深度思考 揭示本質 提升能力
——2022年全國Ⅰ卷第21題的研究之旅

許家釗

(蘇州大學附屬中學，江蘇蘇州，215000)

2022年高考已落下帷幕，對于全國Ⅰ卷，學生普遍感覺難度較大.筆者仔細研究了試題之后，發現數學試題緊扣高中數學的主干內容與重點知識，突出了對關鍵能力的考查，體現了立德樹人根本任務.本文以第21題第1小題為例，通過一題五問，試圖揭示解析幾何中斜率之和與斜率之積的本質.

1 試題再現 感受高考

簡要分析本題屬于探索創新情景.考生感到困難，可能有三個原因：一是考試剩余時間不夠導致心理慌張，二是本題設問較平時有所提前，三是模型不熟悉、算理不清楚、運算能力弱.本題實際上是解析幾何中的常規問題——定值定點問題，只要兩條直線AP，AQ的斜率之和為0，那么直線PQ的斜率就是定值，運算上體現了解析幾何常規的“三步曲”——聯立方程寫韋達、題設條件代數化、韋達代入尋結果.

第一步 聯立方程寫韋達

(1)

第二步 題設條件代數化

去分母整理得2kx1x2+(m+1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0，

(2)

第二步 韋達代入尋結果

將(1)式代入(2)式化簡得2k2+km+k+m-1=0，

分解因式得(k+1)(2k-1+m)=0，

(3)

因為PQ不經過A點，故2k-1+m≠0，所以k=-1，即l的斜率為-1.

2 深度思考 揭示本質

探究1是因為特殊的A點才導致l的斜率是定值的嗎？對于雙曲線上任一定點A(x0，y0)呢？

(4)

去分母整理得2kx1x2+(m+y0-kx0)(x1+x2)-2x0(m-y0)=0，

(5)

將(4)式代入(5)式化簡得2kmy0+2k+a2k2x0y0+x0m-x0y0=0，整理得(2kmy0+x0m)+(2x0y0k2+2k-x0y0)=0

即m(2ky0+x0)+(2ky0+x0)(kx0-y0)=0，分解因式得(2ky0+x0)(m+kx0-y0)=0

(6)

反思將x0=2，y0=-1代入上述結果，得k=-1，與高考試題的答案一致.

(7)

去分母整理得2kx1x2+(m+y0-kx0)(x1+x2)-2x0(m-y0)=0，

(8)

將(7)代入(8)化簡得a2kmy0+a2b2k+a2k2x0y0+b2x0m-b2x0y0=0，

整理得(a2kmy0+b2x0m)+(a2x0y0k2+a2b2k-b2x0y0)=0，

即m(a2ky0+b2x0)+(a2ky0+b2x0)(kx0-y0)=0，

即(a2ky0+b2x0)(m+kx0-y0)=0，

(9)

方法優化對探究2中的坐標系進行平移，將坐標原點平移至A(x0，y0)處，

(10)

(11)

(12)

反思不妨將上述方法稱為平移齊次化法，它的要點在于將坐標系原點平移至題中所給出的定點，寫出對應的圓錐曲線方程和直線方程之后，進行齊次化聯立，構造關于斜率k的方程，從而斜率之和及斜率之積便直接轉化為兩根之和與兩根之積，避免了復雜的運算.

反思說明當斜率之和為非零常數時，PQ的斜率將不再是定值，而是恒過一定點.

(13)

基于以上4個探究，我們得出如下定理：

用同樣的方法我們可以得到：

定理三對于有心二次曲線Ax2+By2=1(AB≠0)上一定點P及兩動點A、B；

1) 若kPA+kPB=λ，

λ=0時，直線AB的方向向量為(y0B，x0A)

2) 若kPA·kPB=t，

3 高考回看 溫故知新

4 加強反思 提升能力

從近三年的高考數學來看，解析幾何的解答題考查內容主要覆蓋直線、橢圓、雙曲線及拋物線，考查考生數學思維、數學應用、數學探索等，為進一步做好2023屆高三數學解析幾何一輪復習工作，筆者給出以下建議：

(1) 回歸教材，注重基礎，建構知識網絡

對比發現，高考試題大都由課本習題改編而來，源于課本，而又高于課本.因此，高三數學一輪復習要回歸課本，重視課本題目的外延與內涵，使學生了解知識的發生、發展和應用過程.

(2) 多角度思考，注重一題多解，優化方法

一方面，解析幾何問題的本質是幾何問題，利用題干圖形的幾何性質解答，往往能避開繁瑣的代數運算，起到出奇制勝、事半功倍的效果.因此，在平時教學中，要訓練考生準確作圖和識圖能力.

另一方面，代數法是解決解析幾何問題的通性通法，解析幾何試題一般入口較寬，很容易找到解決問題的思路，但是不同解法間運算量的差異很大.因此，在復習過程中，要多角度審視試題，注重不同方法的分析與比較，以便學生在今后的做題中迅速發現最優化的方法.

(3) 加大訓練力度，著重培養學生邏輯推理和運算求解能力

根據高考評價體系的整體框架，高考數學學科提出了五大關鍵能力：邏輯思維、運算求解、空間想象、數學建模和創新能力.解析幾何問題是中學數學的綜合應用問題，對于邏輯思維能力和運算求解能力要求較高.好的思路是通過一定的推理、運算等數學語言表達出來的.