一種CPP- RPP- PRR 解耦并聯機構的位置反解分析

戰麗娜,趙 楠*,肖淑斌

（湖南水利水電職業技術學院,湖南 長沙 410131）

機構的位置分析指的是求解機構的輸入與輸出構件之間的位置關系的過程。當已知機構輸入件的位置和姿態,求解機構輸出件的位置和姿態時稱為機構位置分析的正解；當已知機構輸出件的位置和姿態,求解機構輸入件的位置和姿態時稱為機構位置分析的反解[1-7]。本研究運用螺旋理論[7],對CPP-RPP-PRR解耦并聯機構的位置反解進行了分析。

1 CPP-RPP-PRR 解耦并聯機構結構概述

CPP-RPP-PRR 解耦并聯機構主要由動平臺、靜平臺和分別固連在兩平臺之間的三個分支組成。分支一包括一個圓柱副C1和兩個移動方向相互垂直的移動副P1、P2,其中圓柱副C1在靜平臺上,其移動方向是靜平臺的豎直方向,且與移動副P1的移動方向相互垂直；分支二包括一個轉動副R1和兩個移動方向相互垂直的移動副P3、P4,其中轉動副R1在靜平臺上,其回轉軸線是靜平臺的豎直方向,且與移動副P3的移動方向相互垂直；分支三包括一個移動副P5和兩個回轉軸線相互平行的轉動副R2、R3,其中移動副P5在靜平臺上,其移動方向是靜平臺的水平方向,且分別與轉動副R2的回轉軸線和轉動副R3的回轉軸線相互垂直。因此,從總體上看,圓柱副C1的回轉軸線與轉動副R1的回轉軸線、轉動副R2的回轉軸線和轉動副R3的回轉軸線均兩兩相互平行,且都與移動副P5的移動方向相互垂直,其結構簡圖見圖1。

圖1 CPP-RPP-PRR 解耦并聯機構結構簡圖

2 螺旋理論

對CPP-RPP-PRR 解耦并聯機構進行位置反解分析,須以螺旋理論為基礎。螺旋又稱旋量,線矢量是旋量的特殊形式,可以表示空間矢量的方向和位置,每個螺旋都含有6 個標量。若把空間的兩點A 和B 用有向直線連接,就能決定這條空間直線AB 的方向和位置。在直角坐標系中這條有向直線AB 的矢量可用S 表示,則直線AB 的方向可由其方向余弦確定,直線AB 的位置可通過直線上任意一點的矢量確定。因此,用螺旋來表示直線AB 就為=（S；S0）,其中,S0=r×S,S·S0=0。若S·S0≠0,則表示的就為旋量[7]。

在并聯機構中,剛體的轉動副可以用剛體的角速度的大小與一個表示旋轉軸作用線的單位線矢之積來表示,由于線矢之積與標量表示同一線矢,故轉動副可用螺旋表示為：

剛體的移動副也可看成是一個瞬時轉動,轉動軸線與S 正交,且位于距S 無窮遠的平面內,則移動副可用螺旋表示為：

其中,0 是一個1×3 的零矢量。

而圓柱副(C)則可看作共軸的一個轉動副和一個移動副的組合。

3 CPP-RPP-PRR 解耦并聯機構位置反解分析

CPP-RPP-PRR 解耦并聯機構求解位置反解,即當給定機構的尺寸參數,已知動平臺的未知參數（x,y,）及姿態角c,求三個驅動的輸入：分支一的轉動角度a、分支二的移動e、分支三的轉動角度b。

由于該機構只能完成動平臺在XY 平面的移動和繞Z 軸的轉動,所以只需考慮XY 平面的運動即可求解位置反解。

在XY 平面內,如圖2 機構平面簡圖所示,設靜平臺的桿長分別為L、g,分支一的桿長分別為l、d,分支二的桿長分別為e、f,分支三的桿長為H,動平臺正多邊形的內切圓半徑為R,分支一與靜平臺之間的夾角為u,分支一與分支二之間的夾角為v,分支三與靜平臺之間的夾角為w,分支二與動平臺之間的夾角為z,則L、H、R 三個桿長為定值,u、v、w、z 四個夾角也為定值,都不會隨著機構的運動而改變,但是d、f、g、l 的長度會隨著輸入的改變而變化。設基坐標建立在分支三的圓柱面圓心A 點,動坐標建立在動平臺中心,其余各個坐標建立見圖3。

圖2 CPP-RPP-PRR 解耦并聯機構平面簡圖

圖3 CPP-RPP-PRR 解耦并聯機構坐標系示意圖

由圖3 可知,動坐標位姿可以通過三條路線給定,路線一為A-B-G；路線二為A-C-D-G；路線三為A-E-F-G[6]。

根據螺旋理論,對路線一進行計算,得矩陣如下

對T1進行化簡,得

根據螺旋理論,對路線二進行計算,得矩陣如下

對T2進行化簡,得

根據螺旋理論,對路線三進行計算,得矩陣如下

對T3進行化簡,得

由結果可知,分支一的輸入角度a 就是動平臺的轉動角度c 的值。再將式(7)、(13)、(20)三個矩陣的第四列分別相等,可列出六個方程如下

解出各分支的桿長l、d、e、f、g 和分支三的輸入角度b 如下

4 驗證CPP-RPP-PRR 解耦并聯機構位置反解的正確性

CPP-RPP-PRR 解耦并聯機構處于特殊位置,將其分別代入式(3)、(4)、(5)、(6)、(8)、(9)、(10)、(11)、(12)、(14)、(15)、(16)、(17)、(18)和(19)中,得

因此,機構的位置反解正確,即式 (29)為CPP-RPP-PRR 解耦并聯機構的位置反解。

將該機構在ADAMS 軟件中進行仿真分析驗證,驗證了該機構確實具有三個自由度,并得處分支三的運動軌跡曲線和計算一直,自由度驗證結果見圖4,分支三的運動軌跡曲線見圖5。

圖4 自由度驗證結果

圖5 分支三運動軌跡曲線

5 結論

（1）分析CPP-RPP-PRR 解耦并聯機構的結構,應用螺旋理論,給出該機構位置反解的整個推導過程。

（2）得出CPP-RPP-PRR 解耦并聯機構的位置反解求解公式,并進行特殊位置驗證,為該機構進一步的速度分析、加速度分析、受力分析、誤差分析、工作空間分析、動力學分析和機構綜合等奠定了理論基礎。