從圖形運動變化的視角,引領《全等三角形》復習

2022-11-01 10:15:54孫傳銀

數學之友 2022年16期

孫傳銀

(南京市第二十七初級中學，江蘇南京，210000)

數學蘇科版教材八年級上冊第一章《全等三角形》教學，是初中圖形教學的重要內容，承接了七年級下冊學習的三角形的基礎知識內容，也為后面進一步學習其他多邊形及其他圖形相關知識奠定了重要的知識基礎，提供了學習模板和方法參考.本章的學習，無論是知識內容的學習，還是經驗和方法的學習，都具有承上啟下的重要意義.因此，除了帶領學生熟練掌握本章知識內容，完成既定教學目標任務之外，教師還應注重學習方法的指導和學習經驗的總結和積累.

為了及時做好學習的歸納和鞏固，在學習完《全等三角形的性質》以及《全等三角形的條件》中一般三角形全等的判定之后，筆者嘗試安排了一節階段性復習課，帶領學生從圖形運動變化的視角，在圖形的動態變化中，識別全等三角形，找出全等三角形的對應點、對應邊、對應角.經過一次或兩次平移、旋轉、翻折運動變化之后的圖形組合中學生在識別兩個全等三角形，并掌握動態變化中全等三角形的相關定理的運用和問題的解決方法.

1 復習教學的策略

1.1 以課程標準為根本依據

《義務教育數學課程標準》對于《全等三角形》相關內容的學習要求是：理解全等三角形的概念，能識別全等三角形中的對應邊、對應角；了解三角形的穩定性；掌握基本事實：兩邊及夾角分別相等的兩個三角形全等；掌握基本事實：兩角及夾邊分別相等的兩個三角形全等；證明定理：兩角分別相等，且其中一角的對邊相等的兩個三角形全等；掌握基本事實：三邊分別相等的兩個三角形全等.體會通過合情推理探索數學結論、運用演繹推理加以證明的過程，在多種形式的數學活動中，發展合情推理與演繹推理的能力.在畫圖、觀察、實驗、猜想、交流、說理等數學活動中，初步建立空間觀念，不斷發展推理能力.

蘇科版初中數學教材中，本章課程內容的設計思路是：在引導學生探索結論的過程中，把引導學生合情推理貫穿始終，以發展學生的合情推理能力；注重遵循小步驟、多層次的原則，由易到難、由淺入深地發展學生的演繹推理能力；注重合情推理、演繹推理以及與圖形的運動的有機結合，這利于學生更好地發展空間觀念.

1.2 從圖形運動變化的視角觀察圖形，引領單元整體復習

在本章內容的新課教學中，學生已掌握了研究幾何圖形的一些基本思路：概念—性質—判定—特例—應用.本節課是一節階段性復習課，筆者嘗試以圖形的運動為主軸，從圖形運動變化的視角，構建整體復習架構的教學設計.這不但有利于學生從學習內容、研究思路和研究方法上，統一認識全等三角形，而且有利于實現以全新的視角對全等三角形進行再認識，發展學生的空間觀念和幾何直觀.在結合圖形運動變換的基礎上，讓學生認識和分析圖形，對后期其它圖形內容的學習，以及對其它圖形相關學習方法的掌握，具有借鑒意義和示范性.

2 復習教學設計流程

活動1全等三角形的概念

通過活動1，復習全等三角形的概念：只要能夠重合的兩個三角形，就是全等三角形.是否全等，與擺放的位置、方向無關.活動1讓學生再次感受到，僅僅形狀相同，或者僅僅大小相同，都不是全等三角形.

活動2在圖形的動態變換中，識別全等三角形

師：請大家拿出課前準備好的兩個全等三角形，你能用它們拼出不同的圖形組合來嗎？在圖形經歷變換后，你能再指出其中的全等三角形，并準確說出全等三角形的對應頂點、對應邊、對應角嗎？

這個活動，是建立在活動1：認識全等三角形的基礎之上進行的，是對全等三角形對應點、對應邊、對應角認識的進一步提升.活動2，旨在讓學生結合近幾節課學習的經驗或自由發揮想象，動手拼出不同的組合方案，在活動中進一步感受：全等三角形在經歷平移、旋轉、翻折動態變換中的一種或幾種變換后仍然能夠互相重合，仍是全等三角形.通過這個活動，幫助學生動態地識別全等三角形，在運動變化中認識全等三角形，確定對應點、對應邊、對應角，為以后在具體情境中動態識別全等三角形及其對應元素打下基礎.

從課堂上學生的反饋來看，思考很積極，沒有了之前學習新課時的陌生感，非常踴躍，拼出了許多種圖形組合，并積極地展示給大家，也拼搭出了前幾節課堂中未曾出現過的一些圖形組合.

以下是學生們展示出的一部分圖例.

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

(7) (8)

(9)

在同學們親自動手操作，拼搭出全等三角形的組合后，筆者要求學生指出它們的對應點、對應邊、對應角，并在圖中用不同顏色標注對應邊、對應角，進一步鞏固、復習全等三角形的對應元素.同時，引導學生思考：每一組圖形中的2個全等三角形是通過怎樣的變換方式變成了這個圖形組合.這不僅讓學生能夠認識靜態的全等三角形，更能夠在動態變化中識別出全等三角形及對應元素.接著，引導學生將這些全等圖形組合按照變換的方式進行如下分類：

按平移變換得到的組合：(1).

按翻折變換得到的組合：(3)(7)(8)(9)，也可以說圖形整體具有軸對稱性.

按旋轉變換得到的組合：(2)(4)(5)(6).

而其中，(4)也可以看成既有旋轉變換，又有平移變換.

像這樣，從動態的圖形變換中識別全等三角形、識別對應元素，有利于學生后面進一步的深入學習.

活動3 全等三角形的性質定理及判定定理的運用

例1如圖，點A、B、C、D在一條直線上，EA∥FB，EC∥FD，EA=FB.

求證:AB=CD．

例1是在平移變換中識別全等三角形及對應元素，并運用AAS判定定理證明全等三角形，同時，運用全等三角形的性質定理，得出對應邊AC=BD，從而進一步可以說明其中對應的線段AB=CD.

例2如圖，在四邊形ADBC中，AD∥BC，AD=BC．

求證:AC∥BD．

在例2的教學中，應注重引導學生發現：圖例中的兩個三角形是經歷了旋轉變換拼合而成的，識別了旋轉變換就更便于識別全等三角形和進一步識別兩個三角形中的對應要素，從而輕松地確定證明三角形全等的判定方法，完成證明.

變式1如圖，點E、F在CD上，且CF=DE，AC∥BD,AE∥BF.

① 求證:△AEC≌△BFD.

② 你還能證得其他新的結論嗎？

在學生回答變式1前，可以適當對學生做一些引導.例如，該圖形與例2中的圖形是否有關？是在例2的基礎上作了怎樣的圖形運動？通過這樣的引導，可以幫助學生理解兩個全等三角形旋轉變換的實質，便于問題的解決.

變式2如圖，AB、CD相交于點E，且E是AB、CD的中點．

求證：① △AEC≌△BED.②AC∥DB．

這里也可以對學生做類似的引導，如變式2與變式1圖形是否有關聯？另外，因為這個圖形的特殊性，除了認為是在變式1基礎上繼續作平移之外，還可以認為這個圖形組合是怎樣運動變化而來的？

變式3點E、F在線段CD上，且CF=DE，∠B=∠A，AE∥BF，你能證明AC=BD嗎？

變式3的圖形，承襲了變式1的運動變化特點，繼續將一個三角形平移.

在例2及各變式訓練中，應注重引導學生發現：這幾組圖形都是先經歷了動態旋轉變換又經歷了不同程度的平移變換而生成的.能夠在動態中識別出全等三角形，便能較為輕松地找到兩個三角形的對應要素，便于后一步分析問題、解決問題.具體說明過程中，分別使用到了SAS、ASA、AAS、SSS等定理判定三角形全等，并進一步運用全等三角形的性質得出全等三角形的對應邊相等、對應角相等，進而還可以得出其它一些對應線段的關系.

例3如圖，BE=CD，∠1=∠2，則

(1)AB=AC嗎？為什么？

(2) 連接BC，圖中還有其他全等三角形嗎？請說明理由.

教學中首先應引導學生思考：這個圖形給我們怎樣的感覺？學生很快會聯想到軸對稱，很自然也就聯系到了前面說到的圖形的翻折變換，再聯系到前面我們分析過的圖形組合，這就在很大程度上幫助學生把這樣一個復雜的圖形分解成我們想找到的兩個三角形.

而這里的問題(1)，要證明結論AB=AC，應該首先分析AB、AC是哪兩個三角形的對應元素？可以證明哪兩個三角形全等？從而倒推證明三角形全等需要什么樣的條件.通過這樣倒序的分析，得出應由已知的∠1=∠2，得出它們的鄰補角也相等，即∠ADC和∠AEB相等.顯然，這里應注重引導，讓學生感受到兩個三角形所構成的圖形具有軸對稱性，也就是它們是翻折運動變化的結果.以此幫助學生在翻折變換的圖形中找到主體對象，便于從研究的圖形入手，發現解決問題的方法.

問題(2)中，連接BC后，所得圖形仍然具有軸對稱性.除了原來的圖形外，學生還可從中分解出其它的也具有軸對稱性的圖形組合，同樣能夠感受到一個三角形翻折變化后的更多不同組合，從而找到全等的三角形.

顯然，在問題的分析過程中，從圖形動態變化的視角，認識全等三角形的運動變化，熟悉圖形的運動變換后的不同組合，可以為我們之后進一步分析問題、解決問題帶來很大的幫助.這也可以為學生在以后更進一步、更深層次地研究圖形帶來幫助.

3 教學思考

本節課中，學生通過親身經歷的操作活動，感受運動變化，詳細分析并深刻認識到在平移、翻折、旋轉與全等運動變化之間的諸多內在邏輯關系，從而更準確地識別全等三角形的對應點、對應邊和對應角，而后運用全等三角形的性質定理和判定定理，建立邏輯體系，發展和提高合情推理與演繹推理的能力.

在平時的新課教學中，可以逐步引導和帶領學生不孤立地看待圖形，從一個個單獨的圖形中，分析出其中所包含的運動變化或者是多種圖形動態變換的組合，從圖形的平移、旋轉、翻折的動態變化的視角，把常見的圖形作一些分類，以帶領學生從更高層面認識這些圖形，找到圖形和圖形運動變化之間的聯系.