探理思法 巧妙解題

田傳弟

(江蘇省徐州市銅山區(qū)三堡中學(xué),221112)

問題是數(shù)學(xué)的心臟,解決問題是數(shù)學(xué)的特點(diǎn).在解題教學(xué)中,只有引導(dǎo)學(xué)生閱讀審題,分析題意,理順條件,關(guān)聯(lián)知識,探究出題目蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理,思考優(yōu)化解題策略,才能有效迅捷地解決問題.下面我們舉例說明,供大家參考.

例1北京冬奧會(huì)跳臺滑雪項(xiàng)目比賽的標(biāo)準(zhǔn)臺高度是90m.運(yùn)動(dòng)員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分,運(yùn)動(dòng)員起跳后的豎直高度y(單位:m)與水平距離x(單位:m)近似滿足函數(shù)關(guān)系y=ax2+bx+c(a≠0).圖1記錄了某運(yùn)動(dòng)員起跳后的x與y的三組數(shù)據(jù),根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù),可推斷出該運(yùn)動(dòng)員起跳后飛行到最高點(diǎn)時(shí),水平距離為( )

(A)10m (B)15m

(C)20m (D)22m

一般解法由題意,知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)(0,90),可得c=90.

再把(40,82.2),(20,93.9)代入y=ax2+bx+90(a≠0),得

例2如圖2,Rt?ABC中,∠ACB=90°，AC=BC=4,D是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以DC為斜邊作Rt?CDE,使∠CDE=30°，點(diǎn)E,A在CD的兩側(cè),當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程為______.

評析求“動(dòng)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程”的關(guān)鍵是弄清“動(dòng)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑(軌跡)”.而在初中階段,可求長度的“動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑(軌跡)”只可能是線段或圓(或圓弧),二者必居其一.

解因?yàn)閍-1

①A,B都在原點(diǎn)左側(cè),如圖4,可以看出y2

②A,B都在原點(diǎn)右側(cè),如圖5,可以看出y2

綜上所述,a的取值范圍是-1

例4如圖7,已知線段AC,用無刻度的直尺和圓規(guī)作Rt?ABC,使得∠ACB=90°,∠BAC=60°.(不寫作法,保留作圖痕跡)

評析學(xué)生對此作圖題往往無從下手,這可能是我們在平時(shí)教學(xué)中不夠重視作圖題的緣故.2022年版的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對尺規(guī)作圖提出了更高要求,所以加強(qiáng)尺規(guī)作圖教學(xué)勢在必行.這道作圖題有多種方法,考慮到作∠BAC=60°,所以要先作出一個(gè)等邊三角形,這是解決本題的關(guān)鍵所在.

解這里給出兩種作圖方法:如圖8和如圖9(作法略).

例5如圖10,在正八邊形ABCDEFGH中,四邊形BCFG的面積為20cm2,則正八邊形的面積為______cm2.

評析這是一種常規(guī)解法,但解答過程略顯復(fù)雜.如果我們能充分發(fā)掘正八邊形自身的一些性質(zhì),如中心對稱性、軸對稱性、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)等,問題可得到秒解.

簡解1如圖12,連結(jié)AD,HE,分別交BG,CF于點(diǎn)M，N，P，Q，連結(jié)MP,NQ交于中心O,則矩形ADEH可以看作是矩形BCFG繞中心O旋轉(zhuǎn)90°得到的,且兩個(gè)矩形的重疊部分是正方形MNPQ.因?yàn)檎叫蜯NPQ的邊長與正八邊形邊長相等,所以等腰直角?ABM,?CDQ,?EFP,?GHN,?MON,?NOP,?POQ和?QOM都是全等的,由此可得S正八邊形ABCDEFGH=2S矩形BCFG=40.故答案為40cm2.

我們在進(jìn)行解題通法教學(xué)的同時(shí),如果能夠不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生探究問題的數(shù)學(xué)原理,思考知識的特性,充分發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用數(shù)學(xué)對象的內(nèi)部關(guān)系,那么就有可能簡化解題過程,從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.