不確定剛度和邊界約束條件下的軸力識(shí)別

李東升， 陳琪舟， 魏 達(dá)， 郭 鑫， 姜 濤

(1.汕頭大學(xué) 土木與環(huán)境工程系, 廣東 汕頭 515063;2.汕頭大學(xué) 廣東省結(jié)構(gòu)安全與監(jiān)測工程技術(shù)研究中心, 廣東 汕頭 515063;3.大連理工大學(xué) 海岸及近海工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 遼寧 大連 116024)

橋梁和大跨空間結(jié)構(gòu)中，拉索或者吊桿作為重要的受力構(gòu)件，其安全性能將決定整個(gè)結(jié)構(gòu)的安全。例如，2011年4月12日5時(shí)30分，服役12年的新疆庫爾勒市孔雀河大橋由于主跨第二根吊桿斷裂，致使橋面垮塌；2019年10月1日9時(shí)許，中國臺(tái)灣宜蘭縣南方澳跨港大橋在一輛油罐車行駛過跨中后不久，多根吊桿斷裂，發(fā)生垮塌事故，油罐車隨橋掉落水中，事故共造成12人受傷、6人死亡。因此，索力或吊桿軸力的準(zhǔn)確測量或者識(shí)別對于結(jié)構(gòu)的安全至關(guān)重要[1]。目前以弦理論[2]和Bernoulli-Euler梁理論[3-5]為基礎(chǔ)的頻率法對長吊桿或者拉索的軸力識(shí)別精度尚可，但對于較短的吊索或者吊桿的識(shí)別精度則較差，誤差可達(dá)30%以上，嚴(yán)重影響真實(shí)受力狀態(tài)評(píng)估的準(zhǔn)確性，對服役中的結(jié)構(gòu)帶來較大安全隱患。

造成短吊桿或者短粗索軸力識(shí)別精度差的原因在于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中傳統(tǒng)的長細(xì)桿假定不再合理。相對較大的橫截面，在動(dòng)力作用下有明顯的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量效應(yīng)，同時(shí)由于制造誤差和銹蝕等因素的影響，通常認(rèn)為的兩端鉸接也不再成立，而是處于固定和鉸支的中間狀態(tài)，在端部承受一定的彎矩，致使傳統(tǒng)假定的單純受拉或者受壓二力桿假定失效。

很多學(xué)者注意到這個(gè)問題，劉文峰[6]在索力測試中分析對比了考慮和不考慮索剛度影響、假設(shè)索為簡支邊界和固支、簡支耦合的情況，發(fā)現(xiàn)不考慮拉索彎曲剛度影響時(shí)，短粗索索力誤差明顯增大，當(dāng)索長為8.21 m時(shí)，索力測試誤差達(dá)到5.6%。 秦杰等[7]總結(jié)大量索力研究成果，認(rèn)為對于長徑比大于100，或直徑小于44 mm的拉索，軸力識(shí)別結(jié)果均不精確。事實(shí)上，建筑結(jié)構(gòu)中有超過80%的索屬于短粗索[8]。對此，李素貞等[9]利用經(jīng)典Euler梁理論[10]，提出了同時(shí)利用頻率和振型的軸力識(shí)別方法，該方法可以同時(shí)對邊界約束條件的待定參數(shù)和桿件軸力進(jìn)行識(shí)別。袁永強(qiáng)等[11-12]通過對不同截面桿件的數(shù)值模擬及試驗(yàn)研究，證實(shí)了該方法的適用性并進(jìn)行了相應(yīng)的改進(jìn)。Chen等[13]對索的模態(tài)振型進(jìn)行了參數(shù)化研究，系統(tǒng)地研究了雙曲分量在邊界附近的干涉效應(yīng)，開發(fā)了對邊界約束更復(fù)雜軸力識(shí)別方法。

除了動(dòng)力學(xué)方法外，目前也有利用靜力、電磁感應(yīng)以及圖像處理等原理的軸力識(shí)別方法。張戌社等[14]通過桿件表面光纖光柵的受力變形，由應(yīng)變的大小推算出桿件所受軸力的大小。該方法有安裝簡單，成本低的優(yōu)點(diǎn)。波動(dòng)法[15]通過波速及桿件曲線對距離和時(shí)間的導(dǎo)數(shù)得到桿件軸力和波速的關(guān)系。張海東等[16]通過小型電磁傳感器測試磁通量變化，根據(jù)索力、溫度與磁通量變化的關(guān)系推算索力。Yan等[17]應(yīng)用數(shù)字圖像相關(guān)技術(shù)計(jì)算拉索的模態(tài)和頻率，進(jìn)而計(jì)算索力。

由于靜力法或者磁通量法需要對待測目標(biāo)進(jìn)行提前標(biāo)定或者需要在結(jié)構(gòu)建成前進(jìn)行儀器安裝，同時(shí)需要考慮環(huán)境因素變化對識(shí)別結(jié)果的復(fù)雜影響，因此其局限較大，且對既有結(jié)構(gòu)并不適用[18]。而基于圖像處理的方法需要在天氣狀況以及光線條件較為適宜的情況下才能較為有效。因此實(shí)際工程中仍以簡單的頻率法為主要的索力測量方法。然而在應(yīng)用頻率法識(shí)別吊桿軸力時(shí)需要事先給定其抗彎剛度值，而吊桿越短其抗彎剛度越難以準(zhǔn)確計(jì)算。事實(shí)上，若吊桿內(nèi)鋼絲間完全分離，其抗彎剛度最小，為各鋼絲抗彎剛度之和EImin；若鋼絲間完全黏結(jié)形成整體，其抗彎剛度最大，為按照實(shí)心桿件整體截面換算的抗彎剛度EImax。實(shí)際桿件的抗彎剛度值通常介于EImin與EImax之間。對此學(xué)者們做了大量研究，Geier等[19]認(rèn)為實(shí)際抗彎剛度值是EImax的2/3；Mehrabi等[20]經(jīng)過研究指出拉索抗彎剛度值應(yīng)為EImax的60%～80%。Chen等[21-22]對不同規(guī)格鋼絞線(GalfanΦ38，Φ48)、半平行鋼絲束(19、37、109、163Φ5；37、55、61Φ7)和鋼絞線束(27、31、37Φ15.24)進(jìn)行試驗(yàn)，采用拉索兩端簡支方案，將拉索作為圓柱鋼梁試件在跨中施加集中荷載，通過位移計(jì)算抗彎剛度，發(fā)現(xiàn)Papailiou[23]的拉索彎曲理論可以有效地?cái)M合Φ7半平行鋼絲束的有效剛度計(jì)算公式。蘇成等[24]通過分析崖門大橋斜拉索索力實(shí)測數(shù)據(jù)，研究了斜拉索抗彎剛度、支座條件、斜度等對索力識(shí)別的影響，結(jié)果表明橋索實(shí)際抗彎剛度應(yīng)為鋼絲束完全黏結(jié)時(shí)抗彎剛度的0.37倍，但該結(jié)果只為經(jīng)驗(yàn)值，并不適用于所有橋索。謝曉峰[25]通過最小化索的自振頻率實(shí)測值與計(jì)算值之間的誤差來識(shí)別抗彎剛度，以鄭州黃河公鐵橋和廣東崖門大橋拉索為例進(jìn)行抗彎剛度識(shí)別，所得拉索的抗彎剛度值為(0.3～0.4)EImax。Zhang等[26]經(jīng)過理論推導(dǎo)得到了索的等效抗彎剛度表達(dá)式，表明等效抗彎剛度介于最小與最大抗彎剛度之間；除此之外還得出索的頻率受抗彎剛度的影響，且索長越短，影響越大的結(jié)論。孟少平等[27]通過兩階低階頻率的線性組合給出吊桿軸力的表達(dá)式，間接地回避了抗彎剛度和邊界條件的不確定性影響，通過馬鞍山采東橋76根吊桿的實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證了所提出的方法，但同時(shí)也指出短吊桿的軸力測量在實(shí)踐中仍然是個(gè)難題。由此可見，桿件抗彎剛度的不確定性對于桿件軸力識(shí)別精度影響較大。

本文在袁永強(qiáng)等和李東升等的研究基礎(chǔ)之上，通過對經(jīng)典Tiomoshenko梁動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行進(jìn)一步理論推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)在已知模態(tài)信息情況下，桿件軸力與抗彎剛度間存在近似的線性關(guān)系。提出了利用此線性關(guān)系同時(shí)識(shí)別桿件軸力和抗彎剛度的方法。對一簡支梁進(jìn)行了數(shù)值模擬并開展了三種不同截面桿件在復(fù)雜邊界約束條件下的軸力試驗(yàn)。模擬和試驗(yàn)結(jié)果都反映出本文方法具有較高的軸力識(shí)別精度，驗(yàn)證了此方法的有效性。

這種改進(jìn)方法的優(yōu)點(diǎn)在于可以不必事先給定原Tiomoshenko梁理論軸力識(shí)別方法中的理論桿件抗彎剛度值，而通過實(shí)際測量數(shù)據(jù)獲得真實(shí)的軸力和抗彎剛度。這樣，由于識(shí)別的抗彎剛度比理論設(shè)計(jì)值更接近于真實(shí)情況，使識(shí)別的軸力也更準(zhǔn)確；另一方面，實(shí)際結(jié)構(gòu)中很多拉索會(huì)在端部安裝減震阻尼器，或者端部連接部分存在銹蝕，使真實(shí)剛度值很難準(zhǔn)確給定。因此，上述方法具有非常重要的實(shí)用價(jià)值。

1 理論推導(dǎo)

1.1 利用經(jīng)典Timoshenko梁理論的軸力識(shí)別方法

為了下文推導(dǎo)方便，首先簡要介紹基于經(jīng)典Timoshenko梁理論的軸力識(shí)別方法，然后在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)桿件軸力和抗彎剛度的關(guān)系。

經(jīng)典Timoshenko梁理論在考慮剪切變形、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，軸力共同作用下的動(dòng)力方程為

(1)

式中：w為t時(shí)刻桿件坐標(biāo)為x時(shí)的橫向位移；T為桿件軸力，受拉時(shí)為正，受壓時(shí)為負(fù)；ρ為材料的密度；E，G分別為材料的彈性模量和剪切模量；A為截面面積；I為幾何慣性矩；Ky為截面剪切形狀系數(shù)，矩形截面時(shí)為2/3；圓形截面時(shí)為3/4；空心圓桿時(shí)為1/2；空心方管時(shí)為總截面積與腹板面積之比。

采用分離變量法求解式(1)，假定橫向位移方程為

w(x,t)=φ(x)sin(wt)

(2)

將式(2)代入式(1)可得

(3)

其中，

φ(x)=C1sin(px)+C2cos(px)+
C3sinh(qx)+C4cosh(qx)

(4)

其中，

式(4)即為Timoshenko梁在一定軸力下的振型表達(dá)式。在該式中有4個(gè)待定參數(shù)C1，C2，C3，C4尚需要4個(gè)獨(dú)立的等式方能確定。事實(shí)上，對于某一振型，可以通過沿梁5點(diǎn)(例如：x1,x2,x3,x4,x5)處的位移得到4個(gè)獨(dú)立的位移比值λij(i=2，…，5,j=1)如下

(5)

對式(5)變換后可得到關(guān)于4個(gè)待定參數(shù)C1，C2，C3，C4的聯(lián)立方程

(6)

式中，[S]的具體表達(dá)式如下

式(6)中，C1，C2，C3，C4作為邊界約束條件必有非零解，故方程組系數(shù)矩陣的行列式為0，即|S|=0，從而可以確定軸力T的數(shù)值。

1.2 桿件軸力和抗彎剛度的關(guān)系

1.1節(jié)中，軸力識(shí)別時(shí)需要構(gòu)件的抗彎剛度EI為已知參數(shù)，而事實(shí)上如引言中所論述的，吊桿或者拉索由于受力或者制造工藝等原因其內(nèi)部鋼絲的分離和粘接程度多有不同，致使其實(shí)際抗彎剛度與理論值有很大的出入，實(shí)際抗彎剛度一般為理論抗彎剛度EImax的 30%～70%。

因此，在軸力識(shí)別過程中如果給定的理論抗彎剛度值與實(shí)際抗彎剛度值偏差較大，則會(huì)造成識(shí)別軸力值偏離真實(shí)值。事實(shí)上，如第2章數(shù)值模擬軸力識(shí)別結(jié)果所示，如果給定抗彎剛度在理論抗彎剛度EImax的30%～70%變動(dòng)，則軸力識(shí)別結(jié)果誤差將高達(dá)20%。因此希望通過式(3)將軸力T和抗彎剛度EI同時(shí)作為未知量進(jìn)行識(shí)別，提高軸力識(shí)別的精度。

為此，對式(3)進(jìn)行變換后可以得到

(7)

式中：將軸力T和抗彎剛度EI作為未知量，材料的密度ρ、截面面積A、截面剪切形狀系數(shù)Ky、截面幾何慣性矩I、材料泊松比μ以及模態(tài)信息(φ,ω)作為已知量，可以看出軸力T和抗彎剛度EI存在一定的線性關(guān)系。

關(guān)于式(7)的討論：

(2)分母中截面慣性矩I使式(7)中軸力與抗彎剛度EI在表現(xiàn)形式上不是單純的線性關(guān)系。然而，后續(xù)的研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)截面慣性矩I取不同數(shù)值時(shí)，對最終軸力和抗彎剛度識(shí)別結(jié)果的影響有限。因此，該式并不會(huì)因?yàn)樵趯?shí)際工程中最初給定值是Imax，Imin或是I的最初設(shè)計(jì)值的不同而大幅增加軸力T和抗彎剛度EI。

(3)實(shí)際工程應(yīng)用中，可以將式(7)看成軸力T和抗彎剛度EI是關(guān)于其振型等信息的近似一次函數(shù)。

因此根據(jù)式(7)，通過測量前幾階振型，可以構(gòu)造多個(gè)抗彎剛度-軸力的線性關(guān)系。多個(gè)線性關(guān)系必然交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為該桿件在當(dāng)前工作狀態(tài)下的實(shí)際軸力T和抗彎剛度EI。

通過這種方式，可以不必事先給定原Tiomoshenko梁理論軸力識(shí)別方法中的理論桿件抗彎剛度值，而是通過實(shí)際測量數(shù)據(jù)獲得真實(shí)的抗彎剛度和軸力。這樣，由于識(shí)別的抗彎剛度比理論設(shè)計(jì)值更接近于真實(shí)情況，使識(shí)別的軸力也更準(zhǔn)確。

2 數(shù)值模擬

本章通過一個(gè)簡支梁的數(shù)值模擬實(shí)例驗(yàn)證1.2節(jié)推導(dǎo)的理論式(7)。利用ANSYS軟件建立一個(gè)實(shí)心圓桿簡支梁模型，具體參數(shù)如下：簡支梁長600 mm，直徑14 mm，密度7 930 kg/m3，截面慣性矩1.886×10-9m4，彈性模量為1.93×1011N/m2，泊松比為0.3。實(shí)心圓桿的理論抗彎剛度為363.95 N·m2。

2.1 桿件軸力和抗彎剛度的關(guān)系

桿件動(dòng)力測試模擬圖如圖1所示。圖1中：C1～C4為邊界約束條件未知參數(shù)；S1～S5為提取振型值的位置。模擬該圓形桿件在軸向拉力為20 kN時(shí)的橫向振動(dòng)，通過模態(tài)分析提取該桿件的前三階振型和自振頻率，并提取梁上S1～S5共5個(gè)點(diǎn)的振型值。結(jié)果見表1。依據(jù)式(5)將其中一個(gè)振型值作為基準(zhǔn)值，可以得到4個(gè)與基準(zhǔn)振型值相比的比值。

表1 各階模態(tài)下不同位置位移值

依據(jù)文中1.2節(jié)所述方法在抗彎剛度300～440 N·m2區(qū)間中選取多個(gè)不同的抗彎剛度值，根據(jù)表1的數(shù)據(jù)和式(6)可以得到前三階模態(tài)下各階模態(tài)在預(yù)設(shè)不同抗彎剛度值時(shí)所對應(yīng)的軸力。由表2可以看出，隨著抗彎剛度等量增加，軸力近似等量減少，且模態(tài)階數(shù)越高軸力減少的幅度越大。

表2 前三階模態(tài)軸力-抗彎剛度值

應(yīng)用MATLAB對每階模態(tài)下的8組抗彎剛度-軸力值進(jìn)行擬合，擬合方法為polynomial，可以得到各階模態(tài)下軸力與抗彎剛度的線性關(guān)系。通過圖像和擬合結(jié)果可以看出線性關(guān)系符合得很好。驗(yàn)證了1.2節(jié)中的式(7)。

將3個(gè)線性關(guān)系圖像繪制在一起(見圖2)。圖2中：實(shí)線為一階模態(tài)下擬合結(jié)果；虛線為二階模態(tài)下擬合結(jié)果；點(diǎn)線為三階模態(tài)下擬合結(jié)果。3個(gè)線性關(guān)系圖像幾乎交于一點(diǎn)Q，任取其中兩階模態(tài)下的線性關(guān)系可以求解Q的坐標(biāo)值，即可同時(shí)識(shí)別該桿件的軸力和抗彎剛度。

2.2 利用不同模態(tài)信息對桿件軸力和抗彎剛度的同時(shí)識(shí)別

下面取不同的模態(tài)組合進(jìn)行軸力和抗彎剛度的同時(shí)識(shí)別。首先取一階、二階模態(tài)時(shí)的函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，所識(shí)別得到的軸力和抗彎剛度分別為20 103 N和363.50 N·m2，識(shí)別誤差分別0.52%和0.43%。若取一階、三階模態(tài)，則所識(shí)別得到的軸力和抗彎剛度分別為20 118 N和364.98 N· m2，識(shí)別誤差分別0.59%和0.28%。若取二階、三階模態(tài)，則所識(shí)別得到的軸力和抗彎剛度分別為20 195 N和364.66 N· m2，識(shí)別誤差分別0.97%和0.20%。可以看出，不論取哪兩階模態(tài)信息，所識(shí)別的軸力和抗彎剛度誤差都較小，均在1%以下，說明式(7)識(shí)別精度很高。

2.3 不同參數(shù)下的軸力和抗彎剛度識(shí)別結(jié)果比較

本節(jié)通過數(shù)值模擬，研究不同長度、不同軸力和不同截面慣性矩對軸力和抗彎剛度識(shí)別結(jié)果的影響。研究內(nèi)容分為三種工況：①圓桿軸力和慣性矩為固定值，分別為20 kN和1.886×10-9m4，長度分別為1.2 m，2.4 m，3.6 m；②圓桿長度和慣性矩為固定值，分別為0.6 m和1.886×10-9m4，軸力分別為10 kN，15 kN，30 kN；③圓桿長度和軸力為固定值，分別為0.6 m，20 kN，慣性矩分別為1.600×10-9m4，1.800×10-9m4，2.000×10-9m4。

三種工況下，選取一階、二階模態(tài)識(shí)別軸力與抗彎剛度。通過模擬識(shí)別結(jié)果(見表3)可以看出：桿件長度越長，軸力和抗彎剛度識(shí)別精度越高。桿件承受軸力不同，初始慣性矩若不為理論慣性矩，會(huì)改變最終軸力識(shí)別結(jié)果，但變化很小。三種工況下，本文方法對軸力和抗彎剛度都有很好的識(shí)別精度，識(shí)別誤差均小于1%。

表3 不同工況下軸力和抗彎剛度識(shí)別

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

選取三種不同截面桿件進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)，沿桿件均勻布置5個(gè)壓電加速度傳感器(靈敏度100 mV/g，質(zhì)量為1.5 g)，見圖3。試驗(yàn)時(shí)預(yù)設(shè)拉應(yīng)力從0～30 kN逐級(jí)控制加載。動(dòng)態(tài)激勵(lì)采用單點(diǎn)錘擊的方式，測試采樣頻率為2 500 Hz。數(shù)采和模態(tài)分析軟件采用的是LMS Test.Lab，模態(tài)分析方法為Polymax法。三種截面桿件參數(shù)如下：①實(shí)心圓桿，長為600 mm，直徑14 mm，密度 7 939 kg/m3，彈性模量1.500×1011N/m2；②空心圓桿，長度600 mm，直徑19 mm，壁厚4 mm，密度8 037 kg/m3；彈性模量1.795×1011N/m2；③空心方桿，長為600 mm，截面為40 mm×15 mm，壁厚1.5 mm，密度8 071 kg/m3；彈性模量1.455×1011N/m2；泊松比取0.3。

3.2 軸力及抗彎剛度的識(shí)別

3.2.1 抗彎剛度與軸力初值選擇

利用式(7)進(jìn)行軸力識(shí)別時(shí)，需要預(yù)先設(shè)置抗彎剛度的選取范圍。同時(shí)，利用式(6) 計(jì)算每一個(gè)抗彎剛度對應(yīng)的軸力是一個(gè)試算的過程，需要設(shè)置試算的軸力范圍，范圍越小識(shí)別效率越高。而實(shí)際邊界約束條件往往介于固支和鉸支之間，可以將鉸支、固支條件下的軸力和抗彎剛度作為預(yù)設(shè)的識(shí)別范圍，以提高計(jì)算效率和識(shí)別精度。

3.2.2 抗彎剛度與軸力初值選擇

以三種不同截面桿件在15 kN的軸向拉力下識(shí)別軸力和抗彎剛度為例。首先通過3.2.1節(jié)公式選取每個(gè)桿件的抗彎剛度和軸力的范圍值。其次在抗彎剛度范圍值中任取多個(gè)抗彎剛度，通過式(6)得到一階、二階模態(tài)下每個(gè)抗彎剛度對應(yīng)的軸力(見表4)。通過表中選取范圍值可以看出，桿件試驗(yàn)時(shí)邊界約束條件介于固鉸之間且十分接近于兩端固支。通過式(7)的關(guān)系分別得到前二階模態(tài)下兩個(gè)僅含有軸力和抗彎剛度的線性關(guān)系。最后通過求解兩個(gè)線性關(guān)系的交點(diǎn)識(shí)別三種不同截面桿件的真實(shí)軸力和抗彎剛度，識(shí)別結(jié)果見圖4。圖4中：實(shí)線為一階模態(tài)下軸力與抗彎剛度線性關(guān)系；虛線為二階模態(tài)下軸力與抗彎剛度線性關(guān)系；兩個(gè)線性關(guān)系交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為識(shí)別的軸力和抗彎剛度。

表4 前二階模態(tài)下不同截面桿件軸力-抗彎剛度值

3.2.3 不同軸力下不同截面桿件識(shí)別

本節(jié)對三種截面桿件分別在軸力10 kN，20 kN，30 kN的作用下進(jìn)行軸力和抗彎剛度識(shí)別，識(shí)別結(jié)果見表5?？梢钥闯鰧?shí)心圓桿整體軸力識(shí)別誤差小于4%，抗彎剛度識(shí)別誤差小于3%?？招膱A桿整體軸力識(shí)別誤差小于2%，抗彎剛度識(shí)別誤差小于1%?？招姆綏U整體軸力識(shí)別誤差小于4%，抗彎剛度識(shí)別誤差小于2%。綜合分析，本文方法對三種截面桿件都有很好的識(shí)別精度?？招臈U件整體識(shí)別精度略高于實(shí)心桿件，且空心圓桿在三種截面桿件中識(shí)別精度最高。該試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文提出的軸力和抗彎剛度識(shí)別方法在未知邊界約束條件下具有良好的適用性。

表5 不同軸力下不同截面桿件軸力和抗彎剛度識(shí)別

4 方法對比

第3章對桿件進(jìn)行軸力識(shí)別時(shí)，三種桿件試驗(yàn)時(shí)的邊界條件介于兩端鉸支和兩端固支之間，并且十分接近于兩端固支。為了研究本文方法的計(jì)算效果，對三種不同截面桿件在軸向拉力為15 kN時(shí)，分別用本文方法以及其余三種常用方法進(jìn)行軸力識(shí)別，并對識(shí)別結(jié)果進(jìn)行對比。具體方法為：

方法一頻率法。需要已知兩端固支邊界約束條件，桿件一階頻率，抗彎剛度。具體識(shí)別公式為

(8)

式中：f為桿件的一階頻率；m為桿件質(zhì)量；l為桿件長度；T為桿件桿件軸力；EI為桿件抗彎剛度。

方法二能量法。需要已知兩端固支邊界約束條件，桿件一階、二階自振頻率。具體識(shí)別公式為

(9)

方法三改進(jìn)動(dòng)力法。需要已知桿件一階頻率，一階振型5個(gè)位置位移值，抗彎剛度。具體見式(6)。

方法四本文所述方法。需要已知桿件一階、二階頻率；一階、二階振型下每階振型5個(gè)位置位移值。具體為式(7)。

通過對比結(jié)果(見表6)可以看出，邊界約束條件的不確定使頻率法和能量法的軸力識(shí)別精度較低，而頻率法對于空心圓桿和空心方桿軸力識(shí)別不再適用。與頻率法與能量法相比，本文所述方法對三種不同截面桿件軸力識(shí)別都有很高的精度。與改進(jìn)動(dòng)力法相比，本文方法可以在未知抗彎剛度條件下進(jìn)行軸力識(shí)別且精度不會(huì)降低。

表6 不同方法軸力識(shí)別對比結(jié)果

5 結(jié) 論

(1)本文利用經(jīng)典Timoshenko梁理論的動(dòng)力方程，通過理論推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)桿件的軸力與剛度關(guān)于其模態(tài)信息存在線性關(guān)系。利用此線性關(guān)系提出了一種利用多階模態(tài)信息的桿件剛度和軸力識(shí)別方法。

(2)通過簡支梁的數(shù)值模擬和三種不同截面桿件在不同工況下的軸力試驗(yàn)表明，本文提出的方法都有較高的識(shí)別精度，驗(yàn)證了本文方法的有效性。

傳統(tǒng)的Euler梁未能考慮復(fù)雜邊界中的剪切效應(yīng)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的動(dòng)力影響，本文方法采用Timoshenko梁理論計(jì)及這些影響，能夠提高短吊桿或短索在未知抗彎剛度條件下的軸力識(shí)別精度，對于短吊桿/拉索等剪切效應(yīng)影響較大的構(gòu)件，具有較高的工程應(yīng)用價(jià)值。