數學解題課教學的整體性和聯系性*
——以“應用二元一次方程組——雞兔同籠”為例

鄧冬華 劉 敏

(四川師范大學附屬青臺山中學,610101)

在數學教學過程中,如何讓學生理解新學知識的重要性和必要性?如何整體把握教學內容,讓學生理解問題解決過程中不同方法之間的內在聯系?對一題多解問題,如何在學生理解的基礎上選擇最優方法?如何將一個看似簡單的課,上出數學味?這些都是數學課堂教學中值得關注的幾個問題.筆者在北師大版數學八年級上冊“應用二元一次方程組——雞兔同籠”一課的教學過程中,嘗試采用整體聯系的教學,加深了對上述問題的理解.

一、數學課堂教學強調整體性和聯系性的緣由

數學課堂教學強調整體性和聯系性是由數學學科特點和學生數學學習需要決定的[1],也是由教師專業發展需求決定的.

1.數學課堂教學強調整體聯系是由數學學科特點決定的

數學是一門邏輯性非常嚴密的學科,知識內容本身是一個整體.教師只有在課堂教學過程中,充分理解數學,把握數學邏輯,站在系統的高度整體把握教材內容,才能把數學課上出數學味.

2.數學課堂教學強調整體聯系是由學生數學學習需要決定的

為順應學生的認知規律,中小學數學將數學內容進行分年級授課,在同一個知識板塊采用螺旋上升的方式進行教學,但這樣的教材編排方式和教學方式容易將知識割裂成“碎片”,學生往往只見樹木不見森林.只有注重前后整體聯系的數學課堂教學才能讓學生融會貫通,讓他們更好地把握數學知識的整體框架結構,從而提升學生學科核心素養.

3.數學課堂教學強調整體聯系是由教師專業發展需求決定的

數學教育家孫維剛老師非常強調新舊知識的聯系,提出“結構教學法”.在專業成長過程中,教師的課堂教學只有注重把握整體性和聯系性,把握教學邏輯,才能達到孫維剛老師的“八方聯系,渾然一體,漫江碧透,魚翔淺底”[2]的境界.

二、“雞兔同籠”教學案例

(一)教學背景

“應用二元一次方程組——雞兔同籠”是北師大版初中數學八年級上冊第五章“二元一次方程組”第三節的內容,該課是在學生認識二元一次方程組、求解二元一次方程組后,應用二元一次方程組的第1課時.通過本課的教學,學生會找出簡單問題中的等量關系,列出二元一次方程組解決問題,體會方程是刻畫現實世界數量關系的重要模型.教學過程中,我們應充分挖掘本課內容的意義和價值,嘗試與已學知識進行聯系,建構知識結構體系,加深對數學的認識與理解.

(二)教學片斷簡錄

1.“雞兔同籠”問題的不同解法及其內在一致性

課上,教師先展示《孫子算經》原題:今有雞兔同籠, 上有三十五頭, 下有九十四足, 問雞兔各幾何?

引導學生翻譯題意后,教師提出問題.

師:怎么解決這個問題?

(學生先獨立思考,再交流分享)

生1(方法1):小學學過“假設法”.假設雞和兔都是2條腿,則一共有70條腿.而兔子有4條腿,每只兔子多出2條腿,由多出的24條腿可知兔子有12只,進而得雞有23只.

生2(方法2):小學學過“吹口哨法”.假設雞和兔都是訓練有素的,吹一聲口哨,雞抬1條腿,兔抬2條腿,這時雞和兔的腿數減半,還剩47條;再吹一聲口哨,雞和兔都再各自抬一條腿,這時雞全部倒下了,還剩兔的12條腿.故兔12只,雞23只.

生3(方法3):小學學過“砍腿法”.假設雞和兔各砍掉2條腿,一共砍去70條腿,這時只剩兔的24條腿.而每只兔有2條腿,故兔子12只,雞23只.

生4(方法4):我用一元一次方程的方法求解.設雞的只數為x，則兔的只數為35-x.由題意,得2x+4×(35-x)=94,解得x=23,即雞23只,兔子12只.

教師逐一肯定了同學們的想法,同時指出解決雞兔同籠問題的方法很多,并再次提出問題.

師:這些不同的方法之間有沒有什么聯系呢?

(啟發學生更深層次地思考問題)

生6:方法4與方法5之間有聯系,可將方法5中的方程① 可變形為y=35-x,代入方程② 即是2x+4·(35-x)=94,也就是方法4的一元一次方程.所以說方法4可以看成是將方法5中方程① 代入方程② 消元的產物.

教師大加贊賞并追問:方法1、方法2、方法3與方法5之間有沒有什么聯系呢?

生7:方法3,其實質是方法5中方程② 減去方程① 的2倍.

生8:方法2,其實質是方法5中方程② 除以2再減去方程①.

生9:方法1與方法3本質是一樣的,都是方法5中方程② 減去方程① 的2倍.

師:這幾位同學揭示了算術解法和方程解法之間的聯系,也就是說,以前學過的算術方法都可以回歸到最近學習的二元一次方程組的解法上來.

評述解決雞兔同籠問題的方法很多,教學過程中一題多解值得提倡,但更為重要的是讓學生理解不同方法之間的內在聯系.本問題中,方法1、方法2、方法3是小學經典的算術方法,方法4是七年級列一元一次方程解應用題方法,方法5是新學習的列二元一次方程組解應用題方法.前4種方法都能與方法5聯系起來,其實質就是方法5中方程組的代入消元法和加減消元法.看清不同方法之間的內在聯系,不盲目崇拜小學的算術方法,這對學生整體把握數學知識,形成正確的數學觀和數學學習觀大有裨益.

2.“雞兔同籠”問題解法選擇及其用二元一次方程組解法的必要性

(1)不同解法的選擇

基于上面的分析、交流、討論,教師提出問題:解決這樣的“雞兔同籠”問題,同學們給出了5種方法,下次遇到這種問題的時候,你會選擇哪種方法?

同學們談了自己的看法,并且給出了選擇方法的理由.這時可以感覺到,同學們對使用二元一次方程組的意愿不強烈,對其解決問題的優越性體會不深刻.

(2)感悟新方法的必要性

教師給學生足夠的時間獨立思考,交流討論.在解決此問題的過程中,學生發現:小學的算術方法和一元一次方程的方法都不太奏效,當題目中兩等量關系非常明確但不太容易用一個量表示另一個量的時候,用二元一次方程組的方法能更快更好地解決問題.

通過這個問題,教師讓學生明確:所謂的“雞兔同籠”問題其實質是已知兩個量的兩個等量關系,求這兩個量的問題.這類問題都可以用二元一次方程組的方法求解,并歸納用二元一次方程組解決問題的步驟.

評述教師要在教學過程中發展學生的批判性思維,讓學生意識到學習新方法的必要性.這就需要教師在教學過程中,讓學生對方法進行分析、對比、質疑,產生認知沖突,產生積極學習的意愿.

3.“配套問題”的最優解

教師給出下面的問題作為本課的拓展:機械廠加工車間有68名工人,平均每人每天加工大齒輪16個或小齒輪10個,已知2個大齒輪與3個小齒輪剛好配成1套,那么需要分別安排多少名工人加工大、小齒輪,才能使每天加工的大、小齒輪剛好配套?

學生獨立思考后,分享如下:

教師肯定他們的想法,并引導學生從不同的角度去認識與理解列方程的過程.

評述在教學過程中,教師要引導學生說出解法背后的思考,引導學生對不同解法進行比較,尋找方法之間殊途同歸的內在聯系.在此過程中,教師要注意引導學生對問題、方法有自己的理解,同時也能吸納他人的想法,形成一個整體.

三、教學思考

1.解題課教學應關注新方法的重要性及引出新方法的必要性

能走入學生內心的新方法才能被學生接受和應用,因此，如何讓學生認識到新方法的重要性和引入新方法的必要性很重要.教學過程中,教師應通過分析、比較,借助問題等載體,站在系統的角度,讓學生認識到新方法的優越性,自然而然從心里接受、自覺運用.

2.解題課教學應揭示一題多解不同解法之間的內在聯系

一題多解能有效地培養學生思維的靈活性,但不應為了一題多解而多解,應當有意識地揭示解法之間的內在聯系.不同解法可能源于對已知條件不同角度的翻譯和理解,可能是另外解法的等價表征,不能只追求解法的數量,更要通過內在聯系的挖掘讓學生加深對知識的理解和應用,形成知識結構,提升素養.

3.解題課教學應強調對題目解法進行反思性總結回顧

在解題教學過程中,我們要在充分理解的基礎上,引導學生對多種解法進行歸類整理、甄別選擇,積累經驗,將知識與方法內化為能力和素養.

基于數學學科特點要求、學生數學學習和教師專業成長需求,立足把握數學邏輯、學習邏輯、教學邏輯,決定了數學課堂教學應把握整體性和聯系性.愿我們都能站在理解數學、理解學生、理解教學的高度,達到“八方聯系,渾然一體,漫江碧透,魚翔淺底”的境界.