整體視角下單元備課，助力學生學習力提升
——以“除數是兩位數除法”為例

首都師范大學附屬順義實驗小學 任志梅 史 頌

《義務教育小學數學教學大綱》中明確指出：“教學時要注意揭示知識間的內在聯系。”而多年來我國一線數學教師熱衷于課時設計，較少在整體視角下進行單元備課。這就導致教師更多關注孤立的知識點，忽視知識間的內在聯系，缺乏對數學知識的整體結構認識，滿足于一課時的活動設計，忽略甚至局限了學生的數學思維的培養，育人價值的滲透、核心素養的培養容易流于紙上談兵。

2017年，崔允漷教授在第十五屆上海國際課程論壇上做了題為《試論核心素養的課程發展意義》的報告，報告指出，指向核心素養的課程發展給我們帶來一個變化——只有當我們在設計一個單元的時候，才能看到價值觀念。

整體視角下的單元教學指從數學知識體系高度“結構化”的特點和學生認知結構的形成、發展規律出發，對教材的表層結構和深層結構進行提煉和組織，通過自主探究、自我提煉和反思逐步內化為學生學習的方法結構，成為新的學習工具，進而更好地實現數學學科獨特的育人價值。

一、 整體把握教材結構，找準知識和能力的鏈接點

數學知識是有著內在聯系的有機整體，在實際教學中，一些教師往往只關注一冊教材的內容、一個例題的教學目標，缺乏對教材內容的整體架構。于是教學中經常出現只顧眼前不顧兩頭或找不準起點和落腳點的現象，導致一個內容或一類知識的教學缺乏層次性和銜接性。例如，小數的初步認識和小數的意義的解耦、教學重點是什么，兩次學習小數的聯系和區別是什么，這就要求老師們能整體把握教材。

整體把握教材并不是簡單地把各冊或者各個章節的內容匯集到一起，而是要看內容有了哪些變化、哪些發展，最終幫助學生建立一個完整的認知結構。

案例：整體把握“除數是兩位數除法”

“除數是兩位數除法”被稱為整數四則運算的“收官之作”，顧名思義，這是整數運算教學的最后部分內容，通過整數運算的知識體系我們也能看到這一點。

圖1

（一）把握教材的整體結構，找準知識鏈接點

圖2

運算教學依賴兩個重要內容：運算意義和數意義。

聚焦到“除數是兩位數除法”，對數的意義的學習，學生學習這部分內容之前，通過20以內數的認識、百以內數的認識、萬以內數的認識以及大數的認識，建立了較為完整的數概念體系，對數位、計數單位、十進制、位值等知識有了一個更全面的認知理解。數概念的完整體系為除數是兩位數的學習打下了堅實的基礎。

“除數是兩位數除法”是學生第四次學習整數除法，在二上學習表內除法、二下學習有余數的除法時，利用口訣求商，初步掌握了豎式結構。三上學習除數是一位數的除法，主要突破兩層豎式結構，理解除法豎式的算理。至此學生已經掌握了豎式除法的基本方法，如從高位除起，除的過程中要看被除數的前一位或前兩位；除到哪一位，商就寫到哪一位；余數必須比除數小。但是學生接觸的除法都可以利用口訣求商，而當除數變為兩位數時，乘法口訣已經無法再施展了，對于學生而言這樣的進階學習跨度比較大，得到商的過程也比較復雜，常常不但需要試商，還需要調商。

（二）挖掘教材中承載的育人價值，找準能力鏈接點

通過對比除數是一位數除法和除數是兩位數除法在能力目標體系中關于知識內容應該培養的能力以及相應的水平可以清晰地看到：除數是一位數除法在知識上要求掌握一位數除多位數的筆算方法，會用乘法驗算除法，在此過程中培養學生的運算能力、推理能力以及發現和提出問題的能力。而除數是兩位數除法除了讓學生會算以外，還要能通過自主探究算理和算法對運算結果進行檢驗。可以看到知識上的要求提高了，相對應的能力方面的要求也大大提高。尤其是增加的分析解決問題的能力、評價反思的能力以及創新能力，均要求學生遇到新問題時能獨立思考，并且能綜合運用所學知識解決。這也正是除法收官于此的主要原因，正是因為具備了這些能力，在除數是兩位數除法中積累的經驗，對算理和算法的深刻理解，對試商、調商方法的掌握，完全可以通過類比遷移到除數是三位數甚至更多位數的學習，另外整數除法的學習經驗也可以遷移到小數除法。

所以，這一單元雖然是小學階段整數四則運算的收官，卻更需要在教學中重視學生的能力培養。

對同一主題的教學內容，教師可以對小學階段的數學知識結構進行系統梳理，了解數學知識發生發展的順序以及在不同學段、不同年級的分布情況。只有這樣，教師才能了解所教內容是在怎樣的基礎上發展起來的，為后續所要學習的內容做了怎樣的準備，做到瞻前顧后。

表1 “除數是一位數除法”和“除數是兩位數除法”能力目標體系

二、 精準把脈認知結構，突破學生難點

“單元教學”是立足具體學情，對一個（或幾個）單元教學內容進行規劃，整體性、結構性、系統性地安排后展開的教學，而這些取舍規劃的前提一定是立足具體的學情。奧蘇伯爾也認為，影響學習的最重要的因素是學生已經知道了什么。由此可見學情分析的重要性。學情分析并不僅僅包括教師在進行教學設計時對學生學習情況的簡單分析，還包括對學生數學知識基礎、學習需要、認知發展水平與風格、內心想法等的分析。

[案例]：“除數是兩位數除法”學情調研

核心素養導向下的教學，需要對學情進行合理分析。學情分析可以從已有的認知和學習過程中會遇到的難題兩方面展開。

“除數是兩位數除法”設計的前測題目分為兩個：一個是有情境的除數是兩位數除法問題，目的是考查學生面對新問題時能否運用學過的數學知識進行解決；另一個是去情境化問題，用豎式計算924÷6、964÷18，目的是一方面了解學生的知識基礎，另一方面考查學生能否將除數是一位數除法的算理進行遷移解決新問題。

前測1：把336元平均分給14個小朋友，每人得到多少元？

圖3

通過前測，學生有遷移舊知識解決問題的意識，絕大部分都是利用拆分進行計算，這是學生將除數是一位數除法和整數乘法的計算經驗進行了遷移。但絕大部分學生對究竟是拆除數還是拆被除數不清晰。這是整數乘法對學生造成的負遷移，因為整數乘法計算時拆哪個因數都可以，所以究竟拆誰進行計算是學生的一個困難點。

前測2：用豎式計算924÷6、964÷18。

42名學生答題情況如下：

表2

學生主要答案如下：

圖4

通過前測結果可以看到，42名學生中95.24%對除數是一位數除法掌握扎實，能熟練地講出除數是一位數筆算除法的算理。學生的前期基礎非常扎實。

而面對除數是兩位數時，乘法口訣無法再施展了，學生有遷移除數是一位數筆算除法解決問題的意識。但是45.24%的學生表示并沒有快速找到初商的方法，嘗試的過程很慢，有的甚至需要嘗試很多次才能得到，學生的困難主要集中在如何確定商的位置以及商的大小如何快速地確定。試商的方法是將除數看成整十數，利用乘法口訣得到初商。這就是學生需要突破的困難點。讓學生經歷得到初商由慢到快的過程，才能更好地積累活動經驗，能力才得以發展。

三、立足單元結構備課，設計挑戰任務

小學數學教材由一個個相對獨立的單元構成，同一單元中的新知識又是按照一定的邏輯順序編寫，從而可以在單元學習的過程中讓學生形成良好的認知結構。但學生數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的，這些內容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜想、推理與交流等數學活動。所以挖掘數學知識的核心內涵需要根據學生的認知發展水平，已有的知識經驗、思維方式對教材進行充實和調整，適當整合相關內容，從而使教材展現出生機與活力。

[案例]：“除數是兩位數除法”單元設計思路

“除數是兩位數除法” 共包含7個例題：

例1：兩位數除以兩位數，商是一位數的口算除法

例2：三位數除以整十數的筆算除法

例3：兩位數除以兩位數，可以直接試商的筆算除法

例4：三位數除以兩位數，商是一位數，需要試商的筆算除法

例5：三位數除以兩位數，商是一位數，需要試商并調商的筆算除法

例6：三位數除以兩位數，商是兩位數，并安排驗算的筆算除法

例7：三位數除以兩位數的估算

教材編排的順序是先講口算，這對于學生而言并不困難，因為可以借助口訣求商。例2講解的是除數是整十數的筆算除法，這對于學生而言并不是很困難，因為仍然可以利用口訣進行求商。我們都知道當除數是一般兩位數時，需要將除數用“四舍五入”法估成整十數進行求商，于是例2的講解就為后續學習試商做了鋪墊。例3、例4、例5、例6五個例題的學習主要是圍繞當被除數是兩位數或者三位數，除數是兩位數時，學生利用筆算除法求商、試商、調商進行的，其實不管被除數、商是幾位數，學生試商、調商的方法都是一樣的，可以遷移進行學習。其實通過試得到商對學生而言并不難，難的是為什么要將除數估成整十數，只要弄清楚這一點，無論將來除數變成幾位數，學生都可以調用之前除數是兩位數除法的經驗進行解決。

教材的安排將學生的難點用7個例題進行分散，循序漸進逐一擊破。而依據前面對學生的分析，學生最困難的地方就是要將除數是一般兩位數的問題納入能利用乘法口訣的問題中來，而這個過程一定要慢下腳步，讓學生親自經歷猜想、嘗試、推理等一系列的活動，才可能積累起解決問題的經驗，真正具備解決除數是多位數的能力。

基于以上分析，本單元共設計三節核心課，每一節課上都給學生富有挑戰性的任務，在這樣的過程中培養學生的能力。

第一課時：多種方法解決除數是兩位數除法，讓學生利用分與合的經驗進行拆分解決，轉化為學過的知識。同時利用直觀學具進行自主研究，理解拆分被除數而不能拆分除數的道理。

【挑戰性任務】利用點子圖研究：被除數和除數究竟該拆誰呢？

【設計意圖】此環節讓學生自主計算336÷14，讓學生充分經歷算法多樣化的過程，體會分與合思想在計算中的應用。同時點子圖清楚明白地解釋拆除數不可行、拆被除數可行的道理，讓學生真正理解了其中的道理，做到知其然更知其所以然。

圖5

第二課時是在第一課時的基礎上學習除數是兩位數除法的筆算。學生在第一課時已經明確不能將除數進行拆分的道理，那如何確定商的大小以及位置就是本節課的重點。學生會經歷想辦法得到商到快速得到的商的過程，這種由慢到快的轉變便是將除數估成整十數試商的道理。

【挑戰性任務】如何確定商是幾？有沒有快速得到商的方法呢？

【設計意圖】利用舊知解決商是幾的問題，學生自己感覺這樣計算太慢，太麻煩，為尋求簡單的做法激發探究的興趣。學生經歷將除數看成接近的整十數試商的過程，突破學生難點，對接兒童利用口訣求商的經驗。

第三課時在前兩課時的基礎上，讓學生經歷調商的過程，明確商往大調還是往小調的道理。

【挑戰性任務】判斷商偏大還是偏小，如何進行調整？

【設計意圖】學生在自主嘗試解決問題的過程中，理解初商偏大或偏小的原因，掌握調商的方法。

當然三個課時對這個單元來講是遠遠不夠的，節省出來的課時可以加入適當的練習課以及關于整數計算的復習課，幫助學生建立完整的、系統的知識體系。

葉圣陶先生指出：“教材只是一個例子。”在整體視角下進行單元備課時，教師要整體把握教材，把脈學情，對數學教學進行創造性實踐，才能真正將數學的教與學落實到培養學生素養上來。