數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之“數(shù)學(xué)抽象”的理解及解題技巧

秦燦燦

(江蘇省常州市正衡中學(xué) 213000)

在新課標(biāo)背景下，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)開始受到教師的重視.與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂模式相比，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提出，不僅提高了學(xué)生的求知欲望，并且激發(fā)了他們的思維能力，促使學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)中，體驗到數(shù)學(xué)知識的魅力、價值，真正實(shí)現(xiàn)了初中數(shù)學(xué)的高效學(xué)習(xí).在初中“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”中，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是基礎(chǔ)，其隱含著豐富的含義，即：在初中數(shù)學(xué)學(xué)科中蘊(yùn)含在密切的數(shù)與形的關(guān)系.這種關(guān)系就決定了初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，必定是高度抽象的過程.學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，立足于數(shù)學(xué)學(xué)科與實(shí)際生活的內(nèi)在聯(lián)系，通過對生活中實(shí)物的抽象，抽象出數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)律，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建數(shù)學(xué)知識，完成數(shù)學(xué)知識的深度學(xué)習(xí).

1 初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之“數(shù)學(xué)抽象”的內(nèi)涵

1.1 “數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)的內(nèi)涵

在新版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，提出了“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”這一概念，而且對其做出了歸納，也就是：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析.在上述六種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中，數(shù)學(xué)抽象是基礎(chǔ)，也是一種重要的素質(zhì).所謂抽象就是從眾多事物中，將共同的、本質(zhì)的特征抽取出來，進(jìn)而舍去事物中的非本質(zhì)特征.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，這一思維過程即為數(shù)學(xué)抽象.對于數(shù)學(xué)科目而言，數(shù)學(xué)抽象就是在課堂教學(xué)活動中，排除事物的全部物理特征，最終將一般的基本概念、本質(zhì)特征、運(yùn)算規(guī)律等抽象出來.在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，數(shù)學(xué)抽象就是其中的基礎(chǔ)思想，還是理性思維的前提條件，是培養(yǎng)知識遷移和應(yīng)用能力的基礎(chǔ).

1.2 “數(shù)學(xué)抽象”在教學(xué)實(shí)踐中的價值

鑒于初中數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)在教學(xué)中的應(yīng)用，體現(xiàn)出十分重要的實(shí)踐作用.

第一，能夠幫助學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)知識的實(shí)質(zhì).數(shù)學(xué)知識具有極強(qiáng)的抽象性，學(xué)生唯有具備極強(qiáng)的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，才能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，更好地體會數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算規(guī)則.這主要是因為在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，由“加法交換律”的描述為3+4=4+3；而進(jìn)入到初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，這一描述方式也隨之發(fā)生轉(zhuǎn)變，運(yùn)用字母將其表示為a+b=b+a.在這種情況下，由于數(shù)學(xué)知識變得更加抽象，致使學(xué)生在學(xué)習(xí)中，常常出現(xiàn)“課堂上聽明白，但在自己做題和獨(dú)立思考的時候，卻常常似懂非懂，難以找到問題的突破口”.針對這一現(xiàn)狀，學(xué)生只有具備較高的抽象素養(yǎng)，才可以在學(xué)習(xí)活動中充分認(rèn)知數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)，最后能夠做到舉一反三.

第二，能夠幫助學(xué)生增強(qiáng)數(shù)學(xué)知識與課程之間的緊密關(guān)系.在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維能力，直接關(guān)系到數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)則的獲取.以函數(shù)教學(xué)為例，學(xué)生唯有先理解自變量、因變量，才能在此基礎(chǔ)上明確兩者之間的一一對應(yīng)關(guān)系.在這一階段中，只有具備較高的數(shù)學(xué)抽象素質(zhì)，才可以更好地認(rèn)知函數(shù)的概念，以便于在此基礎(chǔ)上完成相關(guān)知識的學(xué)習(xí).

第三，能夠提升學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力.新課程背景下，提高學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力是初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重中之重.而學(xué)生的創(chuàng)造性思維則是建立在學(xué)生足夠的數(shù)學(xué)經(jīng)驗基之上的.因此，只有強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中才能將形象的實(shí)物進(jìn)行抽象，使其成為數(shù)學(xué)模型，將生活實(shí)際抽象成數(shù)學(xué)理論，最終借助逆向思維將抽象的數(shù)學(xué)理論應(yīng)用到解決實(shí)際生活的問題中.因此，從這一角度上來說，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，有助于奠定學(xué)生創(chuàng)新素養(yǎng)的基石.

1.3 “數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)在培養(yǎng)路徑

基于數(shù)學(xué)抽象在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中的重要性，教師在日常教學(xué)中，必須要重視數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，并將其科學(xué)、合理地融入到課堂教學(xué)中.

第一，基于教學(xué)情境，滲透數(shù)學(xué)抽象.在最新的課程標(biāo)準(zhǔn)中，明確了數(shù)學(xué)知識與實(shí)際生活的內(nèi)在聯(lián)系.鑒于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的目標(biāo)，教師必須要打破傳統(tǒng)的教學(xué)觀念，杜絕知識的強(qiáng)硬灌輸，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計出與學(xué)生認(rèn)知發(fā)展區(qū)相契合的教學(xué)情境，進(jìn)而借助教學(xué)情境，幫助學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)知識的實(shí)質(zhì)，提高他們的數(shù)學(xué)抽象素質(zhì).

第二，構(gòu)建生活背景，強(qiáng)化數(shù)學(xué)抽象.由于初中生抽象思維薄弱，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常常難以將具體事物和抽象的數(shù)學(xué)概念結(jié)合起來.鑒于此，在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)時，必須要基于數(shù)學(xué)知識和實(shí)際生活的內(nèi)在聯(lián)系，借助生活中的模型、事例等，引導(dǎo)學(xué)生在生活學(xué)習(xí)和直觀地感受中，將抽象的數(shù)學(xué)概念和規(guī)律歸納出來，最終加深對數(shù)學(xué)概念的理解.

第三，基于動手實(shí)踐，強(qiáng)化抽象素養(yǎng).數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)定律非常抽象，學(xué)生在學(xué)習(xí)中常常面臨著較大的困難.因此，要想培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，必須要積極開展教學(xué)實(shí)踐、數(shù)學(xué)實(shí)驗等，引導(dǎo)學(xué)生通過動手實(shí)踐，加深知識的理解.例如，在“立體圖形”的教學(xué)中，為了發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，就放手指導(dǎo)學(xué)生開展實(shí)踐，引導(dǎo)學(xué)生在剪一剪、畫一畫、拼一拼的實(shí)踐過程中，建立起立體圖形的模型，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

第四，基于信息技術(shù)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).教育現(xiàn)代化背景下，現(xiàn)代信息技術(shù)已經(jīng)逐漸走進(jìn)課堂，并在課堂教學(xué)中發(fā)揮著十分重要的作用.在這一背景下，要想發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，就必須要突破粉筆+黑板限制，借助現(xiàn)代化信息技術(shù)手段，通過直觀、動態(tài)化的展示，使得學(xué)生在形象地感知下，促進(jìn)形象思維和邏輯思維的結(jié)合，最終在促使學(xué)生充分理解數(shù)學(xué)概念的過程中，形成一定的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2 “數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)在解題中的具體應(yīng)用

2.1 基于數(shù)形結(jié)合解決問題

初中數(shù)學(xué)教師在借助“數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)”解決實(shí)際問題時，應(yīng)結(jié)合數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的內(nèi)涵，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合這一思想，借助數(shù)和形的對應(yīng)關(guān)系，將數(shù)學(xué)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化和解決.

例1數(shù)軸上點(diǎn)A至原點(diǎn)之間的距離是3，點(diǎn)B到原點(diǎn)之間的距離是2，求AB兩點(diǎn)之間的距離？

在本題的解答中，涉及到了“絕對值”的概念.單純地從題目分析，由于學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)有限，學(xué)生在做題的時候常常有失誤的現(xiàn)象.鑒于此，在數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的輔助下，在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題的時候，就可借助“圖形結(jié)合”的思想，將這一題目轉(zhuǎn)化為圖像，將數(shù)值呈現(xiàn)在數(shù)軸上(如圖1).如此，學(xué)生在數(shù)軸的輔助下，可在直觀、形象地感知下，高效完成題目的解答.結(jié)合數(shù)軸分析，點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是3個單位，分別表示+3、-3，點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離是2個單位，分別表示+2、-2.因此，AB兩點(diǎn)之間的距離分別是1個長度單位，或者5個長度單位.

圖1

2.2 基于等量關(guān)系建立模型解決問題

基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，在分析問題的時候，還應(yīng)立足于題目中蘊(yùn)含的等量關(guān)系，通過題目分析，抽象出數(shù)學(xué)模型.進(jìn)而在數(shù)學(xué)模型的輔助下，結(jié)合題目中蘊(yùn)含的知識點(diǎn)，對其進(jìn)行解答.

例2某一店鋪銷售了一些新的商品，采取了兩類不一樣的銷售方式：

方式一：商店老板在上半年出售這種商店，可以得到利潤5萬元.如若商店老板把這些新商品的成本、已得到利潤的5萬元進(jìn)行投資，到下半年結(jié)束之時，則能夠得到利潤3.5%.

方式二：在上半年結(jié)束之時，商店重新銷售這種商品，可以得到利潤58800元，然而要求承擔(dān)成本的0.5%作為保管的費(fèi)用.

請解決以下兩個問題：

(1)這批商品的成本為多少之時，兩者將得到相同的利潤？

(2)假定成本是15萬，則商店老板更愿意選擇何種策略？

在對這一問題進(jìn)行解決的時候，應(yīng)著眼于題目中的等量關(guān)系，即：總利潤=總收入-總成本.接著，根據(jù)第一問題的條件，能夠把成本設(shè)定成未知數(shù)x元，假設(shè)策略一中的利潤是y1，策略二中的利潤y2，所以按照題目中的意志條件，還有本題目中的等量關(guān)系，最終得出第一問題的答案，即：y1=(50000+x)(1+3.5%)-x；y2=58800-0.5%x；又結(jié)合y1=y2，最終得出了最終的答案.

在對第二問的解答中，就可依據(jù)第一題中的結(jié)果進(jìn)行，最終確定第二種策略獲利相對比較多.可以說，在這一數(shù)學(xué)題目中，學(xué)生唯有基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的內(nèi)涵，才能基于題目中的等量關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，從而有助于他們更好地解決一系列難題.

2.3 基于數(shù)學(xué)抽象，運(yùn)用概念解題

按照數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的基本內(nèi)涵，在引導(dǎo)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的時候，應(yīng)舍取其中的物理屬性，而保留具體的屬性，最后引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)抽象，認(rèn)知并把數(shù)學(xué)知識的實(shí)質(zhì)概括出來.因此，在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，通過數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，可帶領(lǐng)學(xué)生回歸問題的本質(zhì)，進(jìn)而輕松解決相關(guān)問題.

例3甲乙兩人從直線距離為100 km的A、B兩點(diǎn)同時出發(fā)，兩人相向而行.已知，甲的速度為6 km/h，甲在出發(fā)的時候還帶著一條小狗，小狗奔跑的速度為12 km/h，小狗遇到乙之后立即掉頭差朝甲跑去，然后碰到乙又掉頭……指導(dǎo)兩人相遇.請問小狗在兩個人相遇這一段時間內(nèi)，一共走了多少千米？

學(xué)生在解決本題時，常常會因為小狗的行動軌跡復(fù)雜，導(dǎo)致其無從下手.而在數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)下，就可從這一問題情境中，將本質(zhì)問題抽象出來，即：s=vt.因此，在這一問題中，已知小狗的速度，只要求出小狗運(yùn)動的時間即可.而小狗運(yùn)動的時間，恰恰與甲乙兩人相遇的時間相同.如此，通過數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的應(yīng)用，使得原本復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題更加簡單化，真正提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率.

綜上所述，數(shù)學(xué)新課程改革背景下，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)已經(jīng)成為課堂教學(xué)的重中之重，是提升學(xué)生學(xué)習(xí)效果、解題效率的關(guān)鍵.鑒于此，作為一名優(yōu)秀的初中數(shù)學(xué)老師，只有關(guān)注數(shù)學(xué)抽象素質(zhì)的培養(yǎng)，在平時教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)抽象素質(zhì)；還可引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)解決數(shù)學(xué)問題，不斷提升教師的數(shù)學(xué)解題效率.