基于課程思政的高等代數(shù)教學研究①

張俊忠， 韋維

1.貴州師范學院 數(shù)學與大數(shù)據(jù)學院， 貴陽 550018； 2.貴州師范學院， 貴陽 550018

2017年9月， 中共中央辦公廳、 國務院辦公廳印發(fā)《關于深化教育體制機制改革的意見》， 要求全面落實立德樹人根本任務， 實施全員育人、 全過程育人、 全方位育人的措施， 全面發(fā)揮所有課程隱含的德育資源． 2017年12月， 教育部印發(fā)《高校思想政治工作質量提升工程實施綱要》， 明確提出要實施以“課程思政”為目標的教育教學改革， 收集和整理全部專業(yè)課程蘊藏的思政元素和承載的思政功能， 滲透在教育教學各環(huán)節(jié)． 高等代數(shù)是理工科各專業(yè)的必修課程， 以其中“消元法”為例， 探索基于課程思政的教學設計， 落實知識教育與思政教育的協(xié)調統(tǒng)一．

1 課程思政的內涵

課程思政就是將思政教育滲透在所有學科體系、 專業(yè)體系和管理體系中， 以知識教育為載體， 培養(yǎng)學生的德性素養(yǎng)， 指導學生將個人緊密聯(lián)系社會， 是實現(xiàn)高校立德樹人的重要途徑． 課程思政是一種教育理念， 有助于激發(fā)學生為國家學習、 為民族學習的興趣， 能夠促進學生通過創(chuàng)造社會價值認清個人價值， 進而推動學生養(yǎng)成正確的世界觀、 人生觀和價值觀． 課程思政核心在于保證思政課程與非思政課程同向同行， 在加強思政課是思政教育主陣地的基礎上， 也賦予非思政課承擔政治覺悟和價值引領的責任， 提升各專業(yè)課程的育人效果， 形成最大育人合力[1]． 根據(jù)課程特點， 將中國特色社會主義、 辯證唯物主義和中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化等融入專業(yè)課程教學中， 堅定共產主義信念， 弘揚社會主義核心價值觀， 堅決擁護中國共產黨的領導， 堅持中國特色社會主義道路自信、 理論自信、 制度自信和文化自信．

2 開展課程思政的原則

2.1 堅持全面貫徹黨的教育方針

全面貫徹黨的教育方針是實施課程思政的首要原則． 習近平總書記在全國教育大會上多次強調： 教育的首要問題是培養(yǎng)什么人． 在不同國家和不同時代， 培養(yǎng)什么人有不同的回答． 雖然這些回答中有共同點， 如共同人性、 共同時代性等， 但是對于具體國家， 又有特殊的方面． 即使在一個國家的不同發(fā)展時期， 也有相應的特征． 培養(yǎng)社會主義建設者和接班人， 是中國特色社會主義教育的一貫目的． 對于新時代而言， 社會主義建設者和接班人不僅要德智體美勞全面發(fā)展， 而且還應成為擔當中華民族偉大復興的時代新人．

2.2 堅持強化師德師風建設

師德師風建設是實施課程思政的關鍵因素． 要確保思政教育由“專人”向“全員”的順利轉變， 必須依靠優(yōu)質的課程思政教師資源． 教師要帶頭踐行社會主義核心價值觀， 堅持知識教育與思政教育同頻共振， 提高自我控制和選擇能力． 教師必須具有崇高的共產主義信念， 堅決擁護中國共產黨的領導， 堅定履行教書育人的初心使命， 努力培養(yǎng)更多的社會主義建設者和接班人．

3 在高等代數(shù)中的教學實踐

選擇張禾瑞和郝鈵新編寫、 高等教育出版社出版的《高等代數(shù)》第五版教材， 以其中第四章“線性方程組”第一節(jié)“消元法”為例， 展示基于課程思政的教學設計[2]．

3.1 情境引入

請學生回答前面一章學習的克拉默規(guī)則．

一個含有n個未知量n個方程的線性方程組

當它的系數(shù)行列式D≠0時， 有且僅有一個解：

其中Dj是把行列式D的第j列的元素換以方程組的常數(shù)項而得到的n階行列式．

再請學生回答克拉默規(guī)則是否能夠解所有的線性方程組？

顯然有兩類線性方程組不能使用克拉默規(guī)則：

第1類 當方程組的系數(shù)行列式D=0時．

第2類 給定一個含有n個未知量m個方程的線性方程組， 當m與n不相等時[3]．

為了能夠掌握解所有線性方程組的方法， 必須要系統(tǒng)學習線性方程組理論． 高等代數(shù)這門學科是在問題驅動下產生的， 主要研究兩類問題： 一元n次方程的求解問題； 多元線性方程組的求解問題．

關于解一元n次方程的問題， 數(shù)學史上人們努力在研究方程的精確根， 即用有限次的加、 減、 乘、 除、 乘方、 開方運算表示求根公式． 很早人們會解一元一次方程， 而探究一元二次方程的求根公式則有悠久的歷史． 在古巴比倫泥版書和中國的《九章算術》中， 都記載了一些特殊一元二次方程解的問題． 而對于一般的一元二次方程， 在9世紀， 阿拉伯數(shù)學家花拉子米(約780-850)給出了求根公式． 在16世紀， 意大利數(shù)學家塔塔利亞(1499-1557)和卡爾丹(1501-1576)發(fā)現(xiàn)了一元三次方程的求根公式． 也在16世紀， 意大利數(shù)學家費拉里(1522-1565)求出了一元四次方程的求根公式． 直到19世紀， 挪威數(shù)學家阿貝爾(1802-1829)證明了一般的一元n(n>4)次方程沒有求根公式． 法國數(shù)學家伽羅瓦(1811-1832)推出了一元n(n>4)次方程有求根公式的充分必要條件， 從而一元n次方程的求根公式問題才得到徹底解決[4]． 為了解決求根公式問題， 伽羅瓦首先提出了群的概念， 開始研究群、 環(huán)和域等代數(shù)系統(tǒng)的結構， 從而高等代數(shù)的研究對象、 方法和內容更加廣泛， 推動了高等代數(shù)的發(fā)展進入近世代數(shù)階段． 由研究n元線性方程組的解， 產生了行列式、 矩陣的概念． 由研究線性方程組解的結構問題， 引出了n維向量， 又涉及向量的線性相關和線性無關問題． 由n維向量空間又抽象概括出線性空間的概念， 為了引入向量的長度和夾角， 構建了歐氏空間和酉空間等概念． 從多元線性方程組的求解問題出發(fā)， 衍生了代數(shù)學中一系列的新概念、 新方法和新思想．

3.2 建構新知

給定一個含有n個未知量m個方程的線性方程組

中學解此方程組采用的方法是消元法， 但是步驟多， 計算量大． 如果仍然使用消元法， 那么是否能夠用更少步驟和更小計算量解此方程組？德國數(shù)學家高斯(1777-1855)曾經研究了此類問題， 以一個具體的三元線性方程組為例， 他這樣解方程組：

例1解線性方程組

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

再將方程(4)乘以-2后， 與方程(5)交換位置， 得

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

上述這種解線性方程組的方法， 數(shù)學史上叫做高斯消元法， 顯然該方法比中學的算法要簡單， 減少了過程和運算量． 再整體觀察解法過程， 思考其中隱含何種變化規(guī)律？

通過全面認識， 發(fā)現(xiàn)高斯是將普通型線性方程組逐步變化為階梯型線性方程組， 從而順利解決問題．

高斯(1777-1855)， 世界著名數(shù)學家， 出生于德國的不倫瑞克， 畢業(yè)于哥廷根大學， 近代數(shù)學奠基者之一． 高斯消元法能夠很快捷解線性方程組， 體現(xiàn)了高斯高超的數(shù)學智慧， 其實中國的數(shù)學先哲們比高斯早1 700多年， 就能夠用更簡單的方法解線性方程組． 如公元1世紀影響中國數(shù)學輝煌發(fā)展一千多年的著作《九章算術》中， 介紹了多元一次方程組的具體解法， 是將系數(shù)和常數(shù)項用算籌擺成方陣[5]． 有這樣的問題： 今有上禾三秉， 中禾二秉， 下禾一秉， 實三十九斗； 上禾二秉， 中禾三秉， 下禾一秉， 實三十四斗； 上禾一秉， 中禾二秉， 下禾三秉， 實二十六斗． 問上、 中、 下禾實一秉各幾何？

如果用現(xiàn)代的數(shù)學方法， 將這樣解決：

設上禾、 中禾、 下禾各一秉的谷子斗數(shù)分別是x，y，z， 則需要解三元一次方程組

而中國古代的數(shù)學先哲們給出的解法是遍乘直除法(這里“除”是減， “直除”即連續(xù)相減)， 用算籌演算， 如圖1[6]．

圖1 算籌

第一步， 將第二行的數(shù)都乘以3， 不斷地減去第一行， 直到第二行的第一個數(shù)為0；

第二步， 將第三行的數(shù)都乘以3， 不斷地減去第一行， 直到第三行的第一個數(shù)為0；

第三步， 將第一行的數(shù)都乘以5， 不斷地減去第二行， 直到第一行的第二個數(shù)為0；

第四步， 將第三行的數(shù)都乘以5， 不斷地減去第二行， 直到第三行的第二個數(shù)為0；

第五步， 將第一行的數(shù)都乘以12， 不斷地減去第三行， 直到第一行的第三個數(shù)為0；

第六步， 將第二行的數(shù)都乘以36， 不斷地減去第三行， 直到第二行的第三個數(shù)為0．

比較遍乘直除法與高斯消元法， 發(fā)現(xiàn)有異曲同工之妙， 遍乘直除法沒有借助設未知量， 且比高斯消元法早1 700多年， 因此中華民族是充滿智慧的偉大民族．

有學生問： 為什么現(xiàn)在的《數(shù)學分析》和《高等代數(shù)》教材中很少有中國人的名字？

對于這個問題， 我們應該要有正確的認識． 人們根據(jù)數(shù)學的發(fā)展規(guī)律， 通常將數(shù)學的發(fā)展分為4個時期， 即數(shù)學的起源與早期發(fā)展時期(公元前6世紀前)、 初等數(shù)學時期(公元前6世紀—16世紀)、 近代數(shù)學時期(17世紀—19世紀中期)、 現(xiàn)代數(shù)學時期(19世紀中期—現(xiàn)在)． 現(xiàn)在大學本科階段學習的數(shù)學知識主要屬于近代數(shù)學時期人類建構的數(shù)學內容， 而近代數(shù)學時期在我國歷史上處于明朝末年至清朝末年的時期． 縱觀世界發(fā)展史， 中華民族歷史悠久， 創(chuàng)造了燦爛的人類文明， 中國在絕大部分時期在世界上處于領先位置， 中國四大發(fā)明有效推動了人類社會發(fā)展， 中國的都江堰和萬里長城體現(xiàn)了中華民族的無窮智慧， 趙爽弦圖(三國時期)、 祖率(南北朝時期)、 大衍求一術和楊輝三角(南宋時期)等展現(xiàn)了中國人的聰明才智， 促進了世界數(shù)學的發(fā)展． 清朝初期在世界上還是很強大的， 后來由于實行閉關鎖國政策， 清朝在世界上逐漸處于落后狀態(tài)， 因此在近代數(shù)學高速發(fā)展的時期， 中國為世界數(shù)學的發(fā)展貢獻很少， 這也是數(shù)學分析和高等代數(shù)教材中很少有中國人名字的主要原因． 新中國成立后， 涌現(xiàn)了一批世界上有影響的數(shù)學家， 如陳省身、 華羅庚、 陳景潤、 吳文俊、 丘成桐等， 推動了世界現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展． 特別是改革開放以來， 中國在物質文明和精神文明方面取得了雙豐收． 目前中國的GDP在世界上處于第二的位置， 很多世界經濟學家預測幾年后中國的GDP將在世界上穩(wěn)居第一． 同時中國的高鐵技術、 航空航天技術和通訊5G技術等已經在引領著世界．

不管是遍乘直除法， 還是高斯消元法， 對線性方程組里的方程總共只實行了3種變換．

定義1對線性方程組施行3種變換：

(a) 交換兩個方程的位置；

(b) 用一個不等于0的數(shù)乘以某一個方程；

(c) 用一個數(shù)乘以某一個方程后加到另一個方程．

這3種變換叫做線性方程組的初等變換．

由初等代數(shù)知識可以得到：

定理1初等變換把一個線性方程組變?yōu)橐粋€與它同解的線性方程組．

3.3 拓展認知

請同學們思考遍乘直除法沒有設未知量， 為什么可以解線性方程組？

因為線性方程組的解僅僅與方程組的系數(shù)和常數(shù)項有關， 與是否設未知量以及設怎樣的未知量沒有關系． 既然如此， 線性方程組中的系數(shù)和常數(shù)項才是方程組中最關鍵的信息[7]．

給定一個含有n個未知量m個方程的線性方程組

線性方程組的系數(shù)和常數(shù)項按照一定的秩序可以排成下表， 方程組的解完全由這些數(shù)決定：

定義2由st個數(shù)排成一個s行t列的表

叫做一個s行t列(或s×t)的矩陣，cij叫做這個矩陣的元素．

定義3給定一個含有n個未知量m個方程的線性方程組

顯然線性方程組的解完全由它的增廣矩陣決定． 用遍乘直除法和高斯消元法解線性方程組時， 對應的增廣矩陣也有變換．

定義4矩陣的行(列)初等變換指的是對一個矩陣施行的下列變換：

(a) 交換矩陣的兩行(列)；

(b) 用一個不等于0的數(shù)乘以矩陣的某一行(列)， 即用一個不等于0的數(shù)乘以矩陣的某一行(列)的每一個元素；

(c) 用某一數(shù)乘以矩陣的某一行(列)后加到另一行(列)， 即用某一數(shù)乘以矩陣的某一行(列)的每一個元素后加到另一行(列)的對應元素上．

由定義4可知， 對線性方程組實施一個初等變換， 實際上是對它的增廣矩陣實施一個對應的行初等變換， 化簡線性方程組相當于用行初等變換化簡它的增廣矩陣， 因此通過對增廣矩陣實施行初等變換， 可以解線性方程組， 而不必寫出未知量， 這也是遍乘直除法能夠解線性方程組的原因． 前面的兩個例子說明遍乘直除法和高斯消元法都是將對應的增廣矩陣變成了階梯型矩陣， 從而簡化了解方程組的過程． 那么任何矩陣通過初等變換能夠變成階梯型矩陣嗎？下面的定理解決了這個問題：

定理2設A是一個m行n列的矩陣

通過行初等變換和第一種列初等變換能把A化為以下形式：

進而化為以下形式：

這里r≥0，r≤m，r≤n， *表示矩陣的元素， 但不同位置上的*表示的元素未必相同．

定理2說明任何矩陣通過行初等變換和第一種列初等變換， 都能夠變?yōu)殡A梯型矩陣， 也給出了具體的計算方法． 因此解線性方程組， 只需要將對應的增廣矩陣實施行初等變換和第一種列初等變換， 就能夠快速地解方程組． 從前面的具體例子到定理2的產生過程， 體現(xiàn)了特殊與一般的思想， 即借鑒特殊探究一般， 根據(jù)一般指導特殊， 這是一種唯物辯證法思想[8]．

3.4 綜合應用

例2解線性方程組

(12)

解將方程組(12)的增廣矩陣作行初等變換， 變?yōu)?/p>

則方程組(12)與下列方程組(13)同解：

(13)

把x2，x4移到右邊， 作為自由未知量， 得到方程組(12)的一般解

4 結束語

基于課程思政的高等代數(shù)教學設計， 要根據(jù)課程特征和具體內容， 充分挖掘和利用隱含的思政素材[9]． 融入數(shù)學史， 培養(yǎng)學生的民族自豪感和時代責任感； 提煉蘊藏的哲學思想， 培養(yǎng)學生的辯證唯物主義思想； 展現(xiàn)高等代數(shù)的學科特點， 培養(yǎng)學生嚴謹務實的品質[10]． 潤物細無聲， 實現(xiàn)知識教育和思政教育的和諧統(tǒng)一．