GeoGebra助力高中數學問題解決課堂教學的實踐研究
——以“橢圓及其標準方程”一課的教學為例

吳啟霞

(廣東省清遠市華僑中學，廣東清遠，511538)

1 教材的地位和作用

本節課的主要教學內容是研究橢圓的定義、標準方程及其初步應用.同時讓學生能夠經歷橢圓定義與方程的探究過程，從中體會解析幾何里數形結合的重要思想.同時橢圓這一節的學習跟后面章節的雙曲線、拋物線的定義、標準方程、性質等方面的研究也存在著較多的相似之處，在教材結構上它是起到承上啟下的作用.再者就是對橢圓及其標準方程的研究，突出了曲線方程與方程曲線、函數與圖形相結合的重要思想，這種思想貫穿中學解析幾何的模塊里整個學習，因此，是本章和本節的重點內容之一.

2 GGB介入對問題解決課堂教學的影響

解析幾何知識在歷年高考中占據著重要的地位，它重點考查學生綜合運用數學知識進行數學解決問題的能力，但是很多學生對概念的理解，圓錐曲線相關結論的探究都遇到極大的困難，他們普遍感到“望而生畏”.而在傳統的教學中，橢圓、雙曲線、拋物線這些圓錐曲線的課堂里一般的導入千篇一律：先讓學生直接回顧上節課的內容，然后提出這節課的課題，繼而直接得出圓錐曲線的定義，在黑板上演算標準方程的推導過程，這種模式顯得比較枯燥，學生學習興趣不濃，思維上會存在障礙，教學效果必然會大打折扣.在信息化教育新時代，一線教師應該如何運用現代信息技術去助力高中數學問題解決課堂教學，以期改變傳統數學課堂教學呢？在21世紀數學教學軟件平臺上GGB是一款特別適用于高中數學教學和研究的軟件，我們用GGB來探究，可以實現數學思維化的過程，一方面它是有助于調動學生學習積極性的，GGB繁復動態的變換能很好地凸顯數學知識的本質屬性、通過多元互動促進學生的數學思維；另一方面在數學課堂上教師充分利用GGB的動態功能，利用表征的多元化，分別從不同角度顯示圓錐曲線的動態變換，師生共同探討，及時進行教學反饋，為數學問題解決搭建腳手架，開拓數學思維，很好地彌補傳統教學手段單調、乏味的缺點.本文以“橢圓及其標準方程”一課教學為例，利用BBG形象直觀展現橢圓的定義和軌跡的形成過程以及標準方程的推導.使原本晦澀難懂的數學知識通過動態數學實驗的方式呈現在學生面前，進而使學生在數學問題解決上收到事半功倍的學習效果，同時極大的促進學生的數學思維的提升.

3 GGB助力高中數學問題解決課堂教學的教學的實踐

3.1 創設直觀的數學問題情景，激發學生的易知感

問題解決1 同學們能列舉出生活中的有哪些是橢圓形狀物品嗎？是否知道天體的運行軌跡？

學生說出常見的橢圓圖形物品，并描述天體的運行軌跡學生回答后，教師利用GGB展示天體動態運行的動態圖形，通過常見的橢圓形物品和天體動態運行圖，引導學生對橢圓產生感性認識.

設計意圖：① 觀察生活中的橢圓，提高研究橢圓的興趣，通過舊知識，引出新問題；② 通過動畫演示，讓學生享受數學探究的樂趣.

問題解決2 你還記得圓的定義及其標準方程嗎？它和我們本節課即將學習的橢圓的定義及其標準方程會有什么區別跟聯系呢？

設計意圖：讓學生回顧前面已學習過的“圓的定義及其標準方程”，并思考最新問題；教師利用GGB展示圓的定義、標準方程及其動態的圖象，制造可視化問題情景，以激起學生的學習欲望.

教學評析：解析幾何模塊的知識內容雖然在初中課本已開始出現，但是隨著學習內容的增多和學習難度深入，學生的學習積極性越來越差，特別受傳統教學環境影響，使得部分學生出現了排斥課堂的心理.GGB助力解析幾何進行整合的問題解決課堂教學實驗表明，基于數形同步顯示動態生成圓錐曲線的GGB環境中，不但可以激發學生去研究曲線方程的動機，還可以鍛煉學生的數學邏輯思維能力，借助GGB創設與教學內容相關的可視化問題情景，能突破數學動態幾何思維發展水平的局限，使學生學習效率得到顯著提升.實踐證明，在GGB的多元表征環境下能充分發揮學生的認知主體作用，啟發學生逐步建立橢圓的定義.

3.2 GGB動態演示形成概念，揭示橢圓定義的數形關系

讓學生拿出課前準備好的一塊圖板、一根定長的細繩和兩枚圖釘，按要求動手畫圖，先將兩圖釘固定在同一點，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖(動點)畫出的軌跡是一個圓；然后通過不斷改變兩枚圖釘的距離，就能畫出扁平程不同的橢圓；最后當兩圖釘將繩子拉直時，畫出的是線段.

問題解決3 根據上面的作圖實踐，你能說出移動的筆尖(動點)滿足的幾何條件是什么嗎？

設計意圖：引導學生按學習小組(4人一組)開展數學實驗：以小組為單位利用事先準備的工具(鉛筆、繩子、圖釘)繪制橢圓；邊畫圖，邊討論并思考教師所提問題且要求互相補充，然后請兩名學生到黑板上演示畫圖過程，最后教師借助GGB的動態功能動態模擬繪制橢圓(如圖1).此過程，通過創設學生熟悉的問題情境，運用探索實驗的方法，讓學生初步對橢圓上的點的特征有一定的了解，在此探究過程中，教師提示“定點”“和”“常數”等關鍵詞，為定義的歸納做了鋪墊.

圖1

教學評析：學生動手實踐操作能很好地提高學生學習的興趣，鍛煉從實踐到理論的轉化的能力，而且有利于改變學生被動接受的學習方式.應用GGB動態軌跡跟蹤功能，有助于學生觀察動點運動規律，使學生感受橢圓定義的發展過程.

問題解決4 通過上述兩個環節，你能歸納出橢圓上點的特征嗎？這個常數是一個任意的常數嗎？根據軌跡形成的規律，如何描述橢圓上的動點M所滿足的幾何條件呢？

設計意圖：學生根據自主實踐探究，結合觀察教師用GGB演示橢圓形成的動態圖形，比較容易就能歸納出橢圓上點的特征：到兩個定點的距離的和是一個定值.同時并能發現：① 兩個定點的距離等于線段長度時，軌跡為一條直線；② 兩個定點的距離大于線段長度時，軌跡不存在.(如圖2)引導學生歸出橢圓的定義：① 當平面內到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數2a，即：|MF1|+|MF2|=2a，且2a>|F1F2|的點的軌跡是橢圓；② 當2a=|F1F2|時，表示線段；③ 當2a<|F1F2|，無軌跡，將感性知識升華為理性知識.

圖2

教學評析：學生歸納總結得出橢圓的定義并進行完善，培養學生邏輯思維能力，引導將實驗結論歸納抽象成為數學問題，揭示橢圓定義的數形關系，到此完成本節課第一階段的內容的講授.

3.3 GGB強大運算功能助力，化繁為簡推導橢圓方程

問題解決5 同學們現在已經學習了橢圓的定義，前面我們知道直線和圓都是放在平面直角坐標系建立方程的基礎上研究的，圓錐曲線都有其對應的方程，橢圓也不例外，你認為怎樣給橢圓建立平面直角坐標系最合理？才能使所得方程更簡潔、更美觀呢？

設計意圖：引領學生一起復習回顧直線與圓的方程，以便既加深學生對曲線方程，更是為接下來使學生能夠正確按照步驟，用代數式來表示橢圓的定義的推導作鋪墊.

教學評析：在所設計的問題組的引導下，大部分學生以兩焦點F1，F2連線的作為x軸，F1F2的中垂線為y軸，建平面直角坐標系，但也有少數幾個同學某一個焦點為原點，通過學生自己動手選擇建系方案讓他們感受到數學圖形具有對稱美、形式美、統一美，很好地提升了學生的數學學習興趣.

問題解決6 如何推導橢圓的標準方程呢？

圖3

圖4

教學評析：在傳統課堂這一環節的處理會使學生陷入較為復雜的化簡運算過程，學生痛苦不堪，由于費時費力還會使得學生忽略了較重要的橢圓的定義，利用GGB推導可以使學生在自主探究、討論探究的過程中，從代數的角度直觀感受定義和標準方程動態的形成過程，發揮GGB建標系、繪圖、強大的符號運算和動態展示等功能，可以使學生快速的理解掌握推導過程，從繁瑣的化簡“苦海”中跳出來.這過程實現了從形到數的轉變，很好地培養了學生公式推導能力，突破代數式化簡的障礙，從而化解本節課的難點.

4 GeoGebra助力高中數學問題解決課堂教學的一點思考

在本節課的教學過程中，筆者首先通過生活中的橢圓形狀物品，并用利用GGB展示天體動態運行的動態圖形使學生對橢圓的定義有了一定的了解.然后以問題解決為導向，讓學生經歷動手實踐操作，再利用GGB動態演示生成橢圓，進而利用GGB強調的運算功能，導出橢圓的標準方程.這樣的課堂設計可以起到一個深化和鞏固的作用.本課堂設計與傳統的教學方法相比，利用GGB助力教學更加注重知識的發生、發展過程，更有利于學生理解并橢圓的定義的內涵和外延，而利用GGB強大的運算功能推導出來圓的標準方程，又大大地減輕了讓學生感到繁瑣又復雜的運算的負擔.通過這樣一個過程，將橢圓定義通過多元化的表征呈現在學生面前， 學生通過動手操作與思考的探索，主動建構自己的知識結構，為后續知識的學習奠定堅實的基礎.可見，在問題解決的課堂上，運用GGB助力課堂，幫助教師突破知識的重點、難點，不僅可使一些教師難教、學生難懂的定義、定理和公式，簡單化、形象化地展現給學生，使教學效果得到優化.通過運用GGB先進教學軟件進行助力教學，還可以根據實際教學情況因材施教地對教材進行整合，增加課堂信息傳輸量，加大教學密度，增加課堂的容量，同時功能強大的信息技術介入又充分調動學生運用多種感覺器官，把學生學習解析幾何的學習積極性調動起來，加深學生對知識的理解深度，從而提高問題解決的課堂教學效果.這種新型的以教師為主導，以學生為主體，以GGB融入整合教學內容的問題解決課堂使教學得到了優化，在減輕學生的學習負擔的同時，還激活了學生的數學思維，更是培養了學生的創新精神，對教學效果的提高起到很大的作用.