一道初中數學試題的來路、思路、去路

程永超

(江蘇省常州市花園中學，江蘇常州，213000)

一道好的試題不僅在內容上能夠檢測學生對核心知識的掌握情況，還能考查學生運用數學的思維及分析、解決問題的能力.在此基礎上，形式優美，體現一定的原創性，則效果更佳.本文記錄了一道試題的來路、思路、去路，希望通過這個實例，說明命題編制的一些方法與技巧，敬請同行們批評指正.

1 命題來源，定性分析到定量確定

在平面內，給定一個點、一條直線，我們能畫出該點關于這條直線的對稱點，如圖1所示.

圖1

思考一：如圖2，如果把點A跟直線BC放在平面直角坐標系中，能否求出對稱點A′的坐標呢？

圖2

圖3

給定點A的坐標、直線BC的解析式，對稱點A′是唯一確定的，所以坐標是可求的.

求法一：如圖2，設點A′(x，y)，考慮到線段AA′被直線BC垂直平分，所以KAA′·KBC=-1，AA′的中點坐標符合直線BC的解析式，從而得出x，y的方程組，求出x，y的值.但是兩條直線互相垂直，能滿足KAA′·KBC=-1，這不在初中數學學習的范圍里.

求法二：如圖3，直線BC與x軸的交點P是已知點，則線段AP的長度、∠APB的度數都是已知，所以可以根據三角函數求出點A′的坐標.但即使∠APB的度數是已知的，但一般來說，不會是一個特殊的度數，所以，在初中數學范圍內，知道點A′是已知的，但不好求.

思考二：在初中數學范圍內，怎樣調控一下，使得對稱點A′的坐標容易求些？

1.1 一般的直線+特殊的點

圖4

圖5

1.2 特殊的直線+一般的點

1.3 特殊的直線+特殊的點

圖6

圖7

圖8

圖9

據此，圖5中的計算，將點P的軸對稱理解成是Rt△PQO的軸對稱，構造K型相似，可求點P′的坐標，如圖9.但此類計算總歸會涉及到相似、無理數的計算，鑒于數學試題“多想少算”的原則，能否將特殊角改成45°呢？

如圖10，點O的對稱點O′(2，-2)，點P(-1，0)的對稱點P′(2，-3)，點Q(1，2)的對稱點Q′(4，-1).可以發現，當特殊角改成了45°，不僅運算量小，而且“水平”線段，軸對稱成“鉛垂”線段；“鉛垂”線段，軸對稱成“水平”線段.那么，一般的直線，關于直線y=x-2軸對稱之后，有什么特殊之處嗎？

圖10

圖11

如圖11，由三角形的外角定理知：∠APB=45°-∠PAB，所以∠PCD=2∠APB+∠PAB=90°-∠PAB，則∠PAB+∠PCD=90°.

2 試題編制，關注核心本質、整體關聯

思考三：試題該如何編制，既要考查學生的核心素養，還要注重試題的整體關聯？

2.1 動態化處理[1]

將對稱軸沿x軸平移，與x軸的夾角依舊是45°.這樣，上述發現的一系列性質(“水平”線段，軸對稱成“鉛垂”線段；“鉛垂”線段，軸對稱成“水平”線段；一般的直線，軸對稱之后，與x軸所夾銳角之和為90°)依舊成立.

2.2 搭好“腳手架”，直擊核心本質

作任意一條直線的對稱直線，如果不考慮其它限制的話，只要找到兩個點的對稱點即可(圖1的方法).但為了讓學生感受到上述性質，將直線放入方格紙中，僅限無刻度的直尺來作圖.學生必將找格點的對稱點，就能在解題的過程，領悟性質，并將領悟到的性質加以運用.

2.3 注重試題的整體關聯

在新的問題情境中，為了考查學生的思維視野，能否將領悟到的經驗、思維方法遷移到新問題的解決中，通過大任務滲透大觀念.按點、線、面的變換線索呈現[2]，加強試題的關聯度，調整后形成如下試題.

2.4 試題呈現

圖12

如圖12，動直線l：y=x-b與x軸交于點A，對于平面內一點P，我們可以作點P關于直線l的軸對稱點P′，我們稱點P′為點P的“斜對稱點”.類似地，我們可以得到“斜對稱直線”“斜對稱三角形”等等.

(1) 如圖12，請直接寫出點O關于直線l的斜對稱點O′的坐標(用b的代數式表示)；

(2) 如圖13，動直線l：y=x-b與x軸、y軸分別交于格點A、格點B，直線l1與x軸交于格點C，交y軸于點D.僅用無刻度的直尺，作出直線l1的斜對稱直線l2；并記直線l2與x軸所夾的銳角為α，證明α+∠DCA=90°；

圖13

圖14

3 編后反思，素養立意、強化數學思考

思考四：試題后續的研究.

在試題的第三問中，考慮到難度的控制，只考查了“水平”線段的斜對稱線段.如果繼續試題的后續研究，我們可以增加試題的綜合性.比如，斜對稱△C′O′B′與△OBC的外接圓相切，求b的值.尤其是，斜對稱線段C′B′與外接圓相切的說理，可以跟第二問的證明遙相呼應.

思考五：注重數學思考，滲透大觀念.

試題的命制既要注重對數學基礎知識、基本技能的考查，更要關注學生對數學觀念(數學思維方式、數學思想方法)的領悟與遷移.所以，在日常的數學教學中，滲透從簡單到復雜(點、線、面上的圖形結構依次復雜、從靜到動)，從特殊到一般等研究問題一般方法.通過基于問題學習、任務性學習，讓學生不僅知道“怎樣做”，還要明白“為什么怎樣做”.