青少年編程和數(shù)學(xué)模型整合探究
——以Kitten源碼編輯器實(shí)現(xiàn)“一元二次方程求根器”為例

甘肅省武威市涼州區(qū)長(zhǎng)城鎮(zhèn)九年制學(xué)校 王建鵬

日常生活中我們常會(huì)聽到“模型”，如航模、車模等，一些能直觀看得見的模型，還有一類直觀上看不到的模型，如在做一些重復(fù)性或解決一類特定問(wèn)題時(shí)，用到的思想、方法等。日常生活中我們常會(huì)做一些重復(fù)性的工作或面對(duì)一類特定問(wèn)題，在完成這些工作或解決這類問(wèn)題時(shí)，都有一些固定的思路和方法。當(dāng)我們理清工作思路、掌握解決問(wèn)題的方法、確定主要影響因素后，通過(guò)建立模型并應(yīng)用模型就可以大大提升工作效率。在初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)中常會(huì)遇到一些數(shù)學(xué)模型，選擇一款合適的青少年編程語(yǔ)言可以把模型中用到的思路、方法、式子轉(zhuǎn)化為計(jì)算機(jī)中的程序指令，把直觀看不見的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為可視化、易操作的計(jì)算機(jī)程序。數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)性學(xué)科，有很多鮮活的數(shù)學(xué)模型實(shí)例為青少年編程提供了素材，編程和數(shù)學(xué)模型相整合將進(jìn)一步助力數(shù)學(xué)的發(fā)展。

一、青少年編程簡(jiǎn)介

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的高速發(fā)展，我們的生活中已經(jīng)出現(xiàn)了很多智能化、智慧化的人工智能科技產(chǎn)品，人工智能已成為引領(lǐng)未來(lái)科技的新領(lǐng)域，計(jì)算機(jī)編程則是人類的思維和智慧向人工智能傳遞的橋梁。青少年的認(rèn)知有限，計(jì)算機(jī)操作能力不強(qiáng)，對(duì)計(jì)算機(jī)編程缺乏基本的認(rèn)識(shí)，直接學(xué)習(xí)C++、Python等高級(jí)程序語(yǔ)言會(huì)使他們對(duì)編程失去興趣[1]。編程貓是一款專門針對(duì)4～16歲學(xué)齡兒童設(shè)計(jì)的編程套裝，其中的Kitten源碼編輯器中包含很多青少年看得懂的積木腳本和豐富的動(dòng)畫、聲音、背景等資源。編程界面和積木腳本是全中文的，初學(xué)者只需要會(huì)簡(jiǎn)單的鍵盤操作，能輸入字母、數(shù)字、漢字，用鼠標(biāo)能進(jìn)行單擊和雙擊。當(dāng)學(xué)習(xí)者做好編程準(zhǔn)備，明確編程意圖后，就可以很容易地用鼠標(biāo)拖拽積木腳本塊到腳本區(qū)搭建程序來(lái)實(shí)現(xiàn)編程的目的[2]。例如，要實(shí)現(xiàn)小車在公路上行駛的動(dòng)態(tài)效果，同時(shí)鍵盤上的A鍵、D鍵能分別控制小車的左右移動(dòng)。可以這樣來(lái)設(shè)計(jì)編程策略：讓小車靜止不動(dòng)，公路不停地向后移動(dòng)，人的視覺效果就是小車在不停地向前行駛。然后把這一策略翻譯成Kitten源碼編輯器能聽懂的語(yǔ)言，若把舞臺(tái)看成一個(gè)坐標(biāo)平面，在舞臺(tái)區(qū)添加公路和小車兩個(gè)角色，當(dāng)開始被點(diǎn)擊時(shí)，重復(fù)執(zhí)行公路的縱坐標(biāo)增加“-10”，橫坐標(biāo)不變，就可以實(shí)現(xiàn)公路在豎直方向向后移動(dòng)，人的視覺效果為小車向前行駛。若要改變小車行駛速度，只需要改變公路縱坐標(biāo)的增加值。要實(shí)現(xiàn)小車的左右移動(dòng)，則需要保持縱坐標(biāo)不變，使橫坐標(biāo)增加值為正數(shù)或負(fù)數(shù)就可以了。表1是實(shí)現(xiàn)上述效果的程序腳本。

表1 實(shí)現(xiàn)小車在公路上行駛的程序腳本

二、數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型是依托生產(chǎn)實(shí)踐中事物的內(nèi)在特性或數(shù)量關(guān)系，用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)式子、圖形等描述事物的客觀本質(zhì)，突出主要影響因素概括地或近似地表述出特性和數(shù)量關(guān)系的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型包括數(shù)學(xué)中的各種概念、各種公式和各種定理、推理及專題。因?yàn)樗鼈兌际怯涩F(xiàn)實(shí)世界的原型抽象出來(lái)的，從這意義上講，整個(gè)數(shù)學(xué)也可以說(shuō)是一門關(guān)于數(shù)學(xué)模型的科學(xué)。中學(xué)生接觸的都是一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，系統(tǒng)中各量之間的關(guān)系是不隨時(shí)間的變化而變化的靜態(tài)的數(shù)學(xué)模型，一般都用代數(shù)式、方程、圖形來(lái)表達(dá)。例如，在行程問(wèn)題中滿足：路程=速度×?xí)r間，n 邊形一共有條對(duì)角線，一元二次方程的求根公式等，這些都是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型可以很大，也可以很小，教師在教學(xué)中要善于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和整理學(xué)習(xí)中遇到的數(shù)學(xué)模型。

三、編程在數(shù)學(xué)模型中的應(yīng)用

在編程的過(guò)程中會(huì)涉及到很多數(shù)學(xué)方面的知識(shí)，要求學(xué)習(xí)者具備嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維，編程是一種數(shù)學(xué)能力的綜合展現(xiàn)和提升，編程和數(shù)學(xué)是密不可分的，它們有著非常相似的思維邏輯。數(shù)學(xué)知識(shí)是編程的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)模型為編程提供了素材，編程可以鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)，升華數(shù)學(xué)知識(shí)[2]。編程可以將數(shù)學(xué)模型從紙面上的式子、圖形轉(zhuǎn)化成生活中的一個(gè)個(gè)實(shí)例，將理論轉(zhuǎn)化成可見的程序演示效果，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的可視化，將數(shù)學(xué)從抽象的公式轉(zhuǎn)化成具體的實(shí)用工具，提高了運(yùn)算效率及實(shí)用性。在Kitten源碼編輯器編程平臺(tái)上，很多積木腳本包含數(shù)學(xué)知識(shí)，如角色的長(zhǎng)度、大小、旋轉(zhuǎn)角度、方向、移動(dòng)步數(shù)、畫圖等基礎(chǔ)要素，還有三角函數(shù)、乘方、開方等數(shù)學(xué)運(yùn)算知識(shí)。還有文字、語(yǔ)音的輸入、輸出、翻譯等交互積木腳本。青少年在創(chuàng)作過(guò)程中，需要數(shù)學(xué)知識(shí)的支持，無(wú)形中對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)也是一個(gè)鞏固和提升，實(shí)現(xiàn)了運(yùn)算過(guò)程的可視化。例如，在勾股定理數(shù)學(xué)模型中，直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，即：a2+b2=c2（其中a、b為兩條直角邊，c為斜邊），如圖1是用勾股定理解決這類實(shí)際問(wèn)題時(shí)，任何一個(gè)正方形的面積都可以分成兩個(gè)小正方形的面積之和。按照這個(gè)思路，在Kitten源碼編輯器編程平臺(tái)上創(chuàng)建一個(gè)如圖2所示的“勾股樹”函數(shù)模塊，參數(shù)為邊長(zhǎng)，用畫筆積木塊畫出一個(gè)正方形，然后用計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)中常用的遞歸方式畫出大正方形頂部左側(cè)和右側(cè)的小正方形，通過(guò)調(diào)整參數(shù)邊長(zhǎng)，就可以畫出如圖3中茂密程度不同的勾股樹。

圖1 勾股定理在求正方形面積中的應(yīng)用

圖2 繪制“勾股樹”函數(shù)模塊

圖3 茂密程度不同的勾股樹

四、編寫“一元二次方程求根器”實(shí)例

（一）準(zhǔn)備模型

初中數(shù)學(xué)中學(xué)到了一元二次方程，其一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)。若給a，b，c三個(gè)系數(shù)賦特定的實(shí)數(shù)值，那么一元二次方程也就隨之確定。 如，把 1，2，3 分別賦給 a，b，c，就會(huì)得到一元二次方程x2+2x+3=0。用公式法解一元二次方程時(shí)，先要用根的判別式Δ=b2-4ac，判斷一元二次方程根的情況，當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。當(dāng)方程有實(shí)數(shù)根時(shí)，就可以直接用求根公式求出方程的根。上面提到的一般形式、根的判別式及求根公式都是用代數(shù)式表示的數(shù)學(xué)模型，也為青少年編程提供了素材，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)該內(nèi)容的深度學(xué)習(xí)。為了能讓學(xué)生理解創(chuàng)作“一元二次方程求根器”背景和意義，錄制了一段微課，微課中講解了一元二次方程的一般形式、根的判別式、求根公式，保證學(xué)生先能認(rèn)識(shí)一元二次方程、明白根的判別式的作用。通過(guò)筆算會(huì)用求根公式求一元二次方程的根，并把微課放在了程序舞臺(tái)界面，使用程序前先看微課，基本掌握一元二次方程的相關(guān)知識(shí)。

（二）從模型中的字母到程序中的變量

用字母的加、減、乘、除、乘方及開方等運(yùn)算表示的式子稱為代數(shù)式，代數(shù)式中的字母在初中數(shù)學(xué)中通常用實(shí)數(shù)給其賦值。針對(duì)上面代數(shù)式數(shù)學(xué)模型中提到的a，b，c三個(gè)系數(shù)，在編程時(shí)分別新建三個(gè)數(shù)值變量，當(dāng)發(fā)出輸入系數(shù)指令后，通過(guò)Kitten源碼編輯器編程平臺(tái)中的“詢問(wèn)”和“獲得回答”兩個(gè)積木腳本可以實(shí)現(xiàn)給三個(gè)系數(shù)賦值，同時(shí)再新建Δ、x1、x2三個(gè)變量，用來(lái)分別存儲(chǔ)根的判別式的值和方程的根。在編程中新建變量的過(guò)程中，使學(xué)生體會(huì)到代數(shù)式的意義，感受到數(shù)學(xué)中字母、數(shù)字一般和特殊之間的關(guān)系，動(dòng)和靜之間的關(guān)系。

（三）從數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示的式子到程序語(yǔ)言表示的積木腳本

在程序中給三個(gè)系數(shù)分別賦值后，依托Δ=b2-4ac用運(yùn)算積木塊中的各種運(yùn)算關(guān)系給“Δ”賦值，積木腳本如圖4所示。新建一個(gè)“根的情況”數(shù)據(jù)列表，用來(lái)打印輸出結(jié)果。根的判別式是用來(lái)判斷一元二次方程根的情況，當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。此時(shí)要用到控制積木塊中的條件判斷語(yǔ)句“如果”腳本積木。這樣的“如果”條件語(yǔ)句要放置三層，在每一層“如果”條件語(yǔ)句中，分別把判斷的結(jié)果通過(guò)“根的情況”數(shù)據(jù)列表打印出來(lái)。若方程有根，通過(guò)運(yùn)算積木塊中的腳本積木，編寫出求根公式的程序腳本，并將值存儲(chǔ)到“？”中，再通過(guò)數(shù)據(jù)列表打印出來(lái)。如圖5所示為Δ＞0時(shí)，“如果”條件語(yǔ)句中的程序腳本。

圖4 根的判別式程序腳本

圖5 Δ＞0時(shí)，“如果”條件語(yǔ)句中的程序腳本

（四）驗(yàn)證程序

程序腳本編寫完成之后，點(diǎn)擊“講解視頻”按鈕，學(xué)生可以觀看一段微課，接著點(diǎn)擊“輸入系數(shù)”按鈕，程序會(huì)自動(dòng)提示依次輸入三個(gè)系數(shù)，得出一個(gè)一元二次方程，在“根的情況”列表會(huì)打印出經(jīng)過(guò)判斷根的情況和具體的根，同時(shí)會(huì)語(yǔ)音播報(bào)打印的內(nèi)容。若分別將1、4、-12賦值給三個(gè)系數(shù)，得到的一元二次方程為x2+4x-12=0，打印的內(nèi)容如圖6所示。“一元二次方程求根器”完整的編程策略如圖7所示。

圖6 輸入系數(shù)1、4、-12后，根的情況數(shù)據(jù)列表打印內(nèi)容

圖7 “一元二次方程求根器”編程策略

數(shù)學(xué)模型是經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)建模從實(shí)際生活中抽象出的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，在產(chǎn)生的過(guò)程中經(jīng)歷了高度提煉和歸納，是數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的產(chǎn)物，其舍棄影響很小的因素，比較簡(jiǎn)化、規(guī)范化、程序化，邏輯關(guān)系較強(qiáng)，很容易編寫為程序使其智能化。程序本身就源于0、1和建立的二進(jìn)制數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)抽象世界，編程是在這個(gè)抽象世界里解決抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，編程所用的一些算法常常應(yīng)用于數(shù)學(xué)模型問(wèn)題的解決，數(shù)學(xué)模型與編程有著相輔相成、互相促進(jìn)的關(guān)系。研究數(shù)學(xué)模型有利于鍛煉人的思維能力，對(duì)于編程是有利的，對(duì)于提高我們的編程水平，提高我們用計(jì)算機(jī)程序解決實(shí)際問(wèn)題的能力是大有益處的[3]。