優(yōu)質(zhì)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的高立意追求
——以“勾股定理的逆定理“的教學(xué)為例

謝俊峰

(江蘇省揚(yáng)州市朱自清中學(xué),225000)

“意在筆先”是字畫創(chuàng)作的古訓(xùn),詩詞歌賦也強(qiáng)調(diào)“意尤帥也”,教學(xué)立意同樣決定教學(xué)的品味.數(shù)學(xué)教學(xué)從知識立意、能力立意到核心素養(yǎng)立意,是人們對教育認(rèn)識的不斷發(fā)展.數(shù)學(xué)教學(xué)中,要落實(shí)立德樹人的根本任務(wù),教師需充分挖掘數(shù)學(xué)知識所蘊(yùn)含的價(jià)值觀資源,并把數(shù)學(xué)知識教學(xué)與價(jià)值觀融為一體[1],追求教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂實(shí)踐的高立意.

五年教齡的青年教師T,擬開設(shè)一節(jié)教學(xué)公開課,課題是“勾股定理的逆定理”.筆者全程參與了教學(xué)研討,經(jīng)歷了施教者在教學(xué)設(shè)計(jì)中從知識立意上升到能力立意,再從能力立意提升到素養(yǎng)立意的改進(jìn)全過程.這引發(fā)了筆者許多關(guān)于追求高立意教學(xué)設(shè)計(jì)的思考,現(xiàn)整理成文,與大家分享.

一、基于知識理解的設(shè)計(jì)與思考

T老師先給出了設(shè)計(jì)初稿,對于例、習(xí)題的選擇進(jìn)行了著重介紹.

1. 教學(xué)設(shè)計(jì)

(1)課堂引入

勾股定理的內(nèi)容是什么?勾股定理的逆命題是什么?它是真命題嗎?

(2)定理證明

命題在?ABC中,若三邊a,b,c滿足關(guān)系a2+b2=c2,則?ABC是直角三角形嗎?為什么?(請嘗試證明該命題的正確性)

(3)典型例題及鞏固練習(xí)

例13,4,5是一組勾股數(shù),如果將這三個(gè)數(shù)分別擴(kuò)大2倍,所得的3個(gè)數(shù)還是勾股數(shù)嗎?擴(kuò)大3倍、4倍、n倍呢?

練習(xí)1判斷下列各組數(shù)是勾股數(shù)嗎?為什么?

練習(xí)2判斷由下列線段a,b,c組成的三角形是否為直角三角形?

例2?ABC的三邊長分別為a,b,c且a=n2-1,b=2n,c=n2+1,?ABC是直角三角形嗎?證明你的結(jié)論.

練習(xí)3在?ABC中,三邊長分別為a,b,c且a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2,其中m,n是正整數(shù)且m>n,試判斷?ABC是否是直角三角形.

例3已知某校有一塊四邊形空地,如圖1,經(jīng)測量∠A=90°,AB=3m,DA=4m,BC=12m,CD=13m，求空地四邊形ABCD的面積?

(4)課堂小結(jié)

本節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些知識?

2. 設(shè)計(jì)分析

設(shè)計(jì)定位于知識立意.教師注重?cái)?shù)學(xué)知識的傳授,例題選擇與鞏固練習(xí)都能圍繞勾股定理逆定理和勾股數(shù)的應(yīng)用,滿足于學(xué)生掌握知識,學(xué)會(huì)解題.但忽略了數(shù)學(xué)知識所承載的數(shù)學(xué)文化的教育價(jià)值,如何讓學(xué)生在知識獲得過程中提升數(shù)學(xué)能力未能很好體現(xiàn).具體地:(1)講解教材提供的證明方法時(shí),要注意學(xué)生通常會(huì)有“為什么這樣想”的困惑,逆定理的證明是本節(jié)課的難點(diǎn),能否有效突破;(2)勾股定理及逆定理具有重要的數(shù)學(xué)文化價(jià)值,教材上也提供了古巴比倫泥板“普林頓322”,如何將數(shù)學(xué)文化融入課堂教學(xué)值得思考;(3)教學(xué)內(nèi)容劃分上,例3屬于勾股定理及逆定理的應(yīng)用,安排在本節(jié)課是否合理值得商榷.

3. 改進(jìn)建議

針對這種情況,備課組提出了幾點(diǎn)建議:(1)深入解讀課程標(biāo)準(zhǔn).共同學(xué)習(xí)文獻(xiàn)[2]中課程基本理念(P2-3),課程目標(biāo)(P5-15)和教學(xué)建議(P84-89),深化了認(rèn)識;(2)對比、研讀教材和教參,認(rèn)真研究本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo),明確教學(xué)重、難點(diǎn);(3)推薦閱讀文獻(xiàn)[3][4][5],拓寬視野,了解數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值,以及教學(xué)中數(shù)學(xué)文化滲透的路徑和方法.

二、注重能力培養(yǎng)的二次優(yōu)化設(shè)計(jì)

1.教學(xué)設(shè)計(jì)改進(jìn)

改進(jìn)1定理探究設(shè)計(jì)

步驟1畫一個(gè)邊長分別為3cm,4cm,5cm的三角形,并測量它的最大角的度數(shù),你發(fā)現(xiàn)了什么?

如果把三邊長替換為以下長度,還有類似的結(jié)論嗎?請你選擇一組動(dòng)手畫一畫.

(1)6cm,8cm,10cm;(2)5cm,12cm,13cm;(3)8cm,15cm,17cm.

通過剛才的實(shí)踐過程,你能猜想出什么結(jié)論呢?

步驟2在?ABC中,AC=3cm,BC=4cm,AB=5cm,畫一個(gè)?DEF,使DF=3cm,EF=4cm,∠F=90°,?ABC和?DEF全等嗎??ABC是直角三角形嗎?請說明理由.

步驟3在?ABC中,若三邊a,b,c滿足關(guān)系a2+b2=c2,則?ABC是直角三角形嗎?為什么?

步驟4得出結(jié)論.

改進(jìn)2例題設(shè)計(jì)

刪除了原來的例3,并對例1進(jìn)行了多步分解.

例1已知:32+42=25=52,則3,4,5是一組勾股數(shù).

(1)請你判斷6,8,10;9,12,15;12,16,20是不是勾股數(shù)?

(2)觀察上面的數(shù)據(jù),你能得到什么結(jié)論?并證明你的結(jié)論.

(3)上面結(jié)論中n不是正整數(shù)時(shí),等式是否成立?它們還是勾股數(shù)嗎?以它們?yōu)檫叺娜切问侵苯侨切螁?

改進(jìn)3數(shù)學(xué)文化介紹

在例2之后,老師通過課件展示編號為“普林頓322”的古巴比倫(公元前3500年左右-公元前729年)泥板,介紹這塊泥板書顯示的是一張表格,而表格里的整數(shù)數(shù)組竟然都是勾股數(shù).關(guān)于勾股數(shù),學(xué)生通過泥板書和古代人隔空對話,體會(huì)到數(shù)學(xué)是人類文明共同的語言,數(shù)學(xué)還有更多未知的領(lǐng)域,需要同學(xué)們?nèi)ヌ剿?

改進(jìn)4課堂小結(jié)設(shè)計(jì)

(1)請用簡潔的語言回顧一下今天學(xué)習(xí)的知識.

(2)通過勾股定理逆定理的獲得和證明過程,在數(shù)學(xué)思想方法習(xí)得方面你有哪些收獲?

2. 再分析再思考

定理探究中增加了學(xué)生操作、觀察、猜想、證明等過程,體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想的灌輸,發(fā)展了學(xué)生的合情推理與演繹推理的能力.將例1改為探究題,促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn),及時(shí)探究,突出學(xué)生的主體地位.在例2中適時(shí)滲透了數(shù)學(xué)史知識,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化的魅力.在課堂小結(jié)環(huán)節(jié),從知識與思想方法方面進(jìn)行了總結(jié).

在逆定理探究過程的步驟2,3中,學(xué)生在老師的引導(dǎo)下證明了勾股定理的逆定理,但學(xué)生會(huì)有這樣的疑問,為什么要構(gòu)造直角三角形?怎么想到構(gòu)造的?學(xué)生知其然,而不知其所以然,處于“授之以魚”的教學(xué)層面,這樣的探究過程實(shí)際上是一種“假探究”,學(xué)生的思維能力和思維水平都沒有得到提高.學(xué)生雖然收獲了知識,能力也得到了發(fā)展,但在教學(xué)立意中屬于能力立意層次,還有提升空間.

三、突出素養(yǎng)達(dá)成的求精設(shè)計(jì)及其教學(xué)實(shí)施

在勾股定理逆定理的探究過程中進(jìn)一步突出學(xué)生的主體性,增加合作學(xué)習(xí)的時(shí)間,讓學(xué)生真正經(jīng)歷定理發(fā)現(xiàn)、證明的過程,感受構(gòu)造法在定理證明的應(yīng)用,這樣的設(shè)計(jì),才能讓課堂走向素養(yǎng)的高立意.

1. 教學(xué)片段

師:同學(xué)們,上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了勾股定理及其證明,大家認(rèn)為我們下面要學(xué)習(xí)什么呢?

生1:勾股定理的應(yīng)用.

生2:勾股定理的逆定理.

師:你們是怎么想到的?

生1:前面我們學(xué)習(xí)了定理、方程等知識后,都要學(xué)習(xí)它們的應(yīng)用.

生2:我們在學(xué)習(xí)一個(gè)定理后,都要探究它的逆命題是否成立.

師:這兩位同學(xué)都說得很有道理.今天我們先來研究它的逆命題,下一節(jié)課我們再來學(xué)習(xí)它們的應(yīng)用.

師:勾股定理的逆命題怎么表述呢?

生3:如果三角形的三邊長度為a,b,c，且滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.

師:說得很好,這個(gè)命題是真命題嗎?

一部分學(xué)生露出來肯定的神色,有一些學(xué)生則不能確定.

師:我們?nèi)∫唤M滿足條件的數(shù)據(jù)來畫畫看.大家想取那一組?

學(xué)生異口同聲地說3,4,5.

師:好的,我們知道32+42=52,請同學(xué)們畫一個(gè)邊長分別為3cm,4cm,5cm的三角形.

(學(xué)生紛紛開始作圖,教師行間巡視,并對個(gè)別學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)指導(dǎo))

師:大家畫好圖后,比較你與其他同學(xué)的圖形,有什么發(fā)現(xiàn)?

生4:我發(fā)現(xiàn)三角形最大的角是直角.

生5:我發(fā)現(xiàn)我與同組同學(xué)畫的三角形是全等的.

師:這兩個(gè)同學(xué)的發(fā)現(xiàn)哪一個(gè)可以證明勾股定理的逆命題是真命題.

生6:生5的發(fā)現(xiàn)可以直接通過“SSS”來證明全等.我也同意生4的發(fā)現(xiàn),但我還不能驗(yàn)證.

師:同學(xué)們,在遙遠(yuǎn)的古埃及,人們在環(huán)形繩子上打12個(gè)等間隔的繩結(jié),分別取3,4,5個(gè)等間隔的繩結(jié)組成三角形,那么5這邊對的角是直角.古埃及人通過這樣的方法得到了直角,但是他們也不知道原因,下面我們就一起來探究.

老師在黑板上寫上了問題:

如圖2,在?ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,求證:∠C=90°.

師:同學(xué)們先獨(dú)立思考,再小組討論,然后全班交流.

生7:因?yàn)?2+42=52,根據(jù)勾股定理,這個(gè)三角形是直角三角形.

生8:如圖2，延長AC到點(diǎn)D,使得CD=AC=3,BD=BA=5,則?ABC≌?DBC,所以∠BCA=∠BCD=90°.

生9:我想到了反證法.假設(shè)∠C≠90°,則AB≠5,與條件矛盾,所以∠C=90°.

生10:上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了“勾三股四弦五”,在直角三角形中,3,4,5可以構(gòu)成直角三角形的三邊,而這個(gè)三角形與?ABC就是全等,所以∠C=90°.

……

很快,學(xué)生討論后都找出了生7、生8、生9證明過程中的問題,否定了他們的證明方法.對于生10的證明方法也有不同意見.

師追問生10:直角三角形中,3,4,5一定構(gòu)成直角三角形的三邊,你能說明理由嗎?

生10:直角三角形中,根據(jù)勾股定理,3,4為直角邊,則斜邊為5;5為斜邊,3為直角邊,則另一條直角邊長為4;同樣,5為斜邊,4為直角邊,則另一條直角邊長為3.根據(jù)“SSS”,那么這樣的直角三角形與?ABC一定全等.

師:有道理,那大家根據(jù)生10的思路如何證明勾股定理的逆定理?

這時(shí),大部分學(xué)生都想到了先構(gòu)造一個(gè)直角三角形,然后證明構(gòu)造的直角三角形與原三角形全等.

學(xué)生開始自主證明,教師安排三名學(xué)生進(jìn)行板演.

師:剛才同學(xué)們自主探究了勾股定理的逆定理,所用證明方法有別于平時(shí)的方法,我們稱之為同一法.所謂同一法,就是當(dāng)我們在證明一個(gè)命題遇到困難時(shí),我們可以構(gòu)造一個(gè)符合結(jié)論的圖形,然后推導(dǎo)證明這個(gè)圖形與原來圖形全等,這樣原命題的結(jié)論就成立了.

同一法是一種間接的證明方法,它在一些定理證明中會(huì)經(jīng)常使用,大家在以后的學(xué)習(xí)中會(huì)慢慢體會(huì)到.

……

2. 教學(xué)分析

學(xué)生在教師的引導(dǎo)下,從數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的角度,自主提出了本節(jié)課研究的課題,學(xué)會(huì)用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題,形成科學(xué)的思維習(xí)慣,發(fā)展核心素養(yǎng)[2].接著讓學(xué)生經(jīng)歷定理證明過程的探究,學(xué)生先獨(dú)立思考,遇到挫折與困境,甚至有一些錯(cuò)誤的想法,然后再通過合作探究,一起找到問題解決的突破口,最后解決了問題.這個(gè)探究過程用時(shí)較多,在實(shí)際教學(xué)中不少老師認(rèn)為不值得而忽略,但這是“授之以漁”的過程,學(xué)生主體性得到充分的體現(xiàn),探究欲望得以點(diǎn)燃,學(xué)生的創(chuàng)新思維、批判思維等得到了提高.這樣的教育是以素養(yǎng)為核心的教育,這樣的教學(xué)立意也更加高遠(yuǎn).