初中數(shù)學(xué)幾何模型的教學(xué)誤區(qū)與解決路徑

鄭興民

（大田縣教師進(jìn)修學(xué)校，福建 三明 366100）

初中幾何模型是教師在長期的教學(xué)實(shí)踐中對具有一定相同特征的幾何圖形和問題的歸納，側(cè)重對某一解題方法、技巧的模仿和遷移運(yùn)用。由于初中的知識(shí)量有限，學(xué)生考試時(shí)遇到模型的可能性也較大。于是許多課堂設(shè)計(jì)常常以幾何模型為主要線索，網(wǎng)課、公開課也以歸納幾何模型為“高大上”課例。但對學(xué)習(xí)水平中等及偏下的學(xué)生，這種重模型的教學(xué)弊端明顯。

弊端一、舍本求末，影響數(shù)學(xué)原理的學(xué)習(xí)

教學(xué)重模型而輕原理，導(dǎo)致學(xué)生根基不牢，反過來影響學(xué)好模型。如初學(xué)三角形全等，教師就拋出三角形全等的“公共邊型”“公共角型”“8 字型”等模型，造成有的學(xué)生以“模型”判定全等，而不是依據(jù)概念和判定方法。

弊端二、模型泛化，影響學(xué)生學(xué)習(xí)的信心

“多、散、難、偏、繁”的模型泛化現(xiàn)象，造成幾何課程“廣而深”，加大了課程難度。學(xué)生總感覺有著學(xué)不完的模型，基礎(chǔ)較弱的學(xué)生更是感覺學(xué)好幾何無望，這也是數(shù)學(xué)成績嚴(yán)重兩極分化的原因之一。

弊端三、機(jī)械套用，影響分析思維的發(fā)展

初中學(xué)生對模型的學(xué)習(xí)偏向記憶，缺少內(nèi)化。解題時(shí)機(jī)械套用模型，反而影響學(xué)生對幾何問題分析方法和思維方法規(guī)律性的正確認(rèn)知。

客觀上，幾何教學(xué)中過于關(guān)注和強(qiáng)調(diào)模型，容易陷入“學(xué)幾何就是學(xué)模型”的教學(xué)誤區(qū)，偏離幾何學(xué)科培養(yǎng)學(xué)生空間觀念和推理能力的素養(yǎng)要求。理論上，幾何模型歸納應(yīng)用的是列舉的方法，而想做到完美而不遺漏的列舉是不可能的。因此，探索一種教學(xué)策略，揭示幾何問題的一般思維方法的規(guī)律性，有效幫助學(xué)生學(xué)好幾何，成為教師必須思考的問題。

數(shù)學(xué)教育家傅種孫曾言：“幾何之務(wù)不在知其然，而在知其所以然；不在知其然，而在知何由以知其所以然！”通俗地闡明了幾何教學(xué)的根本要求。

布魯納認(rèn)知結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：在人類智慧生長期間，有三種表征系統(tǒng)在起作用，這就是“動(dòng)作表征、肖像表征和符號表征”——即通過動(dòng)作或行動(dòng)、肖像或映像，以及各種符號來認(rèn)識(shí)事物。在初中階段，學(xué)習(xí)幾何通常是通過直觀感知、操作確認(rèn)、度量計(jì)算、思辨論證等方法研究幾何圖形的形狀、大小和位置關(guān)系的，那么幾何圖形就是影響學(xué)生個(gè)體對幾何認(rèn)知與獲得的肖像表征，研究方法就是動(dòng)作表征。

據(jù)此，筆者認(rèn)為，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形特征和性質(zhì)，掌握一般規(guī)律性的研究方法，才是符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的學(xué)習(xí)方法。在教學(xué)實(shí)踐中，通過分析基本圖形，融合基本方法，能夠較好地揭示幾何問題的分析思維方法的規(guī)律性，并有效克服重模型幾何教學(xué)的弊端，取得較好的教學(xué)實(shí)效。

一、認(rèn)識(shí)基本圖形，理解基本方法，探索教學(xué)策略

基本圖形主要是指在教材中承載闡釋數(shù)學(xué)概念、公理、定理及推論的最基本的典型圖形。其次，把具有特定位置關(guān)系、或者反映重要數(shù)學(xué)規(guī)律的關(guān)系圖形納入基本圖形范疇，如全等三角形的“軸對稱型”（折疊）“中心對稱型”“旋轉(zhuǎn)型”等；廣義上，也延伸至一些在探究幾何問題中產(chǎn)生的、體現(xiàn)幾何思維發(fā)展與升華的方法圖形，如解決典型問題“將軍飲馬”、表達(dá)圖形等量關(guān)系的“蝴蝶型”等。

初中幾何的基本方法在邏輯上主要是分析法和綜合法，即準(zhǔn)確運(yùn)用概念、公理、定理及推論，經(jīng)過一系列正確的計(jì)算推理，得出已知條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)聯(lián)。教學(xué)中也常常歸納一些常用技能基本方法，使學(xué)生形成經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)再遷移，提升解題水平，如“截長補(bǔ)短”“作平行線轉(zhuǎn)移比例”等；常常歸納解決某一類型問題的方向性基本方法，如“幾何計(jì)算有三寶，勾股相似和三角，還有面積不可少”等。

幾何問題是以圖形為研究對象的。研究可以發(fā)現(xiàn)，每個(gè)幾何問題的圖形幾乎都是由一個(gè)或若干個(gè)基本圖形構(gòu)成，而問題本身就是由基本圖形以及位置的轉(zhuǎn)換組合而成的新的信息，這樣解題過程就成為一個(gè)信息還原的過程。在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生分析并找到組成問題圖形的基本圖形，運(yùn)用基本圖形的性質(zhì)，再融合基本方法，就能夠較好地完成信息還原，找出解決問題的路徑。這種分析方法操作性較強(qiáng)，且有助于培養(yǎng)學(xué)生敏捷的思維和正確的判斷，并且能夠有效消除學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的畏懼心理，不失為一種解決長期困擾師生的幾何難教、難學(xué)的教學(xué)策略。

二、積累基本圖形，滲透基本方法，形成技能儲(chǔ)備

在日常教學(xué)中，教師首先要有意識(shí)強(qiáng)化基本圖形的概念；研究和討論每一個(gè)基本圖形的圖形特征、本質(zhì)屬性、生長點(diǎn)和延伸點(diǎn)；再進(jìn)一步探求每一個(gè)基本圖形的應(yīng)用條件和應(yīng)用方法，最終形成基本圖形的積累。如等腰三角形的概念及底角相等、“三線合一”等性質(zhì)；菱形、圓等圖形中的等腰三角形；線段的垂直平分線、一條線段繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)構(gòu)成的等腰三角形等。

其次，有意識(shí)強(qiáng)化基本方法的滲透，讓學(xué)生通過感受、體驗(yàn)、積累、反思、歸納，逐步掌握幾何問題分析方法的規(guī)律性。

例如，在解決幾何問題過程中，學(xué)生感覺最“難”最“神秘”的添加輔助線的方法，其基本規(guī)律可以用“對內(nèi)分割，對外補(bǔ)形”八個(gè)字來形容，即把問題圖形從內(nèi)部分割成基本圖形或者在外部補(bǔ)形完整呈現(xiàn)出基本圖形。添加的過程決定于學(xué)生的技能儲(chǔ)備。

例1.（典例）ΔABC 中，D 是AB 邊上一點(diǎn)∠A=45°，∠BDC=60°，AD=1，DB=2，求∠B 的度數(shù).

分析：根據(jù)已知條件和圖形特征，過點(diǎn)B 作CD 的垂線BE，得出含60°角的特殊RtΔBED，通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)DE=DA，于是再連接AE，又得出兩個(gè)等腰三角形和含45°角特殊RtΔBEC。顯然，輔助線的做法關(guān)鍵在于學(xué)生對直角三角形和等腰三角形關(guān)系的熟識(shí)程度。

例2.（2022 福建中考第24 題）已知△ABC≌△DEC，AB=AC，AB＞BC.

（1）如圖，CB 平分∠ACD，求證：四邊形ABDC 是菱形；

（3）如圖，將（1）中的△CDE 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC），若∠BAD=∠BCD，求∠ADB 的度數(shù).

分析：解決問題（3）的關(guān)鍵在于由∠BAD=∠BCD，以及CD=AB，可在AD 上取點(diǎn)M，使得AM=CB，連BM，將△ABD 分割成與△CDB 全等的△ABM 與等腰三角形△BMD。而輔助線的做法取決于學(xué)生對全等三角形關(guān)系圖形的積累。

三、分析基本圖形，融合基本方法，提高課堂“三效”

在日常教學(xué)中，通過分析尋找組成問題圖形中的一個(gè)或若干個(gè)基本圖形，再通過基本圖形的性質(zhì)來認(rèn)識(shí)問題圖形，往往可以找到解決問題的思路；反過來，根據(jù)問題的條件和結(jié)論，尋找問題圖形中隱藏的基本圖形，再利用這些基本圖形的性質(zhì)，也常?？梢园l(fā)現(xiàn)解決問題的途徑。在此過程中，因?yàn)槌浞帚暯訉W(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，更為契合學(xué)生的思維習(xí)慣，更易于使學(xué)生獲得成功的體驗(yàn)。

對基本圖形的分析運(yùn)用在中考試卷的解答題、尤其是壓軸題，常常能化繁為簡，幫助學(xué)生理出清晰思路。課堂上學(xué)生思維活躍，自信心增強(qiáng)，課堂的效果、效率、效益明顯提高。

例3.（2021 年福建省中考第24 題）如圖，在正方形ABCD 中，E、F 為AB 邊上的三等分點(diǎn)，連結(jié)DE，點(diǎn)A 關(guān)于DE 對稱點(diǎn)為A'，連結(jié)AA'，并延長交BC 于點(diǎn)G，連結(jié)A'F、A'C、A'B.

（1）求證：DE∥A'F；

（2）求∠GA'B 的度數(shù)；

（3）求證：A'C=2A'B.

分析：（1）由點(diǎn)A 和A'關(guān)于DE 對稱得出中點(diǎn)；由△AGF 的中位線證得平行。

（2）由∠GA'F=∠GBF=90°，四邊形A'FBG 是內(nèi)接于直徑為A'F 的圓；等腰直角三角形△FBG 中∠GFB=45°得出∠GA'B=45°。

（3）由△DAE≌△ABG 得AE=BG，進(jìn)而得到GC=2FB；如果能夠證明△A'FB∽△A'GC，就可以得出結(jié)論A'C=2A'B。進(jìn)一步通過設(shè)參計(jì)算可以得證。

例4.如圖，在矩形ABCD 中，AB=6，AD=4，點(diǎn)M 為AB 邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DM，過點(diǎn)M 作MN⊥MD，且MN=，連接DN.當(dāng)AM=4BM 時(shí)，求證：A、C、N 三點(diǎn)在同一條直線上.

這是筆者改編的一道模擬中考壓軸題，實(shí)測難度0.1，學(xué)生的表現(xiàn)令教師困惑。其實(shí)學(xué)生如果能從局部特征觀察出命題立意為“一線三垂直”（基本圖形），就不難畫出輔助線，問題就迎刃而解了。

四、溯源基本圖形，形成“母圖”策略，提升思維品質(zhì)

一個(gè)幾何問題常常是在一個(gè)具有某種特征和性質(zhì)的“基本圖形”上演繹而來的，在教學(xué)實(shí)踐中筆者把這個(gè)特殊的“基本圖形”稱為“母圖”。教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生追根溯源，用好“母圖”的特征和蘊(yùn)含的性質(zhì)，認(rèn)識(shí)問題本質(zhì)，找到解決問題的途徑，稱之為“母圖”策略。這實(shí)際上是分析基本圖形融合基本方法策略的遷移。如在前面的中考例題，它的母圖可以視作正方形內(nèi)部的十字垂直模型，易知ΔDAE≌ΔABG，進(jìn)而AE=BG，BG=，壓軸問題A'C=2A'B 的證明思路就躍然紙上了。

例5.在ΔABC 中，AD 是BC 邊上的高，∠BAC=45°，BD=2，CD=3，求AD 的長.

分析：這是一道經(jīng)典初中幾何題，只要抓住它是母圖“正方形”的一部分，通過“折疊”還原出母圖，即“對外補(bǔ)形”，再運(yùn)用勾股定理問題就迎刃而解了。

例6.定義：我們把圓心在△ABC的邊上，與△ABC的一邊相切，且經(jīng)過△ABC 的一個(gè)頂點(diǎn)（非切點(diǎn)）的圓叫做△ABC 的伴切圓.

已知在△ABC 中，AB＝AC＝10，BC＝12，⊙P 是△ABC 的伴切圓，且點(diǎn)P 在AC 上，求PC 的長。

分析：這種新概念學(xué)習(xí)型中考題，考查學(xué)生的知識(shí)遷移發(fā)展能力，讓很多學(xué)生感到“心虛”。教學(xué)中只要剖析產(chǎn)生新概念的“基本圖形”即“母圖”的特征，就可以幫助學(xué)生透過復(fù)雜的表象，理清解題思路。

本題只要抓住“母圖”——等腰△ABC 及高線：PC 的兩種情形通過比例關(guān)系即可求出。

學(xué)之道，在于悟；教之道，在于度。度，不僅是一個(gè)量的界限，更有“渡”的含義。教學(xué)中應(yīng)用基本圖形分析幾何問題的方法，不僅幫助學(xué)生鞏固基本原理，有效培養(yǎng)學(xué)生思維能力，而且有助于學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，因此，分析基本圖形，融合基本方法，將成為提升學(xué)生幾何解題能力的教學(xué)“主基調(diào)”。