需求呈周期性變化的易腐品在線訂購策略

劉玨夙

（廣東工業大學 管理學院，廣東 廣州 510520）

0 引言

易腐品的特點是使用壽命短，在超過一定的時間后，這類商品就會失去部分甚至全部價值。這樣的商品特點導致過多或過少的訂購量都會使決策者損失一定的收益，因此訂購量的合理確定具有重要的現實意義。報童問題是關于易腐品的庫存訂購決策問題。在傳統報童問題的研究中，都假定需求的統計信息是可知的。而在現實的決策情景中，決策者往往難以準確掌握需求的分布情況。Scarf[1]首先提出了未知需求分布的決策方法，該方法在已知均值方差的情況下，給出了模型最優解。Gallego，等[2]在文獻[1]的研究基礎上進一步優化了訂購規則，且考慮了更多的實際因素來擴展其分析。Chan，等[3]結合這一方法提出了一個配貨優化模型，使得決策者能在不對任何一個產品的需求分布做具體假設的情況下，對訂貨種類和訂貨量進行聯合優化。陳淮莉[4]研究了隨機需求下多產品、多周期的生鮮品訂購問題，從零售商的角度給出了最優訂購量以及最優折扣。然而，這些研究仍然要求需求分布的均值和方差是可知的，并沒有完全脫離統計假設。

在線算法僅依靠歷史數據進行決策，而不需要再對未來的輸入序列做出統計假設，能夠用它來研究報童問題的在線訂購策略。張桂清，等將在線算法引入到報童問題中進行了競爭比分析，在概率預期[5]和一般預期[6]兩種情況下分別給出了風險算法。Abdel-Aal，等[7]在需求不確定的情況下結合市場選擇理論，用魯棒優化方法建立了選擇性報童模型。2008年Kalnishkan，等[8]提出了一種基于專家意見的在線預測方法——弱集成算法（WAA）。該算法僅憑借歷史信息對專家意見進行集成，并將集成結果用以決策。Levina，等[9]將弱集成算法應用于無統計假設的多期報童問題中，為報童提供了一個具體的在線訂購策略。Zhang，等[10]進一步研究了非平穩環境的報童問題，采用策略切換的思想，將弱集成算法應用于動態專家意見，給出了具體的在線訂購策略。在之后的研究中，Zhang，等[11]構建了針對兩產品、多周期報童問題的在線訂購策略，并證明了該策略具有理論保證。

在實際生活中，有相當一部分易腐品的需求會受到人類社會活動的影響，這使得我們在考慮易腐品需求變動時有跡可循。O’Neil，等[12]應用機器學習算法解決需求沖擊下的無分布報童問題。王海燕，等[13]探討了需求分布規律變化情況下的報童訂購決策問題。此外，有一些易腐品的需求會隨著節假日和季節交替呈現出顯著的周期性特征，例如電影票的訂票需求。由于大多數人的閑暇時間都集中在非工作日（如周末或者節假日），因此電影院的觀影人數往往是非工作日多、工作日少，從而導致電影票的非工作日需求高、工作日需求低；與這一情況相反的是寫字樓和學校周邊的餐飲店，這類餐飲店受到主要消費人群的活動規律影響，其需求規律通常表現為工作日高需求，而非工作日低需求。在上述兩個例子中，需求都以某一固定的時間段為變動周期，在每一個變動周期內，需求表現出低-高或高-低的交替變化。將這類需求稱作周期性變動需求，本文以低-高需求為例研究了需求周期性變動下多階段報童問題的在線訂購決策方法。在需求的周期性變動規律可獲取前提下，本文應用WAA算法，基于歷史需求數據給出了具體的訂購策略，并理論分析策略的競爭性能。

1 基于弱集成算法的在線訂購策略

弱集成算法[9]根據專家的歷史表現來調整其權重，以提高在線決策者的競爭性能。給定各個專家的初始權重，在每一個決策期對專家的收益進行重新計算，并根據計算結果更新專家在下一決策期的權重。沿用以往研究中的記號，表1給出了主要記號及其含義。

表1 WAA使用的主要記號及其含義

在每個決策期t=1,2,...,T，專家的標準化權重由式（1）給出。

算法1弱集成算法（WAA）輸入：實際決策值?1,?2,...,?T；輸出：最終累積收益GT。(0)在線決策者和專家決策體的初始收益皆為0，即G0=0，Gθ 0=0；(1)在每個決策期t=1,2,...,T進行步驟（2）-（7）循環計算；(2)計算各專家的標準化權重；(3)專家決策體給出專家預測意見γθ t；(4)在線決策者在集成專家意見后做出預測：γt=∫Θ γθ t pt(dθ)；(5)得到實際決策者的結果ωt；(6)計算在線決策者和各專家的收益gt，gθ t；(7)更新在線決策者和專家的累計收益Gt，Gθ t；(8)重復步驟(2)-(7)，直至所有決策期結束。

當決策總周期數為T時，引理1給出了弱集成算法實現的累積收益下界。

引理1當收益函數g的界為-L≤g≤0（L為一個固定常數）時，對于任意的期數T，WAA的累積收益均滿足：

在需求呈周期性變動的多階段報童問題中，假定報童在每一期的期初決定當期訂購量，且此時當期的實際需求量尚不可知。在報童確定訂購量后，實際需求也隨之獲得。對報紙這類易腐品而言，一旦報童確定當期訂購量，在這一期中途不能進行補訂，在這一期結束后，訂購的剩余量也不具備回收價值。

以一個特定的時間段ρ作為規律性變動的最小周期，根據需求特征的不同，進一步將每個變動周期劃分為不同的部分。以低-高交替變化的周期性需求為例，每一個變動周期中均包含低需求期和高需求期。用d表示低需求期時的實際需求量，d′表示高需求期的實際需求量，x和y分別表示在低需求期和高需求期中報童對產品的訂購量，x和y分別通過集成專家意見獲得。用Θ(Θ=Θ1?Θ2)表示專家池，其中低需求期專家池Θ1的專家索引為θ，高需求期專家池Θ2的專家索引為θ′。第t期的產品具體需求量無法確定，但可知在低需求期時，產品的需求量d和報童的訂購量x為區間[B1,B1′]中的任意實數，在高需求期時，產品的需求量d′和報童的訂購量y為區間[B2,B2′]中的任意實數，且有B1′≤B2。

設每一天為一個決策期，T為總的決策天數。為方便論述，設在前T天中共包含N個完整的需求變動周期，其中N∈?。在每個需求變動周期中，包含ρ個決策天數，且有ρ=μ+ν。其中，μ表示一個周期內包含的低需求天數，ν表示一個周期內包含的高需求天數，在周期性變化的需求中，ρ、μ和ν均為確定的常數。將低需求期構成的決策天數總和記為T1，將高需求期構成的決策天數總和記為T2，則有T=T1+T2。從初始決策期開始，需求做低-高交替變化，記：

即有A=A1?A2。對于任何的t∈A，設需求為dt。當t=nρ+i,i=1,2,...,μ時，t∈A1，且 有t1=nρ+i-nν，則此時專家意見集為Θ1。當Θ1中的專家θ的訂購量為時，該專家在第t期的收益為：

在前t1個低需求期的累積收益為因此，報童在第t期的訂購量為xt1時，其收益為：

在前t1個低需求期的累積收益為

類似地，當t=nρ-j，j=ν-1,...,0時，t∈A2，且有t2=nρ-i-nμ，則此時專家意見集為Θ2。當Θ2中的專家θ′的訂購量為時，該專家在第t期的收益為：

在前t2個高需求期的累積收益為因此，報童在第t期的訂購量為yt2時，其收益為：gt=gt2′=pmin(yt2,dt2′)-cyt2；在前t2個高需求期的累積收益為

定理1在收益函數式（4）和式（5）的基礎上，應用弱集成算法對靜態專家意見進行集成，可得到需求呈低-高周期性變化報童問題的在線訂購策略。

證明：考慮到低需求期和高需求期的需求差異，對低需求期和高需求期分別設置對應專家池，每個專家在任何一期總是推薦一個固定訂購量，每一期選擇對應的專家池中的靜態專家意見進行集成，在選擇專家池前，需要先判斷當前決策期處于周期中的低需求期還是高需求期。根據弱集成算法的決策流程，可知當第t期為低需求期(t∈A1)，且對應低需求期序列的第t1期時，報童的訂購量為：

當第t期為高需求期( t∈A2)，且對應高需求期序列的第t2期時，報童的訂購量為：

當q(dx)和q′(dy)分別為[B1,B1′]和[B2,B2′]上的均勻分布時，采用Levina，等[9]給出的求解方法。若第t期為低需求期，則第t期時可獲得前t1-1個低需求期的歷史需求序列d1,d2,...,dt1-1，令其順序統計量為d(1),d(2),...,d(t1-1)，且d(0)=B1，d(t1)=B1′。

同理可得：

采用類似的方法，若第t期為高需求期，則在第t期時可知前t2-1個高需求期的歷史需求序列。令其順序統計量為且。令k′=1,2,...,t2-1。可得：

綜上，針對需求呈低-高周期性變化的報童問題，本文給出了具體的在線訂購策略，即若第t期為低需求期，訂購量為xt=at1/bt1，若第t期為高需求期，訂購量為yt=at2/bt2，并將此策略記為ASP。

2 在線訂購策略的競爭性能分析

對于定理1給出的在線訂購策略ASP，應用引理1，定理2給出了以最優專家策略的累積收益為基準時該策略競爭性能的理論保證。

定理2對于需求低-高周期性變動的多階段報童模型，按照在線策略ASP進行決策時，報童的累積收益滿足：

其中，Li=(Bi′-Bi)p，i=1,2，Λ=max(p-c,c)。

證明：由收益函數的定義式可知，對于低需求期而言，訂購量等于需求量且為最大值B1′時，收益達到最大值；當實際需求為最小值B1而報童的訂購量為最大值B1′時，收益取到最小值，即有：

不失一般性，令g=g-B1′(p-c)，則有：

因此，在應用引理1分析在線策略的競爭性能時可知：

考慮任意兩個專家策略的累積收益差值，若有兩個專家的固定訂購量分別為θ1和θ2，由前面的分析可知，經過T1期后，這兩個專家實現的累積收益和滿足關系式：

令Λ=max(p-c,c)，則根據引理1和文獻[9]的方法，有：

同理，對于高需求期而言，有：

由式（10）可知，隨著總決策天數T的增大，在線策略的平均累積收益逐漸接近低需求期固定訂購量x和高需求期固定訂購量y的平均累積收益。由于x和y是任意的，因此它們分別可以是使得累積收益和達到最優的固定訂購量策略。事實上，當T→∞時，易得：

當需求不呈現周期性變動，即B1′=B2′=B，B1=B2=0，T1=T，T2=0時，有L2=L1=Bp，式（10）變成式（3），該結果退化成Levina，等[9]的研究結果，因此本文是文獻[9]的推廣研究。

3 數值算例分析

本節運用數值算例進一步驗證策略ASP的競爭性能，記ASP對應的最優專家策略為BASP。為方便對比分析，將Levina，等在文獻[9]中構建的策略記為AS，對應的最優專家策略記為BAS。在計算訂購量時，先判斷第t期屬于哪一種需求期，再根據判斷結果來選擇式（6）或（7）進行計算，即可得出相應的訂購量xt或yt。為了便于計算，對需求量和報童的訂購量進行整數化處理，即有：

根據需求周期的變化規律，依次在[0，50]和[50，100]間隨機生成90個隨機整數，作為前90天的實際需求序列。隨機產出10組不同的隨機需求序列進行試驗，表2給出了每次試驗中在線策略ASP與其對應的最優專家策略BASP的累積收益比較，其中RAT表示ASP與BASP實現的累積收益比值。從表2中的30次試驗結果來看，ASP與BASP的比值都大于0.94，且在第7次的試驗下得到了最大值0.970 675，由此可見，ASP具有較強的競爭性能。

表2 不同隨機需求下ASP與BASP的累積收益

為了觀察ASP對AS的改進效果，以第1次試驗中所用的需求序列為例，比較ASP和AS的日累積收益，結果如圖1所示，其中叉號符表示ASP的日累積收益，圓圈表示AS的日累積收益。由圖1可知，ASP和AS在前90天的日累積收益分別為7 606和4 012。ASP的累積收益明顯大于AS的累積收益，說明在原有算法的基礎上考慮需求的周期波動能提高決策者的收益。

圖1 ASP與AS的日累積收益比較

第一次試驗中ASP和BASP的日累積收益比較如圖2所示。由圖2可知，本次試驗中ASP和BASP的前90天的日累積收益分別達到7 606和7 849，二者的日累積收益非常接近，進一步證明了該策略相對于基準策略最優專家策略具有較強的競爭性能。

圖2 ASP與BASP的日累積收益比較

當歷史數據越充分時，ASP決策的結果就會越接近固定的最優專家的決策方案。調整決策的期數，計算ASP和BASP的累積收益，結果見表3。由表3可知，ASP的競爭性能會隨著決策期數的增加而增強，當決策天數為600時，競爭比已經大于0.99，此時ASP的累積收益已經基本等于最優專家的累積收益。

表3 不同決策周期下ASP與BASP的累積收益

4 結語

本文在傳統報童問題的基礎上，結合現實因素，研究了需求呈周期性變動情形下的訂購決策方法。采用集成專家意見的弱集成算法對固定的專家意見進行集成，給出了具體的在線訂購策略。從理論上對該在線策略的競爭性能進行了證明，用數值算例進一步說明了策略能追蹤到最優專家策略且獲得與最優專家策略相當接近的累積收益，并對參數的敏感性進行了分析。這為與報紙具有相似特征的易逝品庫存控制問題提供了一定的管理啟示：首先，在考慮需求周期變動的情況下，為易逝品零售商的訂購決策提供了參考，有利于零售商快速有效地通過歷史信息進行訂購決策，在滿足市場需求的同時充分發揮現有資源的作用以達到自身收益的最大化；其次，對于易逝品的零售商而言，該在線決策方法可作為他們在長期持續決策中調整訂購計劃的根據，并能保證零售商在長期決策中可獲取到具有競爭性的收益。本文研究周期性變動需求情形下的多階段報童在線決策問題，其中用于學習參照的專家意見是靜態的。但是，在面對復雜多變的市場環境時，專家的意見也會隨著市場披露信息的變動而調整其推薦訂購量。因此，考慮到在多階段報童中專家意見可以依據專家自身對市場信息的敏感程度動態地調整，如何學習動態的專家意見并為零售商在市場中制定出更優的訂購決策是需要進一步思考和研究的問題。