面積測量視角下量感培養的整體規劃與策略探究

陳省江 童 森

（1.寧德師范學院數理學院，福建 寧德 352100；2.寧德師范學院附屬小學，福建 寧德 352100）

隨著《義務教育數學課程標準（2022 版）》（以下簡稱“課標”）的頒布，曾備受廣大小學數學教師關注的量感已正式作為核心素養寫入課標，它是“會用數學眼光觀察世界”的一個支撐點，其內涵、表現形式以及意義在課標有了統一界定。根據課標對量感的界定與描述，筆者認為可將量感分成兩個層次：一是經驗直觀感知，主要指真實情境下的一種直觀感知；二是抽象直觀感知，主要指能根據對象的特征與要素感知解決問題的切入點，是問題分析能力的一種體現，有助于形成良好的抽象意識和應用意識。在小學數學階段培養學生量感的目標指向非常明確，即學生多次經歷真實情境下的經驗直觀感知后升華至抽象直觀感知。［1］因此，如何逐步豐富學生的經驗直觀感知、如何將小學生從經驗直觀感知升華到抽象直觀感知從而實現量感養成，是值得深入研究的問題。

一、培養量感的知識載體分析

課標明確指出，核心素養的培養不是一蹴而就的，它是一個循序漸進的過程，同時需要以學科知識為載體。目前各類小學數學教材都有大量的教學素材、教學內容和教學活動來支撐經驗直觀感知這個層次的量感的培養，但對于抽象直觀感知這個層次的量感的培養的支撐點不多。根據課標對量感的概念界定，即量感主要指對事物的可測量屬性和大小關系的直觀感知。［2］筆者認為，培養量感的知識載體主要集中在圖形的測量這模塊，特別集中在面積測量這小模塊上。事實上，圖形的面積公式不僅本身就是小學數學的一個極其重要的知識點，而且在面積公式推導過程中，既含有大量的基本活動經驗又蘊含著轉化思想等基本數學思想，同時與符號意識、幾何直觀、推理意識等其他核心素養有緊密聯系。因此，在小學數學階段中，培養量感的主要知識載體可選用面積測量。

二、基于面積測量培養量感的整體規劃及階段培養策略

（一）整體規劃

在小學數學階段，涉及面積測量的圖形主要可歸納為兩類：一類是基本簡單圖形，即長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓，另一類是平面組合圖形；涉及面積測量的類型也可歸納為兩種：一種是單一運用“數方格法（即累加求和法）”“割補法”，或者“拼接法”這三個基本活動經驗來推導面積公式，它們是培養量感的孕育點；另一種是綜合運用已有的基本活動經驗和其他經驗直觀感知，結合轉化思想，發揮抽象意識，達到解決面積問題的目的，它們是培養量感的生長點。為此，本文制定了如下基于面積測量培養量感的整體規劃（圖1）。

圖1

（二）階段培養策略

第一階段：在探究長方形面積公式的教學中發展學生“累加求和”的經驗直觀感知，抽象出長方形的面積公式，促進量感的萌發。

根據學生的學情，學生在學習長方形的面積公式之前，已經有了“數方格求面積”的基本活動經驗，它是一種“逐一累加求和”的經驗直觀感知，但它還不足以抽象出一般的長方形的面積公式。因此，教師要精心設計問題、創設教學活動引導學生反思累加方式，將“逐一累加求和”的經驗直觀感知提升為“逐層累加求和”。

當學生有了逐層累加求和的經驗直觀感知，教師應順勢引導學生發現長方形的面積可表示為：

長方形的面積=每層的單位面積的個數×層數.

這里“層數”的出現也意味著學生開始發揮抽象意識來得到一般性結論。接著，教師只要再引導學生將長方形的長和寬與上面等式中的個數和層數對應起來，那么長方形的面積公式就是：

長方形的面積=長×寬.

上述“逐層累加求和”的經驗直觀感知具有重要的啟發性，因為從空間維度上看，它可以將一維空間的累加經驗遷移到二維空間，所以學生一旦具備這樣的量感，那么就可以將這種量感遷移到長方體體積公式的推導上來，即長方體的體積也是可以通過“逐層累加求和”得到。

由此可見，第一階段的設計確實能發展學生的經驗直觀感知，且是培養量感的孕育點。

定理1 給定脆弱性變換周期interval和入侵者攻擊單個脆弱性所需的時間周期τ(假定攻擊不同脆弱性所需的時間周期相同)，當脆弱性數量n=1時，入侵成功概率隨脆弱性變換空間大小|W|的持續增大而存在極限.

第二階段：在探究平行四邊形面積公式的教學中培養學生“割補法”經驗直觀感知，抽象出平行四邊形的面積公式，加速量感的孕育。

根據學生的學情，學生已初步具有在方格紙上計算某些特殊的不規則平面圖形的面積的活動經驗，對“割補”或“拼接”有初步的認識，但尚未形成為成熟的經驗直觀感知。

為此，教師可先設計教學活動，引導學生發現對平行四邊形進行適當“割補”可使之成為一個長方形。這種轉化思想對發展數學思維、提升解決問題能力有重要的影響，它能使學生找到解決問題的切入點和突破口。

接著，教師追問：“若把方格紙拿掉，如何直接在平行四邊形上進行割補使之成為長方形呢”，目的是引導學生直接利用平行四邊形的底邊和高線進行割補，同時發現平行四邊形與長方形之間的數量關系，進而推導出平行四邊形的面積公式。

在整個教學過程中，學生逐漸脫離了方格紙這個真實情境，直接在圖形上運用轉化思想，量感得到進一步發展，發揮了空間想象力，感受了轉化思想的魅力。

第三階段：在探究三角形面積公式的教學中培養學生“拼接法”經驗直觀感知，抽象出三角形的面積公式，使量感成功孕育出來。

根據學生具有搭積木、玩拼圖的生活經驗，教師可以設計教學活動引導學生發現兩個三角形可以拼接成一個平行四邊形的事實。此時，量感再次成為解決問題的一個突破口，轉化思想也得到再次應用。接著，教師引導學生發現三角形與拼接后的平行四邊形的數量關系，就推導出三角形的面積公式。

當然，在時間允許的情況下，教師還可以利用劉徽的“以盈補虧”的思想方法，把三角形割補成一個長方形，進而得出三角形的面積公式。［3］

經歷平行四邊形與三角形的面積公式的探究活動后，學生能逐漸意識到“割補法”和“拼接法”都能化未知為已知，都能成為解決問題的突破口。此外，學生不僅逐漸脫離了真實情境，而且能夠在幾何圖形上發揮抽象思維進行思考問題，抽象直觀感知也得到發展。由此，學生的量感也基本成功孕育。

第四階段：在探究梯形面積公式的教學中引導學生應用量感找到解決問題的突破口，推進量感的生長。

經過前面三個階段的學習，學生已經具備利用“割補和拼接”化未知圖形為已知圖形的直觀感知。由于轉化梯形為已知圖形的方式有兩種：一種是用“拼接法”化梯形為平行四邊形，一種是用“分割法”將梯形視為平行四邊形和三角形這兩種基本簡單圖形的組合圖形。這兩種方式能夠使得學生對“割補”和“拼接”從單一認知加強為統一認知，即“割補法”不一定同時要有“割”和“補”；簡單的“分割”也能成為解決問題的突破口；“分割”和“拼接”實質是一對互逆的操作。這種經驗直觀感知的細化和交融，既能使深化經驗直觀感知本身，也能拓寬思維、防止思維定勢、發展抽象意識和應用意識。

由此可見，這一階段的設計能使已有量感交叉融合，推動了量感的生長。

第五階段：在解決組合圖形面積問題的過程中引導學生應用量感找到解決問題的突破口，穩固量感的生長。

經過前四個階段的學習，學生不僅積累了豐富的經驗直觀感知，而且抽象直觀感知也愈發成熟。在本階段中，解決組合圖形的面積問題其實是面積測量中的一類綜合性較高的問題，對應用意識的訓練有所增強，是量感穩固生長的一種體現，需要學生綜合應用“分割”與“拼接”的經驗直觀感知。

對于解決組合圖形的面積問題，通常有兩種方式：一種用“分割法”將組合圖形分割成若干基本簡單圖形，然后利用已有的面積公式逐一計算每個基本簡單圖形的面積，最后就得到組合圖形的面積；另一種是用“拼接法”，在組合圖形的基礎上“虛補”若干基本簡單圖形做成一個較大的容易計算面積的圖形，然后用這個較大的圖形的面積減去“虛補”上去的圖形的面積，就得到組合圖形的面積。

由此可見，解決組合圖形的面積問題具有較高的綜合性和靈活性，通常具有多種解法，這就給學生充分發揮量感的空間，使量感得到穩固的生長。

第六階段：在探究圓的面積公式的教學過程中發展學生的抽象直觀感知。

前面五個階段中的抽象直觀感知都是指對研究對象的特征和要素的直觀感知，有助于找到解決問題的突破口。嚴格意義下的抽象性的一個表征就是在正常的生活時空中無法實現的屬性，但可以通過思維活動或空間想象來感知。因此，嚴格意義下的抽象直觀感知在經驗直觀感知的基礎上作進一步想象，比如在經驗直觀感知的基礎上加入極限思想就能得到抽象直觀感知。

在小學數學教學中，為探究圓的面積公式，通常是先將圓等分成n 份小扇形，然后將這n 份小扇形拼接成起來使之近似成為一個平行四邊形，接著引導學生發現，隨著平均分的份數越多，所拼接成的圖形越接近長方形。在此過程中，最后一步應用了極限思想，是嚴格意義上的抽象直觀感知。

當然，小學生無法從數學邏輯上解釋為什么圓可以變成長方形，但借助已有的經驗直觀感知還是可以接受這個事實。這就表明了學生的量感有了不同尋常的發展，對抽象直觀感知也有了進一步的認知。

三、基于面積測量培養量感的若干教學建議

本文第二部分制定的整體教學設計的教學內容分布在小學數學的不同年級，筆者認為這樣的整體教學設計是符合課標的教學理念。事實上，核心素養的養成具有階段性，呈螺旋式上升趨勢。為此，筆者提出幾點基于面積測量培養量感的教學建議：

1.“數方格求面積”是孕育量感的最初基本活動經驗，要注意將學生從“數方格求和”引導至“累加求和”。事實上，累加求和是數學學科常用的思維方式，例如在上述整體教學設計中，累加求和的演變過程是從“逐一累加求和”開始，到“逐層累加求和”，再到“分割累加求和”，這種一貫的經驗感知和思維活動能有效促進量感的養成。

2.要在教學有意識的強調“分割”與“拼接”是一對互逆的思維過程，對解決面積問題有重要的輔助作用。事實上，“分割”與“拼接”是實施轉化思想的具體表現，因此在教學過程中精心設計教學活動，幫助學生獲得“分割”與“拼接”這兩個重要的基本活動經驗，為量感的養成以及形成良好的分析問題與解決問題的能力奠定堅實的基礎。

3.量感的培養不能只停留在基本活動經驗的表面，要重視引導學生從研究對象的特征和要素來思考問題。雖然小學數學主要以生活化教學為主，以獲取更多的基本活動經驗，但最終落腳點是掌握知識、能力與素養。因此，當學生獲取來基本活動經驗之后，要引導學生通過現象看本質、用數學的語言來表達現實世界。