多維聯(lián)想，實(shí)現(xiàn)學(xué)生解題層次的提升
——對(duì)一道幾何題的探究與思考

王 偉

(浙江省寧波市象山縣大目灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校，浙江寧波，315700)

學(xué)生常說“不會(huì)的問題老師一講就懂，但自己碰到就不知如何下手.”這反映出學(xué)生解題存在的一個(gè)普遍問題，即如何探尋解題思路.解題時(shí)，應(yīng)當(dāng)想些什么，怎么想.波利亞告訴我們：“你以前見過它嗎？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？”這說明解決問題離不開聯(lián)想.教師如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題所包含的有用信息，聯(lián)想與之相關(guān)的內(nèi)容，幫助學(xué)生解題？本文以一道中考改編題的解法探究為例，談?wù)勛约旱膶?shí)踐與思考.

1 題目呈現(xiàn)

圖1

2 解法探究

課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)需讓學(xué)生體會(huì)對(duì)于某些數(shù)學(xué)知識(shí)可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進(jìn)行理解.”同時(shí)不同思維層次水平的學(xué)生思考問題的出發(fā)點(diǎn)不同，有的學(xué)生喜歡從已知條件入手，由因?qū)Ч挥械膶W(xué)生喜歡從圖形特征出發(fā)，從整體結(jié)構(gòu)去尋找思路；也有學(xué)生習(xí)慣從結(jié)論出發(fā)，執(zhí)果索因.觀察本題，從已知條件來看有菱形、平行、線段倍長關(guān)系、角倍分關(guān)系，兩條線段長，隱含條件是相似三角形；從圖形特征來看有菱形、等腰三角形、隱含圖形是平行四邊形、全等三角形、相似三角形；從待求結(jié)論來看求的是菱形的邊長即求線段長度的計(jì)算型問題.

2.1 轉(zhuǎn)化已知條件，合理聯(lián)想

解法1(截長+平行四邊形+共邊共角相似)

圖2

如圖2，在AC上截取AO=EF，連接FO并延長分別交DE，AD于點(diǎn)G，H.

∵EF∥AC，AO=EF.

∴四邊形AEFO是平行四邊形.

∴FH∥AB.

∵點(diǎn)O是AC中點(diǎn).

∴點(diǎn)G，H分別是ED，AD的中點(diǎn).

設(shè)CD=2t，則OH=t，GF=t+2-1=t+1.

∵FH∥AB.

又∵∠FEG=∠DEF.

∴△EFG∽△EDF.

解法2(補(bǔ)短+平行四邊形+共邊共角相似)

如圖3延長EF，使EM=2EF，連接CM.

圖3

∵AC∥EF，又∵AC=EM=2EF.

∴四邊形AEMC是平行四邊形.

∴AE=CM，∠EAC=∠M，∠EAC+∠ACM=180°.

∵∠EAC=∠ACD.

∴∠ACD+∠ACM=180°，即D，C，M三點(diǎn)共線.

∴△EFD∽△EDM.

解法3(平行四邊形+共邊共角相似+全等三角形)

如圖4，連接BO交AC于點(diǎn)O，過點(diǎn)E畫EF垂線與FO延長線交于點(diǎn)H，F(xiàn)H交DE于點(diǎn)G.同解法1可知，四邊形AEFO是平行四邊形，G是DE的中點(diǎn).

圖4

∴∠1=∠2=∠EDF，∠GEF=∠FED.

∴△GEF∽△FED.

∵EH⊥EF，DO⊥AC，EF∥AC.

∴EH∥DO.∴∠4=∠5而∠6=∠7.

∴△EGH≌△DGO.

∵∠2=∠1=∠3，EF=AO，∠HEF=∠DOA=90°.

∴△HEF≌△DOA.

2.2 應(yīng)用圖形特征，整體聯(lián)想

任何一道數(shù)學(xué)問題都是有結(jié)構(gòu)的，組成問題的各要素相互關(guān)聯(lián)、相互制約，形成一個(gè)整體.從整體結(jié)構(gòu)上去全面理解題意，可以尋得總體思路.菱形是圖形的整體結(jié)構(gòu)，聯(lián)想到菱形的重要性質(zhì)：中心對(duì)稱.圖形的中心對(duì)稱也是用來解決與菱形以及平行四邊形有關(guān)問題的重要方法.

解法4(中心對(duì)稱+相似三角形)

圖5

如圖5，延長EF，使EM=2EF，連接CM，延長DF，交AB的延長線于點(diǎn)G.

同解法2得四邊形AEMC是平行四邊形.

∵AB∥CD.

∴∠M=∠GEF，∠MDF=∠G.

∴△MDF≌△EGF.

∴DF=FG=5，MD=EG.

∴△GEF∽△GDE.

解法5(中位線+全等三角形+共邊共角相似)

如圖6，連接CF并延長交AB于點(diǎn)N，延長DF，交AB的延長線于點(diǎn)M.

圖6

∵EF∥AC，AC=2EF.

∴AE=EN=2，CF=FN.

∵AM∥CD.

∴∠M=∠MDC，∠MNF=

∠DCF.

∴△MNF≌△DCF.

∴DF=FM=5，MN=CD.

∴△MEF∽△MDE.

2.3 綜合待求結(jié)論，合情聯(lián)想

“結(jié)論也是已知信息”，由結(jié)論尋找條件，由條件推算結(jié)論，綜合看條件與結(jié)論之間的聯(lián)系是常用的解題手段.這是一道求線段長度的幾何計(jì)算型試題.結(jié)合已知條件，聯(lián)想到求線段的長度的常見的方法：勾股定理、相似三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例.題中雖有菱形的對(duì)角線互相垂直這一性質(zhì)可以構(gòu)造直角三角形，但是不具備其他條件.題中存在相似三角形：△AEG∽△DGH∽△DEF∽△CGD，從中選取合適的相似三角形利用其對(duì)應(yīng)邊成比例建立方程求解.

解法6(AGE∽△DEF+△CDG∽△DFE+方程)

設(shè)AG=2x，GE=2y.

圖7

∵EF∥AC.∴∠3=∠4.

∴△AGE∽△DEF.

∴DE=5x，EF=5y.

∴GD=5x-2y.

∵AC=2EF=10y.

∴CG=10y-2x.

∵∠EDF=∠2，∠5=∠3=∠4.

∴△CDG∽△DFE.

解法7(△AGE∽△DEF+△AGE∽△CGD+方程)

如圖7，設(shè)AG=2x，GE=2y.

同解法6可得DE=5x，EF=5y，AC=2EF=10y.

∵∠1=∠2，∠3=∠5.

∴△AGE∽△CGD.

3 解后反思

3.1 多角度觀察促進(jìn)多維聯(lián)想——發(fā)散思維

3.2 建立結(jié)構(gòu)化的知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖——關(guān)聯(lián)思考

題目的信息開始是孤立的、零散的、雜亂的.首先經(jīng)過思考，判定哪些是有用的，哪些是暫時(shí)用不著的，再考慮將有用的信息按怎樣的先后順序加以串聯(lián)和組織，最后在頭腦中形成解決問題的知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖.如本題有序思考后解法2的知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖如下圖.

解法8解題關(guān)鍵是由已知條件AC=2EF，即F是EM的中點(diǎn)聯(lián)想到構(gòu)造平行四邊形，解后再進(jìn)一步思考該條件還可聯(lián)想中線倍長得到解法4，還可聯(lián)想中位線得到解法3，將這些解法整合在一起就形成本題解法的“關(guān)聯(lián)性”結(jié)構(gòu)鏈，促進(jìn)學(xué)生解題思維的深層次發(fā)展.

數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是“教會(huì)學(xué)生思考”，解題教學(xué)的重心需從傳授現(xiàn)成的“數(shù)學(xué)結(jié)論”轉(zhuǎn)向“數(shù)學(xué)思維”的培養(yǎng).學(xué)生通過觀察聯(lián)想獲得多種解法，經(jīng)歷了思維的發(fā)散，拓寬了思維的廣度；通過有序思考形成解法的結(jié)構(gòu)鏈，經(jīng)歷了思維的聚合，拓展了思維的深度，最終切實(shí)提高數(shù)學(xué)解題能力.