函數思想在數列最值中的應用

徐龍彪

(哈爾濱師范大學教師教育學院，黑龍江哈爾濱，150025)

函數思想是通過分析問題的數學特征建立目標函數，從而利用函數的性質和圖象去解決問題.用函數思想解題要掌握函數性質包括單調性、奇偶性、最值、周期性與函數的圖象.函數思想在數列中以構造函數得到解題所需要的目標函數為途徑解題.構造函數之前一定要對題目充分.挖掘，找出隱含條件，這是函數思想在解題中的關鍵，只有通過充分挖掘找出問題內在的聯系，才能構造函數解決問題[1].

1 數列的函數特性

數列作為特殊的函數，其通項公式與求和公式和函數密不可分.函數與數列是一般與特殊的關系，例如：

等差數列的通項公式an=a1+(n-1)d?an=dn+(a1-d)，可以看作是關于n的一次函數an=An+B(A，B為常數、n∈N*)；

用函數思想解決數列問題不一定要以通項公式或求和公式構造函數，可以根據代數式的具體結構去構造有利于解題的目標函數，用函數思想解決數列最值問題歸根到底就是將數列問題構造函數用函數最值解題.

2 函數思想在數列中的應用類型

數列最值問題一般包括數列最大或最小項、等差數列前n和Sn、等比數列前n項積最值.

2.1 用函數思想解決數列最大或最小項

(1) 求數列{bn}的通項公式；

例4數列{an}的通項公式是an=-2n2+29n+3，求{an}中最大項的值.

小結：有關于數列最大或最小項的問題，最常見的就是上述四類.

(4) 第四類數列的最大或最小項問題最為簡單，題目會直接給出關于n的二次函數的通項公式，直接利用函數的性質進行解題.

2.2 用函數思想解決Sn最值問題

用函數思想解決數列中Sn最值問題包括等差數列前n和Sn的最值、等比數列前n積的最值、等比數列中幾項和的最值.

例5等差數列{an}中，已知a1=20，前n項的和為Sn，且S10=S15，求當n取何值時，Sn取得最大值，并求出它的最大值.

例6設等比數列{an}滿足a1+a2=10，a2+a5=5.求a1a2a3…an的最大值.

例7正項等比數列{an}中，若a4+a3-2a2-2a1=6，則a5+a6最小值.

(2) 關于等比數列前n項積最值、等比數列中幾項和最值問題.通過例題可以看出，在使用函數思想解題時，前提條件是要求出等比數列的首項a1與公比q或者已知條件來表達所要求解的問題.需要學生牢固的掌握等比數列與等差數列的性質，例如：等差數列：若p+q=s+t，則ap+aq=as+at.(p，q，s，t∈N*)、等比數列：若p+q=s+t，則apaq=asat.(p，q，s，t∈N*)、等比中項與等差中項等.

總而言之，函數思想是以函數為載體，把所求問題的條件，以函數的角度觀察，利用函數性質，解決所求問題.數列是以正整數集為定義域的函數.在使用函數思想之前，掌握數列的各種性質，才能靈活的使用函數思想、創造性的解題.