時滯位置反饋對一類梳齒型微陀螺振動系統復雜動力學行為的控制

尚慧琳， 蔣慧敏， 秦 波

(上海應用技術大學 機械工程學院，上海 201418)

微陀螺以其尺寸小、精度高等特點，越來越受到人們的關注，在汽車導航、移動應用以及航空航天等領域被廣泛應用[1-2]。在應用的過程中，發現其非線性因素的對微陀螺的靈敏度、穩定性造成極大的影響，為此，微陀螺的非線性動力學問題引起了國內外學者廣泛關注[3]。張琪昌等[4]探究了雙極板微諧振器振動特性與環境壓力以及立方非線性靜電剛度的關系，發現三次非線性靜電剛度會使微機械諧振器表現出或軟或硬的非線性特性。Zegadlo等[5]探究了具有線性增益和非線性吸收的兩個耦合環形諧振器系統的混沌動力學行為。高嶸等[6]考慮微諧振器空氣阻尼力的非線性因素，得到非線性阻尼力的平板振幅非常接近試驗值，驗證了非線性阻尼力的存在。Mojahedi等[7]數值模擬發現非線性參數對微機械陀螺系統吸合不穩定和偏轉的影響。郝燕玲等[8]研究了多自由度微陀螺的結構參數對其性能的影響，為多自由度陀螺結構參數的選取指明了方向。Zhang等[9-10]用數值模擬研究了驅動電壓和檢測電壓對微陀螺周期運動及其分岔的影響，并考慮了系統的吸合效應，結果表明，在適當的檢測電壓范圍內，系統可能具有最大的機械靈敏度和最小的非線性。尚慧琳等[11]利用分岔理論和數值模擬揭示系統參數對一類切向梳齒驅動微陀螺驅動和檢測模態振幅影響，結果表明，激勵頻率的變化容易引起微陀螺振動系統的多穩態解和概周期等復雜動力學行為。

為了保障微器件的正常工作，應對其振動跳躍、吸合不穩定和混沌等復雜動力學行為實施有效控制。對于微機電系統來說，在其微小結構上直接施加主動控制對本身結構易產生極大影響，是不太可行的。因此，大多數的控制都是在驅動電路上施加。Li等[12]通過在振動式微回轉儀的矩形束流四個表面上增加壓電薄膜，提高壓電交流在穩定區域幅值，使振動微梁陀螺儀具有較好的靈敏度。郝淑英等[13]運用多尺度法和數值計算相結合方法對微梁幾何非線性設計和調控驅動剛度非線性導致的硬化特性來平衡靜電力帶來的軟化特性，避免了系統頻率失穩和振幅跳躍現象。李偉雄[14]探究時滯速度、位移反饋控制對含剛度非線性的雙驅動雙檢測四自由度微陀螺動態性能的控制作用。李欣業等[15]提出對敏感質量施加時滯反饋來抑制一類簡諧激勵兩自由度微陀螺振動系統的雙穩態現象多數控制方法。Luo等[16]研究了微機電系統(micro electro mechanical systems, MEMS)微諧振器的混沌力學，提出一種自適應控制方法抑制系統在主諧振頻率附近混沌振蕩。Zhang等[17]運用數值模擬靜電驅動MEMS諧振器在隨機擾動下的非線性動態和混沌行為，通過Melnikov函數分析，發現隨機噪聲會影響系統非線性特性，增加噪聲強度會擴大系統產生混沌的區域。Li等[18]運用Lyapunov穩定性和自適應控制技術，得到了具有不確定性和擾動的分數階混沌系統網絡化同步的充分條件，通過理論分析和數值仿真提出的網絡同步策略能在不影響同步性能的前提下有效地減少網絡帶寬負擔。Masri等[19]研究一種延遲反饋速度控制器，采用非線性單自由度模型對諧振器響應進行模擬，繪制時滯反饋控制下諧振器振動系統安全域，與比較安全域侵蝕程度來直觀地描述電容型微諧振器吸合不穩定現象。這些研究原具有描述微結構吸合不穩定現象，但對其發生控制機制相關研究報道極少，仍有待進一步開展。

因此，本文以一類典型的梳齒型微機械陀螺結構為研究對象，針對其非線性因素導致的振動跳躍、吸合不穩定等機理提出時滯位置反饋控制。結構如下：首先，對微陀螺系統進行無擾動分析；進而，利用多尺度研究系統振動跳躍現象及機制；最后，對微陀螺系統施加時滯位置反饋控制，研究吸合不穩定現象及其控制，并給出結論與分析。

1 動力學建模

(1)

(2)

式中：n為梳齒數；l為驅動梳齒重疊長度；a為驅動梳齒厚度；sd為驅動梳齒間隙；η為介電常數。驅動方向右側和左側電壓分別為

Ud1=Ud0+Udacos(ωt),Ud2=Ud0-Udacos(ωt)

(3)

式中：Ud0為驅動直流電壓；Uda為驅動交流電壓幅值。驅動方向的靜電力為[20]

(4)

式中：ω為激勵頻率；Ex與驅動交流電壓幅值和驅動直流電壓成正比，即為驅動電壓相關參數。同理，檢測方向兩個電容表達式為

(5)

式中：ll和lw分別為檢測電極的長度和寬度；ss為檢測電極間隙；Us為檢測電壓。則檢測方向的靜電力可表示為

(6)

則式(6)中參數Ey隨檢測電壓Us單調遞增。在圖2中，設ad和as分別為驅動方向和檢測方向加速度，則其滿足

(7)

(8)

式中：驅動電壓相關系數EX為驅動交流電壓幅值Uda的正比例函數；檢測電壓相關系數EY為檢測電壓的單調函數。則無量綱系統為

(9)

2 振動跳躍現象及機理

本章主要討論系統的周期振動，若系統在固定參數下存在多穩態解，則即便單個周期解穩定，改變初始條件，系統仍會收斂到不同的周期吸引子，特別是初始條件的微小改變即引起系統動力學行為的定性改變，即振動跳躍。

首先，運用多尺度方法對式(9)進行分析，求解系統周期響應以及穩定性判斷，得出系統最終的幅頻響應分岔方程，通過調節系統參數研究幅頻曲線圖的特征。引入小參數變量ε對系統進行重新標度，在主共振和1∶1內共振情況，σ1和σ為驅動方向的調諧參數，0<ε?1。具體如下

(10)

將式(9)中常數項進行平移代換，(Xc,Yc)為非零平衡點，則可設

(11)

即滿足

(12)

式中，FY為高階非線性項，且|y|?1，將FY泰勒展開，保留Y的三次方，可得

FY=Y+2Y3

(13)

另外，將系統中檢測電壓相關參數EY進行重新標度，設

(14)

將式(10)～式(14)代入式(9)中，得到

(15)

在此基礎上，設方程的解形式為

(16)

式中：T0=T；Ti=εTi,(i=0,1,2,…)。采用多尺度法對系統進行攝動，為使驅動和檢測模態位移解不出現久期項，通過對比ε0和ε1系數，得到

X0=A1(T1,T2)eiT0+CC,Y0=B1(T1,T2)eiT0+CC

(17)

其中，

(18)

得到平均方程

(19)

將式(19)代入原系統參數還原可得到微陀螺系統關于振幅a1，b1的分岔方程

(20)

由式(18)和式(20)確定式(15)的近似周期解。根據式(19)，系統周期解所對應特征方程為

(21)

由于系統Hopf分岔的臨界條件為式(21)有純虛根，即

g1-g2(ξX+ξY)=0

(22)

其中，

(23)

以下通過分岔方程式(20)來繪制微機械陀螺幅頻特性響應。其中，系統參數取值如下

G=0.01,Ad=0.4,As=0,ξX=ξY=0.015,

(24)

激勵幅值對驅動方向系統振幅的影響，如圖3所示。由圖3可知，系統在共振點附近響應幅值較大，相對應的輸出信號會比較明顯，有利于檢測；然而，當電壓頻率大于固有頻率且偏高時，系統出現多個解支，對應圖中兩條縱向虛線之間的三條解支：明顯地，有雙穩態周期振動共存；特別地，激勵頻率從1.025增大到1.03系統的動力學行為對初始條件更敏感，如圖4和圖5所示。在圖4中，當Ω=1.025時，存在雙穩態現象，如實虛兩種線型對應的振動解所示，其吸引域的投影如圖5(a)和圖5(b)所示。由于[X(0),X′(0),Y(0),Y′(0)]=(0,0,0,0)這個初始狀態更受關注，為直觀描述：當繪制檢測方向吸引域時，假定驅動方向X(0)=X′(0)=0；當繪制驅動方向吸引域時，假定檢測方向Y(0)=Y′(0)=0。因此，得到圖5在其領域內吸引域的投影。在圖5中，不同穩態運動對應的吸引域以黑色或灰色標出，系統存在兩種穩態運動，其中振動幅值小的穩態吸引域對應淺灰色，振幅大的穩態吸引域對應深灰色，并以“+”標出相對零平衡點位置。由圖5(a)、圖5(b)可知，零狀態時對應大振幅周期振動，但當Ω增大到1.03，如圖5(c)和圖5(d)所示，對應的是小振幅落到了淺灰區域，同時，由圖5可知，零初始條件附近，初始條件的微小擾動極易造成振動跳躍。不僅如此，當Ω=1.03時，檢測方向的吸引域出現分形邊界，而在邊界之外對應的白色區域則表示吸合區域，即檢測方向極板吸合，說明系統容易發生吸合不穩定現象，其行為和機制將在第3章討論。

3 吸合不穩定現象分析

由于吸合不穩定現象屬于全局分岔行為，而對于同異宿分岔大多是運用Melnikov方法[21]分析其必要條件。因此，以下將討論全局分岔機理。

3.1 無擾動分析

系統參數取值見式(24)，代入式(12)得Yc=0，將式(10)～式(12)代入式(9)中，得

(25)

將式(25)整理成含有擾動項的規范型，得

(26)

(27)

滿足哈密頓系統，其哈密頓量函數為

(28)

在圖6(a)中，只有繞O點的極限環，令

(29)

式中，Qc為常數,則

(30)

(31)

因此，有

(32)

從而解得對應邊界上Qc，如圖6(a)中加粗曲線所示。在該異宿軌道內部，圍繞原點中心，軌線閉合有界；封閉異宿軌道外，軌線溢出，即容易發生過度振動，對應微結構靜態吸合。

考慮到異宿軌道，有

(33)

φ(-∞)=0,φ(0)=φ0,φ(+∞)=π

(34)

小擾動下異宿軌道精確解析解可設為三角函數表示，根據圖6，對異宿軌道可以設為

(35)

并結合式(32)得到

(36)

(37)

根據式(34)和式(36)，異宿軌道可解析表達為

(38)

且根據式(33)得

(39)

3.2 異宿分岔條件

將異宿軌道及時間T關于φ的表達式代入Melnikov函數，并還原為式(9)，得到Melnikov函數為

(40)

(41)

明顯有I1>0。引起原系統異宿分岔的必要條件是Melnikov函數存在簡單零點，因此，令M2=0，則可將耦合項表達為

(42)

代入M1，當M1當存在簡單零點，有

(43)

還原系統參數引起異宿分岔的參數EX滿足

(44)

4 時滯反饋控制機理

為抑制系統振動跳躍和吸合不穩定現象，通過在式(1)的驅動電壓上施加線性時滯位置反饋控制，時滯位置反饋控制系統表達為

(45)

(46)

則時滯控制系統成為

(47)

實施該控制的前提是線性化系統仍不會因時滯項的出現發生平衡點穩定性切換。這里由于時滯項加在激勵項當中，因此，并不會引起線性系統平衡點的穩定性發生切換。

數值模擬式(47)驅動方向幅頻響應特性曲線，如圖8所示，其中，給定增益系數Gp=0.2。在圖8中，明顯可見，隨著時滯量的增加，從0.3～0.8，盡管系統振幅有所減小，但幅頻響應特性曲線由原來的多穩態解共存變成單支連續周期解，即全局穩定，因此，振動跳躍現象可以得到有效抑制。

下面將開展對時滯反饋控制系統異宿分岔行為機制的研究，從而分析時滯位置反饋對這類復雜動力學行為的控制機理及效果。由于時滯反饋項并不帶來系統穩定性定性改變，因此，將式(47)中時滯項進行二階泰勒展開，其相應Melnikov函數為

(48)

其中，

(49)

由于本文討論主共振情況，即Ω位于1的領域，因此，I2>0。根據式(49)，Melnikov函數存在簡單零點的時滯位置反饋控制下系統驅動電壓幅值滿足

(50)

進而對該控制效果進行數值模擬，對無量綱控制系統式(47)，由于零時刻前無反饋信號輸入，即當-τ≤T<0時有初始狀態[Y(T),Y′(T)]=(0,0)，則其初始狀態空間同樣可投影到零時刻初始狀態平面[Y(T),Y′(T)]上。不同電壓下系統的安全域隨時滯量和驅動電壓幅值的變化，如圖10所示。圖10(a)～圖10(c)為當τ=0時無控制微陀螺振動系統的安全域演變情況，對比可知，隨著EX增大，安全域分形逐漸明顯，當EX=0.02時，見圖10(a)，無控制系統安全域開始出現不光滑邊界。當τ從0開始增大，分別對比圖10(a)、圖10(d)、圖10(g)和圖10(b)、圖10(e)、圖10(h)，可見系統安全域邊界變光滑，而且面積逐漸增大，安全域侵蝕得到有效抑制。而當EX=0.6，在不施加控制時，系統安全域被嚴重侵蝕，對比圖10(c)、圖10(f)、圖10(i)，當增大時滯量，即便邊界未變光滑，但安全域侵蝕狀態也得到明顯改善；原點鄰域逐漸變得安全，表明時滯量的增大能抑制吸合不穩定現象。由此可見，時滯位置反饋對抑制這類微陀螺結構吸合不穩定具有良好的控制效果。

5 結 論

以一類典型的靜電驅動微機械陀螺動力學模型為研究對象，首先，建立微陀螺結構的二自由度動力學模型，運用多尺度法和分岔理論，結合數值驗證，分析系統參數引起的微陀螺多穩態響應；其次，通過引入獨立參數，得到異宿軌道的精確表達式，在此基礎上利用Melnikov方法預測微結構的異宿分岔條件，從而分析引起微結構檢測方向吸合不穩定的機制，并提出在系統驅動電壓上引入線性時滯位置反饋，從而抑制該現象，數值算例與理論算例解析結果的吻合證明了理論預測的有效性。主要得到以下結論：

(1) 在主共振和1∶1內共振的情況下，微陀螺系統容易出現多穩態和振幅跳躍現象。

(2) 驅動交流電壓幅值增大容易引起檢測方向極板吸合不穩定現象，該現象可歸因于異宿分岔。

(3) 當反饋增益系數大于零時，時滯位置反饋能夠有效地抑制微結構的振動跳躍和吸合不穩定現象；時滯量和反饋增益系數作為獨立的兩個控制參數，具有較大的參數取值范圍，說明時滯位置反饋作為單通道控制方法，是控制這類靜電驅動微陀螺復雜動力學行為的良好策略。

本文主要從理論上對微陀螺的振動特性進行了分析，為微機械陀螺的設計與優化控制提供參考依據。為強化理論研究的實用性，使現有理論研究更具針對性，在未來的工作中，筆者將從試驗角度對相關的結論開展進一步的關聯性分析。