函數的解析式法與圖象法的關系有了深刻的認識，有助于他們厘清初中最常見的三種代數模型之間的關系.

3.3 思想感悟要扎根過程體驗

數學思想教學，過程體驗尤為重要.數學思想一般都是隱性存在的，沒有個體的深入體驗，我們一般很難發現數學思想的客觀存在.因而，數學思想教學，要重視過程的歷練，要讓學生在近乎相同的分析問題和解決問題的過程中，不斷感知到同一類型路徑在問題解決過程中的價值.此時，再輔以教師或學生的適時點撥提升，數學思想才會“躍然紙上”，成為學生能夠接受的數學現實.以本文所涉及的數形結合為例，我們平時教學一直掛在嘴邊，本節課上如果沒有每一名學生自主的過程探索，沒有小組交流的分享探討，沒有全班交流的圖文展示，學生對“數→形→數”的過程體驗絕不會有本課中的那樣深刻，對數形結合思想的認識也不可能達到本節課教學的高度.

例題教學，是數學教學的重要任務.面對同一道例題，不同的老師講評會有不同的側重，有些老師注重一題多解，有些老師注重思路分享，有些老師注重過程展示……本文中的老師則做到了多法歸一，在眾多同質方法中抽取了共性方法——數形結合.這樣的教學，源于例題，但高于例題，將解題通法作為教學的核心任務，在方法歸納中引領學生感悟數學思想，給例題教學設置了“立足當下，放眼長遠”的目標定位，從教學成效看，如此教法，還是可取的.以上是筆者基于一道例題“多法歸一”教法的點滴思考，因才疏學淺，疏漏之處難有，敬請各位同行專家批評指正.