考慮支點變形和摩擦的可傾瓦軸承動力學特性研究

金英澤， 袁小陽

(1. 大連海事大學 船舶與海洋工程學院，遼寧 大連 116026；2. 西安交通大學 現代設計及轉子軸承系統教育部重點實驗室，西安 710049)

可傾瓦軸承憑借優良的穩定性廣泛應用于汽輪機、燃氣輪機和核主泵等重大裝備旋轉機械?？蓛A瓦軸承動力學特性研究從剛度阻尼系數研究已經發展到非線性動力學特性研究[1-3]。支點是實現瓦塊自適應擺動的關鍵結構組件，常見的支點形狀主要有柱形支點和球形支點。從接觸方式來看，柱形支點為線接觸方式，球形支點為點接觸方式；從運動形式來看，柱形支點依靠滾動，球形支點依靠滑動，后者的摩擦因數比前者要大兩個數量級[4]。因此，基于剛性光滑支點假設的理想支點模型有必要發展為計入支點變形和摩擦的真實支點模型。

可傾瓦軸承支點變形的研究大多采用赫茲接觸理論和有限元仿真。Kirk等[5]基于赫茲接觸理論給出了典型可傾瓦軸承瓦塊支點剛度和變形方程，證明了支點剛度在可傾瓦軸承動特性計算中的必要性。李萌萌等[6]采用有限元仿真分析了點支承、線支承和球支承可傾瓦軸承的支點垂直靜剛度。王占朝等[7]研究了支點變形對水潤滑可傾瓦推力軸承啟動過程初始傾斜轉速的影響，數值結果得到了試驗驗證。Mehdi等[8]研究了支點柔性對柱形和球形支點可傾瓦軸承靜動特性的影響，證明了柔性支點模型更接近試驗數據。Shi等[9]研究了柱形和球形支點可傾瓦軸承對立式和臥式轉子非線性動力學特性的影響。值得一提的是：Jin等[10]利用支點變形的優勢提出一種可調彈性支點可傾瓦軸承，并分析了該軸承的非線性動力學特性。

可傾瓦軸承支點摩擦的研究相對較少。Wygant等[11]試驗測試了柱形和球形支點可傾瓦軸承靜平衡位置和動特性系數，重點關注了支點摩擦對軸承性能的影響。Kim等[12]提出了支點摩擦模型，分析了支點摩擦對可傾瓦軸承靜態和瞬態性能的影響。Kim等[13]研究了支點摩擦對可傾瓦軸承轉子系統非線性響應和分岔特性的影響，表明支點摩擦對評估轉子系統穩定性起重要作用。黨超等[14]研究了支點摩擦對可傾瓦軸承潤滑性能的影響。

在上述研究中，支點變形和摩擦的耦合作用尚未計入到支點模型中，支點設計參數對非線性動力學特性的影響規律也尚未摸清。鑒于此，本文開展考慮支點變形和摩擦的可傾瓦軸承動力學特性研究。以水潤滑球形支點可傾瓦軸承為研究對象，建立考慮支點彈性力和摩擦力矩的可傾瓦軸承系統非線性動力學模型和分析方法，研究支點變形和摩擦對可傾瓦軸承動力學特性的影響，揭示支點半徑比和支點摩擦因數對軸承性能的影響規律。

1 理論模型

研究對象是球形支點可傾瓦軸承，軸承含四塊可傾瓦，潤滑介質是水，承載方式為瓦間承載。球形支點可傾瓦軸承坐標系和瓦塊支點接觸示意圖，如圖1所示。相關符號在文中有標注。軸頸存在靜載和不平衡質量，1號瓦和2號瓦為承載瓦，3號瓦和4號瓦為非承載瓦。

1.1 流體動壓潤滑模型

在等溫、不可壓縮流體假設下，含有紊流修正系數的非定常雷諾方程為

(1)

式中：R為軸頸半徑；h為液膜厚度；p為液膜壓力；μ為流體動力黏度；ω為轉動角速度；t為時間；φ，z分別為周向和軸向坐標；kφ，kz為紊流修正系數。當kφ=kz=12時，即為經典層流雷諾方程。

假設瓦塊表面是剛性的，軸頸與瓦塊是平行的，則考慮支點接觸變形的可傾瓦膜厚方程為

h=cp-(cp-cb-ξ)cos(β-φ)+ejcos(φ-θ)+
Rδsin(β-φ)

(2)

式中：cp為瓦塊徑向間隙；cb為軸承徑向間隙；ξ為瓦塊徑向位移；β為支點位置角；ej為軸頸偏心距；θ為軸頸偏位角；δ為瓦塊擺角

當瓦塊徑向位移大于零時，支點發生接觸變形且變形量等于瓦塊位移量；否則，瓦塊與支點不發生接觸。因此，支點變形ξp和瓦塊位移ξ的關系可描述為

(3)

適用于滑動軸承設計的紊流潤滑理論主要有三個[15]：Constantinescu理論、Ng、Pan和Elrod理論以及Hirs理論。采用精度較好、應用較多的Ng和Pan紊流模型確定紊流修正系數

(4)

式中，Re可稱之為有效雷諾數，它的表征取決于流態的性質。一般認為，流體中可能存在三種流態，分別是層流、紊流和過渡流態?；瑒虞S承的流態可根據局部雷諾數和臨界雷諾數的對比來確定，本文采用的兩個臨界雷諾數分別是800和1 500[16]，則有

(5)

式中：Rel為局部雷諾數，Rel=ρωRh/μ；ρ為流體密度；c1-4為待定系數，通過Re及其一階導數在臨界雷諾數處連續確定。

可傾瓦軸承非線性液膜力分量fx和fy、瓦塊徑向液膜力fr和瓦塊液膜力矩Mp的表達式為

(6)

(7)

(8)

式中：i為瓦塊序號；L為軸承長度；φin，φout分別為進、出液邊位置角。

1.2 瓦塊-支點接觸模型

赫茲接觸理論[17]的基本假設為：①接觸變形很小且在彈性極限范圍內；②接觸體可視為彈性半空間；③接觸表面連續且非共形；④接觸表面無摩擦。則支點彈性力可表達為支點變形的非線性冪函數

(9)

式中，K為廣義接觸剛度，其值取決于材料屬性和接觸表面形狀。球形支點與瓦背球窩的接觸屬于凸球與凹球的接觸問題，廣義接觸剛度可表達為

(10)

式中：Rs為瓦背球窩半徑；Rp為支點半徑；σs和σp為材料參數，由式(11)給出

(11)

式中：υk為泊松比；Ek為彈性模量。

庫倫摩擦定律的基本假設為：①滑動摩擦力與接觸表面的正壓力成正比，跟接觸面積無關；②滑動摩擦力與滑動速度大小無關。另假設接觸表面間的動摩擦因數與靜摩擦因數相等且為常數值，則支點對瓦塊的滑動摩擦力Ff和摩擦力矩Mf可表達為

(12)

式中，μf為支點摩擦因數。

如果瓦塊處于擺動狀態，則瓦塊受到滑動摩擦力矩的作用，摩擦力矩方向與瓦塊擺動方向相反；如果瓦塊處于靜止狀態，則摩擦力矩取決于液膜力矩和最大靜摩擦力矩的大小，摩擦力矩方向與液膜力矩方向相反。綜上所述，支點對瓦塊的摩擦力矩可表達為

(13)

式中，“·”為一階導數d/dt。

1.3 可傾瓦軸承非線性動力學模型

球形支點可傾瓦軸承瓦塊存在多個方向的自由度。本文采用的是瓦塊主擺動方向和徑向方向自由度的點支承建模方法，假設瓦塊不發生其他方向的擺動?？紤]支點變形和摩擦后，可傾瓦軸承在不平衡諧波與靜載聯合激勵下的動力學方程可描述為

(14)

式中：mj為軸頸質量；xj，yj為軸頸位移分量；“··”為二階導數d2/dt2；eu為不平衡偏心距；Wy為軸承靜載；Ip為瓦塊轉動慣量；mp為瓦塊質量。

假設瓦塊厚度是均勻的，則瓦塊轉動慣量和瓦塊質量的表達式推導為

(15)

(16)

式中：ρp為瓦塊密度；α為瓦塊包角；hp為瓦塊厚度；ζ為支點系數，即瓦塊入口邊到支點的包角與瓦塊包角的比值。該表達式計算結果與SolidWorks軟件計算結果基本一致。

2 計算方法

采用有限差分法求解雷諾方程(見式(1))，采用半步長五點中心差商近似取代雷諾方程中的偏導數，將方程化為一組代數方程，為加速收斂，采用超松弛迭代法求解方程組得到壓力分布。迭代過程納入了雷諾邊界條件，見式(17)。采用經典顯式歐拉法逐步求解可傾瓦軸承動力學方程(見式(14))。為了兼顧計算精度和計算效率，數值方法的參數設置如下：松弛因子為1.7，單瓦液膜在周向和軸向的網格數量為20×14，壓力收斂精度為10-6，軸頸和瓦塊初始位置和速度皆為0，時間步長為10-6s。

(17)

需要說明的是：由于球形支點計入了摩擦力矩作用，在逐步計算的過程中，當相鄰兩個時刻的瓦塊擺速符號相反時，表明在該段時間內必然存在擺速為0的時刻，即瓦塊停止擺動，但數值計算忽略了這個狀態，造成瓦塊始終受到滑動摩擦力矩的作用，而忽略了靜摩擦力矩的作用，這是不符合物理意義的。本文采用的處理方式是：當相鄰兩時刻的瓦塊擺速符號相反時，令后一時刻的瓦塊擺速為0，這樣可以確保數值計算的可靠性和穩定性。

3 計算結果與討論

計算案例采用的球形支點可傾瓦軸承結構和運行參數，如表1所示。其中，支點半徑比指的是支點半徑與瓦背球窩半徑的比值，它是重要的支點設計參數。0～400 μm的不平衡偏心距可以激發0～88.8 kN的動態載荷，由于靜載為44.4 kN，因此案例涵蓋動載小于靜載、動載等于靜載和動載大于靜載時的運行工況。

表1 可傾瓦軸承參數Tab.1 Parameters of tilting-pad journal bearing

3.1 考慮支點變形和摩擦的可傾瓦軸承動力學分析

本部分計算采用的支點半徑比為0.995，支點摩擦因數為0.1。多種不平衡偏心距下支點變形和支點摩擦力矩的響應曲線，如圖2所示。從圖2可知，不平衡偏心距對二者可產生較大影響。當不平衡偏心距為0時，支點變形和摩擦力矩隨時間最終達到一個恒定值，此時支點變形為20.8 μm，支點摩擦力矩為-226 N·m。在不平衡諧波激勵下，支點變形和摩擦力矩隨時間呈周期性波動，不平衡偏心距越大，波動幅度越大。當不平衡偏心距為400 μm時，最大支點變形為47.3 μm，最大支點摩擦力矩為776 N·m。

針對三種典型不平衡偏心距研究了支點變形和摩擦對軸心軌跡的影響，如圖3所示。支點變形可使軸承間隙增大，這會導致軸承剛度和承載力降低，因此考慮支點變形后，靜態軸頸偏心距和軸心軌跡幅值皆增大。支點摩擦抑制了瓦塊擺動的自適應性，導致瓦塊液膜合力不再通過支點，軸承存在交叉剛度，因此考慮支點摩擦后，靜態軸頸偏位角不再為0，軸頸偏心距增大，軸心軌跡幅值減小。以100 μm不平衡偏心距為例，僅考慮支點變形時，軸心軌跡幅值增大58%；僅考慮支點摩擦時，軸心軌跡幅值減小22%；綜合考慮支點變形和摩擦時，軸心軌跡幅值增大40%。結果表明，支點變形相比支點摩擦對軸心軌跡的影響程度要更大一些。

圖4研究了支點變形和摩擦對瓦塊擺角響應的影響(eu=100 μm)。支點變形可增大瓦塊擺幅，支點摩擦可減小瓦塊擺幅，這與其對軸心軌跡幅值的影響是相似的。以2號承載瓦為例，僅考慮支點變形時，瓦塊擺幅增大101%；僅考慮支點摩擦時，瓦塊擺幅減小93%；綜合考慮支點變形和摩擦時，瓦塊擺幅減小5%。由此可見支點摩擦相比于支點變形對瓦塊擺角響應的影響更大一些?？紤]支點摩擦下的瓦塊擺角響應特征在于最大擺角在一段時間內保持不變，這是因為此時瓦塊動態液膜力矩小于最大支點靜摩擦力矩，典型特征如圖4(c)，非承載瓦的擺角不再隨時間發生變化，此時瓦塊不擺動，其最終擺角由擺動歷程所決定。

圖5針對多種不平衡偏心距研究了支點變形和摩擦對軸承最小液膜厚度的影響。從圖5可知，支點變形可使軸承最小液膜厚度增大，增幅可達10%，這是因為軸承間隙有所增大。支點摩擦對軸承最小液膜厚度的影響與不平衡偏心距大小有關，但影響較小。當不平衡偏心距較小時(0～100 μm)，支點摩擦可使軸承最小液膜厚度減小，減幅不超過4%；當不平衡偏心距較大時(150～400 μm)，支點摩擦可使軸承最小液膜厚度增大，增幅不超過3%。支點變形和摩擦的綜合作用可使軸承最小液膜厚度增大，增幅可達7%。

3.2 支點半徑比對可傾瓦軸承動力學特性的影響

本部分計算采用的不平衡偏心距為200 μm，支點摩擦因數為0.1。圖6研究了支點半徑比對軸心軌跡的影響。軸心軌跡的形狀與拐點受支點半徑比的影響較大，支點半徑比越小，軸心軌跡相對越復雜。軸心軌跡幅值隨支點半徑比的增大而減小，這是因為支點半徑比的增大可使支點剛度增大，進而使軸承剛度增大。當支點半徑比從0.9增大到0.999時，軸心軌跡幅值從69.6 μm減小到32.1 μm，減幅達54%。結果表明，將支點半徑比設計得大些有利于抑制軸頸振動。

圖7研究了支點半徑比對瓦塊振動響應的影響。瓦塊振幅隨支點半徑比的增大而減小，支點半徑比越大，支點摩擦效應也更加明顯，體現在瓦塊在最大擺角處停滯的時間更長。當支點半徑比從0.9增大到0.999 時，瓦塊擺動振幅從0.014 6°減小到0.0041 3°，減幅達72%；瓦塊徑向振幅從41.4 μm減小到6.48 μm，減幅達84%。結果表明，適當增大支點半徑比有利于抑制瓦塊振動。

圖8研究了支點半徑比對瓦塊最小液膜厚度的影響?？梢钥闯觯啾扔?號瓦，1號瓦的最小液膜厚度更小，這是支點摩擦效應導致的。也就是說，可傾瓦軸承的最小液膜厚度發生在1號瓦上。當支點半徑比在0.96～0.97時，軸承最小液膜厚度有最大值，約為44.2 μm。從提高軸承承載能力來看，宜將支點半徑比設計在該范圍內。

3.3 支點摩擦因數對可傾瓦軸承動力學特性的影響

本部分計算采用的不平衡偏心距為200 μm，支點半徑比為0.995。圖9研究了支點摩擦因數對軸心軌跡的影響。軸心軌跡幅值隨支點摩擦因數的增大而減小，這是因為支點摩擦因數的增大導致軸承交叉剛度有所增大。當支點摩擦因數從0增大到0.5時，軸心軌跡幅值從42.4 μm減小到33.9 μm，減幅達20%。結果表明，適當增大支點摩擦因數有利于抑制軸頸振動。

圖10研究了支點摩擦因數對瓦塊振動響應的影響。瓦塊擺動振幅和瓦塊徑向振幅隨支點摩擦因數的增大呈現不同程度的減小，前者減幅顯著，后者減幅較小。當支點摩擦因數從0增大到0.5時，瓦塊擺動振幅從0.008 35°減小到0，減幅為100%；瓦塊徑向振幅從11.7 μm減小到11.0 μm，減幅為6%。支點摩擦因數的增大可使摩擦力矩增大，從而阻礙了瓦塊的擺動。當支點摩擦因數達到0.5時，瓦塊動態液膜力矩恒小于最大支點靜摩擦力矩，導致瓦塊不擺動，此時瓦塊最終擺角取決于瓦塊的擺動歷程。

圖11研究了支點摩擦因數對瓦塊最小液膜厚度的影響。當支點摩擦因數為0時(光滑支點)，兩個承載瓦的最小液膜厚度相等；當支點摩擦因數非0時，1號瓦的最小液膜厚度更小，軸承最小液膜厚度發生在該瓦上。軸承最小液膜厚度隨支點摩擦因數的增大呈先略增后減小的趨勢，支點摩擦因數為0.1可使軸承最小液膜厚度有最大值43.2 μm。結果表明，支點摩擦因數控制在0～0.15內可使軸承具有較高的承載能力，支點摩擦因數過大會導致軸承承載能力大幅下降。

4 結 論

建立了考慮支點彈性力和摩擦力矩的球形支點可傾瓦軸承系統非線性動力學模型和分析方法，揭示了支點半徑比和支點摩擦因數對水潤滑可傾瓦軸承動力學特性的影響規律。主要結論如下：

(1) 計入支點變形后，可傾瓦軸承系統振幅、最小膜厚和靜態軸頸偏心距皆增大，軸心軌跡幅值可增大58%，最小膜厚增幅可達10%。

(2) 計入支點摩擦后，可傾瓦軸承系統振幅減小，軸心軌跡幅值可減小22%；最小膜厚在小動載時有所減小，大動載時有所增大，但變化較小；靜態軸頸偏心距增大，偏位角非零。

(3) 支點變形和支點摩擦耦合作用對可傾瓦軸承動力學特性的影響與支點半徑比和支點摩擦因數的大小有關。增大支點半徑比和支點摩擦因數有利于降低可傾瓦軸承系統振幅，當支點半徑比范圍為0.96～0.97及支點摩擦因數范圍為0～0.15時，軸承有較高的承載能力。

未來仍有一些科學問題亟待解決，如支點摩擦導致的可傾瓦軸承系統的多解問題、支點失效導致的可傾瓦軸承系統的穩定性問題等。