對中考復(fù)習(xí)中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的探究
——以分類討論思想為例

胡琳玲

(江蘇省南京外國語學(xué)校 210008)

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出：“數(shù)學(xué)為其他科學(xué)提供了語言、思想和方法，是一切重大技術(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)；數(shù)學(xué)在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和創(chuàng)造力等方面有著獨特的作用；數(shù)學(xué)是人類的一種文化，它的內(nèi)容、思想、方法和語言是現(xiàn)代文明的重要組成部分.”“數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上.教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機(jī)會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.”而思想、方法大量存在于圖形問題中，例如幾何問題中就經(jīng)常需要使用分類討論思想、函數(shù)與方程等思想來解決問題.值得一提的是，當(dāng)前的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)中存在著兩大誤區(qū)：一是復(fù)習(xí)的內(nèi)容是“老調(diào)重彈”，把復(fù)習(xí)課看成了補(bǔ)課；二是復(fù)習(xí)的方法是“題海戰(zhàn)術(shù)”，把復(fù)習(xí)課上成了習(xí)題課.復(fù)習(xí)，是指為了恢復(fù)或強(qiáng)化頭腦里已形成的暫時神經(jīng)聯(lián)系，對已學(xué)過的知識進(jìn)行重新學(xué)習(xí).這種重新學(xué)習(xí)并不是對已學(xué)知識的簡單重復(fù)、單純的補(bǔ)缺補(bǔ)差，而是通過復(fù)習(xí)，把教材中的各部分知識進(jìn)行歸納整理，以達(dá)到鞏固提高、融會貫通的目的，從而進(jìn)行更高層次的再學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課應(yīng)該是從厚到薄，再從薄到厚.因此我們要精心設(shè)計教學(xué)內(nèi)容和環(huán)節(jié)，激發(fā)學(xué)生的復(fù)習(xí)興趣，把復(fù)習(xí)教學(xué)過程組織成學(xué)生的再認(rèn)識過程，從更高的層次、更新的角度進(jìn)一步掌握、理解已學(xué)過的知識和技能，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.在初三中考復(fù)習(xí)階段，教師如何利用學(xué)生已有的認(rèn)知水平和認(rèn)知經(jīng)驗，如何創(chuàng)設(shè)恰切的活動時空和交流平臺，促使學(xué)生通過自主探索、相互合作去體會數(shù)學(xué)思想的作用呢？我們對專題復(fù)習(xí)做了有益的嘗試，選擇分類討論的思想，探求它在幾何問題中的運(yùn)用.

1 研究的理論根據(jù)

1.1 心理學(xué)家韋納(B.Weiner)的歸因理論

在學(xué)習(xí)過程中，如果學(xué)生對學(xué)業(yè)成敗歸因的控制點在外部，他就會相信任務(wù)的難度、自己的運(yùn)氣以及他人的因素是決定自己學(xué)業(yè)現(xiàn)狀的因素；若控制點在內(nèi)部，他就會相信學(xué)習(xí)能力或自己的努力是學(xué)業(yè)現(xiàn)狀的決定因素.研究發(fā)現(xiàn)，在智力水平相當(dāng)?shù)膶W(xué)生中，控制點的位置往往是影響學(xué)習(xí)成績的一個重要因素.一般來說，控制點在內(nèi)部的學(xué)生的成績比控制點在外部的學(xué)生的成績好.本次復(fù)習(xí)課就是要逐步建立學(xué)生內(nèi)化分類討論的數(shù)學(xué)思想，明確學(xué)習(xí)效果的內(nèi)在指向性.

1.2 心理學(xué)家羅森塔爾(RobertRosenthal)的期望效應(yīng)

羅森塔爾認(rèn)為教師對學(xué)生的關(guān)注與期望很大程度上影響著學(xué)生的學(xué)業(yè)情況，使其朝好的方向發(fā)展.羅森塔爾效應(yīng)的關(guān)鍵是教師對學(xué)生的信任、贊揚(yáng)和愛.期望效應(yīng)通過教師行為改變學(xué)生自我預(yù)期，對學(xué)生的學(xué)習(xí)效果的影響，從而證明了個人自我預(yù)期對個體發(fā)展的巨大影響.自我預(yù)期效應(yīng)的根本原理是改變個體自我形象認(rèn)知，利用積極的形象規(guī)范引導(dǎo)個體的行為.使個體努力去做符合心中積極自我形象的事，克服以前自我形象的局限，從而化虛假的自我想象為真實的自我.本次復(fù)習(xí)課也試圖通過具體案例增強(qiáng)學(xué)生對類似題型的正確解決的信息，樹立正面預(yù)期.

在我國數(shù)學(xué)教育界，王仲春教授等認(rèn)為：“數(shù)學(xué)思想是指人類關(guān)于數(shù)學(xué)對象和理性認(rèn)知的過程，包括應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決各種實際問題的思考過程.”朱成杰指出：“數(shù)學(xué)思想是人們對數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的認(rèn)識，是對數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法的進(jìn)一步抽象和概括.而數(shù)學(xué)方法則是解決數(shù)學(xué)問題的手段.若將數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法嚴(yán)格區(qū)分開來是困難的，因此人們統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)思想方法.”分類是揭示概念外延的一種邏輯方法.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，貫穿著數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法，基礎(chǔ)知識是課堂上的一條明線，而數(shù)學(xué)思想方法則是的一條暗線.學(xué)生走出校園后，通常幾年后就遺忘了數(shù)學(xué)知識，而數(shù)學(xué)思想方法卻銘刻在腦海中.實際上，無論在哪一階段的教學(xué)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力一直都是教學(xué)的目標(biāo)，而數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，是培養(yǎng)和提高數(shù)學(xué)思維能力的過程.在中學(xué)數(shù)學(xué)中，分類討論就是一種重要的思想方法.朱成杰指出：“數(shù)學(xué)的分類是，按照數(shù)學(xué)對象的相同點和差異點，將數(shù)學(xué)對象區(qū)分為不同種類的思想方法.”不會正確分類就不可能學(xué)好數(shù)學(xué)，分類思想在中小學(xué)數(shù)學(xué)中非常有用.通過對有關(guān)分類討論思想方法的文獻(xiàn)研究和分析，結(jié)合我們自身的教學(xué)經(jīng)驗，我們發(fā)現(xiàn)分類具有的三個要素：被討論的對象；討論后所得出的類概念；分類的標(biāo)準(zhǔn).朱成杰指出，一個科學(xué)分類的標(biāo)準(zhǔn)必須能夠把需要分類的數(shù)學(xué)對象，進(jìn)行不重復(fù)，無遺漏的分劃，分類討論方法的重要性不言而喻.

2 關(guān)注教學(xué)目標(biāo)，制定重點難點

本節(jié)課作為初三階段的幾何復(fù)習(xí)課，旨在將學(xué)生所學(xué)的有關(guān)知識進(jìn)行歸納、整理，進(jìn)行縱、橫向的歸類，進(jìn)而作知識的系統(tǒng)的整體綜合，形成結(jié)構(gòu)化的知識，最終培養(yǎng)和提高學(xué)生運(yùn)用知識、解決問題的能力.因此，授課教師制定教學(xué)目標(biāo)如下：

能理解幾何問題分類討論的原因，遇到幾何問題時有分類討論的意識.經(jīng)歷用分類討論思想解決幾何問題的經(jīng)驗積累過程，掌握分類討論的方法，感受分類討論的必要性；通過對幾何問題的解決，體會分類討論的原則——不重復(fù)不遺漏；在這個課堂教學(xué)目標(biāo)的指引下，授課教師將教學(xué)重難點放在“培養(yǎng)分類討論的意識，掌握分類討論的方法，體會分類討論的原則”上.在教學(xué)過程中，始終圍繞這個教學(xué)目標(biāo)和重難點進(jìn)行，取得了不錯的效果.

3 問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)，激發(fā)主體思維

問題是數(shù)學(xué)的心臟，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，以實際問題為載體，通過設(shè)計有思維含量的問題，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，產(chǎn)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，使其智力活動達(dá)到最佳激活狀態(tài)，使其主動參與教學(xué).

本節(jié)課的導(dǎo)入部分設(shè)計了兩個問題，都是關(guān)于圓與圓相切的問題.

問題1：若兩圓相切，圓心距是7cm，其中一圓的半徑為3cm，則另一圓的半徑為____cm.

問題2：如圖1，在網(wǎng)格圖中(每個小正方形的邊長均為1個單位長度)，⊙A的半徑為1，⊙B的半徑為2，要使⊙A與靜止的⊙B相切，那么⊙A由圖示位置需向右平移____個單位長度.

圖1

兩個問題都需要分類討論，其中問題1是由于“相切”這個概念需要分類，問題2不僅需要根據(jù)概念分類，還由于圓與圓的位置關(guān)系不能確定而需要進(jìn)行二次分類.這兩個問題學(xué)生不僅能夠自主解決，而且還可以體會分類討論的原因：概念需要分類和位置關(guān)系的不確定需要分類.學(xué)生很多時候只是單純解題，而不會去問自己為什么要分類.教師可以通過提問“你為什么想要分類？分類的依據(jù)是什么？”來激發(fā)學(xué)生主動思考分類討論的原因.

學(xué)生在幾何解題時經(jīng)常遇到的是與三角形有關(guān)的問題，所以在這節(jié)復(fù)習(xí)課，教師可以給出一些關(guān)于等腰三角形、直角三角形、一般三角形的問題，讓學(xué)生進(jìn)一步體會分類討論的原因，并積累分類討論的經(jīng)驗，掌握分類討論的方法.

問題3：已知等腰三角形的一個內(nèi)角為30°，求這個等腰三角形的頂角度數(shù).

問題4：已知一個直角三角形的兩條邊長分別為3和4，求第三邊的長.

問題5：在△ABC中,∠A=30°,AC=8，BC=5，求△ABC的面積.

問題3和問題4學(xué)生在以前的學(xué)習(xí)中都遇到過，但是在以前的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生很多僅僅停留在能做出正確的答案這個層次上，對分類討論的深層原因——三角形的形狀不能確定卻知之甚少.問題5對學(xué)生來說分類討論較為困難，其根本原因仍然是不能在畫圖時判斷出這個三角形形狀不能確定.學(xué)生在自己畫圖時會因為不用圓規(guī)而忽視“以C為圓心，5個單位長度為半徑的圓與射線AC有兩個交點”這個結(jié)果，從而導(dǎo)致畫出的三角形只有一個形狀.問題3和問題4可以交給學(xué)生自主解決，并且引導(dǎo)他們自主思考分類的原因.問題5在教學(xué)時教師通過引導(dǎo)學(xué)生用圓規(guī)畫圖而使學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)錯誤而改變原有的思維結(jié)果.

從學(xué)生熟悉的問題出發(fā)，使問題層層推進(jìn)，由淺顯引向深入，讓學(xué)生不知不覺中經(jīng)歷知識的發(fā)生和發(fā)展的過程，體會分類討論的思想.通過這五個問題，學(xué)生積極主動的歸納出幾何問題分類討論的原因，對分類討論的方法積累了相當(dāng)多的經(jīng)驗，這時候教師可以給出幾個小問題幫助他們鞏固已有知識，提高解決問題的能力.

問題6：在△ABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在直線相交所得的銳角為45°，則底角∠B=____度.

問題7：等腰三角形的兩邊長分別是4和7，則其周長為____.

問題7的變題：等腰三角形的兩邊長分別是3和7，則其周長為____.

問題8：若等腰三角形的一個外角為130°，則它的底角為____度.

問題8的變題：若等腰三角形的一個外角為70°，則它的底角為____度.

問題6教師可以引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“AC所在的直線”這個條件，從而使學(xué)生自主畫出兩個形狀不相同的圖形，學(xué)生也能更加深刻的體會到“圖形的形狀不確定要分類討論”.問題7和問題8及他們的變式題，使學(xué)生意識到不僅要分類討論，還需要討論每一類別的合理性，不符合要求的要舍去.

總之，這是一節(jié)復(fù)習(xí)課，教師的教學(xué)過程不僅僅是圍繞如何解題展開的，更重要的是啟發(fā)學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的思維方式，體會并能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，提高他們分析問題解決問題的能力.雖然數(shù)學(xué)給人的形象是冰冷的，但掩藏在冰冷的外表下的是火熱的思考，課堂中要充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維過程，讓數(shù)學(xué)的無窮魅力得到最大的釋放.