高質量數學課堂教學創新模式探究
——“思維導學”在平面解析幾何中的教學實踐

清華大學附屬中學永豐學校 劉洪亮 石 瑩

國內外教學改革始終把學生發展置于中心地位，旨在建構以學習中心的課堂，提高學生的學習力，提升學習效果，促進每一個學生的健康全面成長?！蛾P于進一步減輕義務教育階段學生作業負擔和校外培訓負擔的意見》要求落實立德樹人根本任務，強化學校教育主陣地作用，切實提升學校育人水平，促進學生全面發展、健康成長。教育部門要指導學校健全教學管理規程，研究高質量課堂教學模式，實現“減負”，優化教學方式，提高課堂教學效益。

一、選題緣由

“思維導學”課堂變革實踐研究目的指向減負提質，強調以學習為中心的教學創造，根據思維形成、發展規律，以“以學為本”為基本原則，以自主、合作、探究為基本途徑，以目標導航、路徑導引、問題導向為核心要素，以整體學習、關聯學習、創造學習、對話學習、選擇學習為主要方式，是一種促進學生思維力、學習力全面提升的課堂教學方式，注重學生核心素養的培養。

我校地處北京市海淀區北部城鄉接合處，多數學生存在偏科情況，往往瘸腿科目是數學。很多學生思維活躍，但過于發散，不愿動手，容易滿足于一知半解，普遍現象是學生“不想學”“不會學”、“不愛學”，數學教師普遍反映課堂創新思維的培養、知識邏輯的建立、知識遷移和應用能力的培養難以落地。

針對以上情況，為提高數學課堂教學質量，對“思維導學”教學模式進行教學實踐探究：為解決學生“不想學”以及數學課堂創新思維力培養難以落地的實際，探究創造學習在高中數學課堂教學中的有效策略；為解決“不會學”以及數學課堂知識邏輯混亂的實際，探究整體學習在高中數學課堂教學中的有效策略；為解決學生“不愛學”以及知識遷移和應用能力培養難以落地的實際，探究關聯學習在高中數學課堂教學中的有效策略。以整體學習、關聯學習、創造學習三種方式創新課堂教學模式，激發學生潛能，教師退隱為“導演”，把活躍在舞臺上的主動權交給學生，讓學生去創造，去真正的學習，明白學習的意義和價值。

二、三個核心要素

下面以“橢圓及其標準方程”為例，闡述“思維導學”教學模式的三個核心要素：目標導航、路徑導引、問題導學。

（一）三層目標，學習的“指南針”

每一課時結合新課程標準的素養水平劃分和布盧姆目標分類學，設計三層學習目標，每個目標具體、明確、可測，有明顯梯度。采用激勵性的肯定句“我能，我會”，采用導向性明確的“說出、求解、證明”等行為動詞，讓學生明確哪些目標可以通過自主學習完成、哪些目標需要合作學習完成、哪些目標需要在教師指導下通過探究學習完成。

“橢圓及其標準方程”三層學習目標如下：

表1 “橢圓及其標準方程”三層學習目標

（二）實現路徑，清晰的“學習地圖”

“實現路徑”對學習目標的達成非常重要，為學生的學習提供了路徑指引，指引學生按圖索驥達成學習目標，可以形象地稱為“學習地圖”（見表2）。

表2 學習地圖

（三）關鍵問題，主動探索的“發動機”

問題是思維的起點，是學生主動探索的動力。關鍵問題要與目標對應，引導學生逐步深入研究，將自主合作探究落到實處；例題練習設計與目標逐一對應，克服課堂訓練和課后作業的隨意性、盲目性，并最終達到讓學生學會學習的目標。

課前思考：(1)圓的定義是什么？圓的標準方程的形式怎樣？如何推導圓的標準方程呢？

關鍵問題：問題1.從剛才的活動探究中你得到了什么結論？能否用文字語言表述？(基礎性目標1)

(哪些在變，哪些不變？你能類比圓的定義給出橢圓的定義嗎？)

問題2.在定義中定長有無限制條件？

問題3.如何求解橢圓的方程？(拓展性目標1)

(怎樣才能將幾何條件解析化？)

問題4.給出方程后如何化簡？(拓展性目標2)

(有沒有簡單的化簡方法？類比圓的方程，能否把方程變得更簡潔？)

問題5.化簡方程以后又能發現什么特點？你是否明白了方程里面每一個字母的含義？(基礎性目標2)

例1.判斷下列動點M的軌跡是否為橢圓。(基礎性目標1)

(1)到F1(-1，0)，F2(1，0)的 距離之和為4的點M的軌跡；

(2)到F1(-1，0)，F2(1，0)的 距離之和為2的點M的軌跡；

(3)到F1(-1，0)，F2(1，0)的 距離之和為1的點M的軌跡。

例2.判斷下列方程是否為橢圓，若是，請說出橢圓的焦點在什么軸上，并說出焦點坐標、焦距。(基礎性目標2)

例3.求適合下列條件的橢圓標準方程。(拓展性目標3)

(1)兩 焦 點 坐 標 為F1(-1，0)、F2(1，0)，橢圓上一點P到兩焦點距離之和為4；

(2)兩 焦 點 坐 標 為F1(0，-1)、F2(0，1)，橢圓上一點P到兩焦點距離之和為4；

(3)兩 焦 點 坐 標 為F1(0，-1)、F2(0，1)，并且經過點P(2，0)。

備用問題：

問題6.根據橢圓的標準方程和軌跡，你能說出橢圓的幾何特征嗎？(挑戰性目標1)

問題7.橢圓上的點P到左右焦點的距離與什么變量有關？(挑戰性目標2)

三、三種學習方式

下面以“圓錐曲線與方程”單元起始課、“拋物線及其標準方程”“圓錐曲線與方程”單元復習課為例，闡述思維導學教學模式的三種學習方式：創造學習、整體學習、關聯學習。

（一）創造學習，培養學生創造性思維能力

創造學習包括基于知識“發現”、改題編題、學科思想等方式，把學習過程變成創造過程。創造學習可以實現課堂上的“以少勝多”，真正實現學生學習的權利，有利于學生打開思維，創造屬于自己的認知，增強對學科思想的感知和理解，進而提高學生的創造性思維能力。

“圓錐曲線與方程”單元復習課設計主要內容如下：

關鍵問題：

若再加進來一條直線1，直線1放哪兒？我們可以研究哪些數量關系和位置關系？再加入一個點呢？

圖1

圖2

逆向思維、整體構建，引導學生從方程思想、軌跡方程兩個角度去構造，有利于學生主動提取橢圓的幾何性質等相關知識，整體認識橢圓的定義、方程、性質。學生自己加入直線，有利于整體把握直線在特殊位置時的問題情境，情境為幾何問題，解決方法為代數方法，不斷體會解析幾何中用代數方法解決幾何問題的本質，從命題者角度理解直線和橢圓的位置關系可以研究的相關問題，整體認識直線和橢圓。

（二）整體學習，培養學生系統思維能力

整體學習包括基于知識單元（章節）、概念體系、現象理解的三種方式。章節起始課應建立單元(章節、模塊)知識的框架，引導學生了解概念演變為概念體系的思路，從全方位認識事物發展的規律入手，引導學生把有關的零碎知識構建成一個相對完整的“知識樹”，把零散的知識結構化，培養學生的系統思維。

“圓錐曲線與方程”單元起始課設計主要內容如下。

課堂活動：

1.把細繩的兩端都固定在圖板的同一點處；套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖（動點）畫出的軌跡是什么？

2.如果把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么？

3.取一條拉鏈，打開它的一部分，在一邊減掉一段，然后把兩頭分別固定在兩點處，隨著拉鏈逐漸拉開或者閉攏，拉鏈頭所經過的點畫出的軌跡是什么？

課堂活動2：請快速閱讀課本完成知識清單的梳理：橢圓的定義及標準方程、雙曲線的定義及標準方程、拋物線的定義及標準方程。

關鍵問題：

問題1.為什么這些曲線叫作圓錐曲線？

用一個平面去截一個圓錐面，當平面與圓錐面所成的角不同時，截線存在什么情況？

問題2.幾何為什么要代數化？幾何如何代數化？圓的標準方程如何求解？你能總結求解方程的步驟嗎？

問題3.如何理解曲線的方程和方程的曲線？

（三）關聯學習，培養學生的綜合思維能力

關聯學習包括基于概念間、學科間以及知識與社會、生活、科技之間關系的學習方式。這種學習方式有利于幫助學生建立同學科乃至不同學科概念之間以及知識與社會、生活、科技之間的關系，進一步提升對學習意義和價值的認識，培養學生分析和解決問題的綜合思維能力。

“拋物線及其標準方程”關聯學習教學設計主要內容如下。

課前思考：

1.二次函數的圖象是什么樣子？

2.已知直線l：y=-1，點F(0，1)，動點M(x，y)到F的距離與它到直線l的距離相等，求動點M的軌跡方程，你知道它是什么軌跡嗎？(關聯二次函數)

關鍵問題：

問題1.二次函數的圖象是拋物線，你知道它是滿足什么條件的動點的軌跡嗎？

問題2.如果，滿足條件的點的軌跡是拋物線嗎？

問題3.求解軌跡方程的步驟是什么？請你根據拋物線的定義推導拋物線的標準方程。例1：如下圖，一拋物線形拱橋，當拱頂到水面的距離為2m時，水面寬度為4m，那么水位下降1m后，求水面的寬度。(關聯生活)

四、感悟與思考

“雙減”政策的出臺，需要每一位從事教育工作的教師參與其中，創新課堂教學模式，實現高質量課堂教學。“思維導學”優勢之一，為有利于提升學生的學習力。以學生全面發展為中心，設計三層學習目標、實現路徑、關鍵問題，引導學生逐步深入自主、合作探究。三層學習目標引導學生獨立探究學習，拉齊基礎、了解重點，實現路徑指引學生“按圖索驥”，關鍵問題和例題練習與學習目標相對應，學生對照目標檢測目標達成度，有效提高學生的學習內驅力，提高學習成就感，以成就感提升學習力?！八季S導學”優勢之二，為有利于提升學生的思維力。以發展學生思維為目的，通過創造學習、整體學習、關聯學習三種學習方式創新課堂教學模式，解決學生“不想學”、“不會學”“不愛學”的問題，激活學生創造力，激發學生潛能，打開學生思維，課堂上實現創新思維的培養、知識邏輯的建立、知識遷移和應用能力的培養，從而全面提升思維力。