高質(zhì)量數(shù)學(xué)課堂教學(xué)創(chuàng)新模式探究
——“思維導(dǎo)學(xué)”在平面解析幾何中的教學(xué)實踐

清華大學(xué)附屬中學(xué)永豐學(xué)校 劉洪亮 石 瑩

國內(nèi)外教學(xué)改革始終把學(xué)生發(fā)展置于中心地位，旨在建構(gòu)以學(xué)習(xí)中心的課堂，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)力，提升學(xué)習(xí)效果，促進每一個學(xué)生的健康全面成長?！蛾P(guān)于進一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負擔(dān)和校外培訓(xùn)負擔(dān)的意見》要求落實立德樹人根本任務(wù)，強化學(xué)校教育主陣地作用，切實提升學(xué)校育人水平，促進學(xué)生全面發(fā)展、健康成長。教育部門要指導(dǎo)學(xué)校健全教學(xué)管理規(guī)程，研究高質(zhì)量課堂教學(xué)模式，實現(xiàn)“減負”，優(yōu)化教學(xué)方式，提高課堂教學(xué)效益。

一、選題緣由

“思維導(dǎo)學(xué)”課堂變革實踐研究目的指向減負提質(zhì)，強調(diào)以學(xué)習(xí)為中心的教學(xué)創(chuàng)造，根據(jù)思維形成、發(fā)展規(guī)律，以“以學(xué)為本”為基本原則，以自主、合作、探究為基本途徑，以目標導(dǎo)航、路徑導(dǎo)引、問題導(dǎo)向為核心要素，以整體學(xué)習(xí)、關(guān)聯(lián)學(xué)習(xí)、創(chuàng)造學(xué)習(xí)、對話學(xué)習(xí)、選擇學(xué)習(xí)為主要方式，是一種促進學(xué)生思維力、學(xué)習(xí)力全面提升的課堂教學(xué)方式，注重學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

我校地處北京市海淀區(qū)北部城鄉(xiāng)接合處，多數(shù)學(xué)生存在偏科情況，往往瘸腿科目是數(shù)學(xué)。很多學(xué)生思維活躍，但過于發(fā)散，不愿動手，容易滿足于一知半解，普遍現(xiàn)象是學(xué)生“不想學(xué)”“不會學(xué)”、“不愛學(xué)”，數(shù)學(xué)教師普遍反映課堂創(chuàng)新思維的培養(yǎng)、知識邏輯的建立、知識遷移和應(yīng)用能力的培養(yǎng)難以落地。

針對以上情況，為提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量，對“思維導(dǎo)學(xué)”教學(xué)模式進行教學(xué)實踐探究：為解決學(xué)生“不想學(xué)”以及數(shù)學(xué)課堂創(chuàng)新思維力培養(yǎng)難以落地的實際，探究創(chuàng)造學(xué)習(xí)在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的有效策略；為解決“不會學(xué)”以及數(shù)學(xué)課堂知識邏輯混亂的實際，探究整體學(xué)習(xí)在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的有效策略；為解決學(xué)生“不愛學(xué)”以及知識遷移和應(yīng)用能力培養(yǎng)難以落地的實際，探究關(guān)聯(lián)學(xué)習(xí)在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的有效策略。以整體學(xué)習(xí)、關(guān)聯(lián)學(xué)習(xí)、創(chuàng)造學(xué)習(xí)三種方式創(chuàng)新課堂教學(xué)模式，激發(fā)學(xué)生潛能，教師退隱為“導(dǎo)演”，把活躍在舞臺上的主動權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生去創(chuàng)造，去真正的學(xué)習(xí)，明白學(xué)習(xí)的意義和價值。

二、三個核心要素

下面以“橢圓及其標準方程”為例，闡述“思維導(dǎo)學(xué)”教學(xué)模式的三個核心要素：目標導(dǎo)航、路徑導(dǎo)引、問題導(dǎo)學(xué)。

（一）三層目標，學(xué)習(xí)的“指南針”

每一課時結(jié)合新課程標準的素養(yǎng)水平劃分和布盧姆目標分類學(xué)，設(shè)計三層學(xué)習(xí)目標，每個目標具體、明確、可測，有明顯梯度。采用激勵性的肯定句“我能，我會”，采用導(dǎo)向性明確的“說出、求解、證明”等行為動詞，讓學(xué)生明確哪些目標可以通過自主學(xué)習(xí)完成、哪些目標需要合作學(xué)習(xí)完成、哪些目標需要在教師指導(dǎo)下通過探究學(xué)習(xí)完成。

“橢圓及其標準方程”三層學(xué)習(xí)目標如下：

表1 “橢圓及其標準方程”三層學(xué)習(xí)目標

（二）實現(xiàn)路徑，清晰的“學(xué)習(xí)地圖”

“實現(xiàn)路徑”對學(xué)習(xí)目標的達成非常重要，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供了路徑指引，指引學(xué)生按圖索驥達成學(xué)習(xí)目標，可以形象地稱為“學(xué)習(xí)地圖”（見表2）。

表2 學(xué)習(xí)地圖

（三）關(guān)鍵問題，主動探索的“發(fā)動機”

問題是思維的起點，是學(xué)生主動探索的動力。關(guān)鍵問題要與目標對應(yīng)，引導(dǎo)學(xué)生逐步深入研究，將自主合作探究落到實處；例題練習(xí)設(shè)計與目標逐一對應(yīng)，克服課堂訓(xùn)練和課后作業(yè)的隨意性、盲目性，并最終達到讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)的目標。

課前思考：(1)圓的定義是什么？圓的標準方程的形式怎樣？如何推導(dǎo)圓的標準方程呢？

關(guān)鍵問題：問題1.從剛才的活動探究中你得到了什么結(jié)論？能否用文字語言表述？(基礎(chǔ)性目標1)

(哪些在變，哪些不變？你能類比圓的定義給出橢圓的定義嗎？)

問題2.在定義中定長有無限制條件？

問題3.如何求解橢圓的方程？(拓展性目標1)

(怎樣才能將幾何條件解析化？)

問題4.給出方程后如何化簡？(拓展性目標2)

(有沒有簡單的化簡方法？類比圓的方程，能否把方程變得更簡潔？)

問題5.化簡方程以后又能發(fā)現(xiàn)什么特點？你是否明白了方程里面每一個字母的含義？(基礎(chǔ)性目標2)

例1.判斷下列動點M的軌跡是否為橢圓。(基礎(chǔ)性目標1)

(1)到F1(-1，0)，F(xiàn)2(1，0)的 距離之和為4的點M的軌跡；

(2)到F1(-1，0)，F(xiàn)2(1，0)的 距離之和為2的點M的軌跡；

(3)到F1(-1，0)，F(xiàn)2(1，0)的 距離之和為1的點M的軌跡。

例2.判斷下列方程是否為橢圓，若是，請說出橢圓的焦點在什么軸上，并說出焦點坐標、焦距。(基礎(chǔ)性目標2)

例3.求適合下列條件的橢圓標準方程。(拓展性目標3)

(1)兩 焦 點 坐 標 為F1(-1，0)、F2(1，0)，橢圓上一點P到兩焦點距離之和為4；

(2)兩 焦 點 坐 標 為F1(0，-1)、F2(0，1)，橢圓上一點P到兩焦點距離之和為4；

(3)兩 焦 點 坐 標 為F1(0，-1)、F2(0，1)，并且經(jīng)過點P(2，0)。

備用問題：

問題6.根據(jù)橢圓的標準方程和軌跡，你能說出橢圓的幾何特征嗎？(挑戰(zhàn)性目標1)

問題7.橢圓上的點P到左右焦點的距離與什么變量有關(guān)？(挑戰(zhàn)性目標2)

三、三種學(xué)習(xí)方式

下面以“圓錐曲線與方程”單元起始課、“拋物線及其標準方程”“圓錐曲線與方程”單元復(fù)習(xí)課為例，闡述思維導(dǎo)學(xué)教學(xué)模式的三種學(xué)習(xí)方式：創(chuàng)造學(xué)習(xí)、整體學(xué)習(xí)、關(guān)聯(lián)學(xué)習(xí)。

（一）創(chuàng)造學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力

創(chuàng)造學(xué)習(xí)包括基于知識“發(fā)現(xiàn)”、改題編題、學(xué)科思想等方式，把學(xué)習(xí)過程變成創(chuàng)造過程。創(chuàng)造學(xué)習(xí)可以實現(xiàn)課堂上的“以少勝多”，真正實現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的權(quán)利，有利于學(xué)生打開思維，創(chuàng)造屬于自己的認知，增強對學(xué)科思想的感知和理解，進而提高學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。

“圓錐曲線與方程”單元復(fù)習(xí)課設(shè)計主要內(nèi)容如下：

關(guān)鍵問題：

若再加進來一條直線1，直線1放哪兒？我們可以研究哪些數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？再加入一個點呢？

圖1

圖2

逆向思維、整體構(gòu)建，引導(dǎo)學(xué)生從方程思想、軌跡方程兩個角度去構(gòu)造，有利于學(xué)生主動提取橢圓的幾何性質(zhì)等相關(guān)知識，整體認識橢圓的定義、方程、性質(zhì)。學(xué)生自己加入直線，有利于整體把握直線在特殊位置時的問題情境，情境為幾何問題，解決方法為代數(shù)方法，不斷體會解析幾何中用代數(shù)方法解決幾何問題的本質(zhì)，從命題者角度理解直線和橢圓的位置關(guān)系可以研究的相關(guān)問題，整體認識直線和橢圓。

（二）整體學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)思維能力

整體學(xué)習(xí)包括基于知識單元（章節(jié)）、概念體系、現(xiàn)象理解的三種方式。章節(jié)起始課應(yīng)建立單元(章節(jié)、模塊)知識的框架，引導(dǎo)學(xué)生了解概念演變?yōu)楦拍铙w系的思路，從全方位認識事物發(fā)展的規(guī)律入手，引導(dǎo)學(xué)生把有關(guān)的零碎知識構(gòu)建成一個相對完整的“知識樹”，把零散的知識結(jié)構(gòu)化，培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)思維。

“圓錐曲線與方程”單元起始課設(shè)計主要內(nèi)容如下。

課堂活動：

1.把細繩的兩端都固定在圖板的同一點處；套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖（動點）畫出的軌跡是什么？

2.如果把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么？

3.取一條拉鏈，打開它的一部分，在一邊減掉一段，然后把兩頭分別固定在兩點處，隨著拉鏈逐漸拉開或者閉攏，拉鏈頭所經(jīng)過的點畫出的軌跡是什么？

課堂活動2：請快速閱讀課本完成知識清單的梳理：橢圓的定義及標準方程、雙曲線的定義及標準方程、拋物線的定義及標準方程。

關(guān)鍵問題：

問題1.為什么這些曲線叫作圓錐曲線？

用一個平面去截一個圓錐面，當平面與圓錐面所成的角不同時，截線存在什么情況？

問題2.幾何為什么要代數(shù)化？幾何如何代數(shù)化？圓的標準方程如何求解？你能總結(jié)求解方程的步驟嗎？

問題3.如何理解曲線的方程和方程的曲線？

（三）關(guān)聯(lián)學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的綜合思維能力

關(guān)聯(lián)學(xué)習(xí)包括基于概念間、學(xué)科間以及知識與社會、生活、科技之間關(guān)系的學(xué)習(xí)方式。這種學(xué)習(xí)方式有利于幫助學(xué)生建立同學(xué)科乃至不同學(xué)科概念之間以及知識與社會、生活、科技之間的關(guān)系，進一步提升對學(xué)習(xí)意義和價值的認識，培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題的綜合思維能力。

“拋物線及其標準方程”關(guān)聯(lián)學(xué)習(xí)教學(xué)設(shè)計主要內(nèi)容如下。

課前思考：

1.二次函數(shù)的圖象是什么樣子？

2.已知直線l：y=-1，點F(0，1)，動點M(x，y)到F的距離與它到直線l的距離相等，求動點M的軌跡方程，你知道它是什么軌跡嗎？(關(guān)聯(lián)二次函數(shù))

關(guān)鍵問題：

問題1.二次函數(shù)的圖象是拋物線，你知道它是滿足什么條件的動點的軌跡嗎？

問題2.如果，滿足條件的點的軌跡是拋物線嗎？

問題3.求解軌跡方程的步驟是什么？請你根據(jù)拋物線的定義推導(dǎo)拋物線的標準方程。例1：如下圖，一拋物線形拱橋，當拱頂?shù)剿娴木嚯x為2m時，水面寬度為4m，那么水位下降1m后，求水面的寬度。(關(guān)聯(lián)生活)

四、感悟與思考

“雙減”政策的出臺，需要每一位從事教育工作的教師參與其中，創(chuàng)新課堂教學(xué)模式，實現(xiàn)高質(zhì)量課堂教學(xué)?！八季S導(dǎo)學(xué)”優(yōu)勢之一，為有利于提升學(xué)生的學(xué)習(xí)力。以學(xué)生全面發(fā)展為中心，設(shè)計三層學(xué)習(xí)目標、實現(xiàn)路徑、關(guān)鍵問題，引導(dǎo)學(xué)生逐步深入自主、合作探究。三層學(xué)習(xí)目標引導(dǎo)學(xué)生獨立探究學(xué)習(xí)，拉齊基礎(chǔ)、了解重點，實現(xiàn)路徑指引學(xué)生“按圖索驥”，關(guān)鍵問題和例題練習(xí)與學(xué)習(xí)目標相對應(yīng)，學(xué)生對照目標檢測目標達成度，有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力，提高學(xué)習(xí)成就感，以成就感提升學(xué)習(xí)力。“思維導(dǎo)學(xué)”優(yōu)勢之二，為有利于提升學(xué)生的思維力。以發(fā)展學(xué)生思維為目的，通過創(chuàng)造學(xué)習(xí)、整體學(xué)習(xí)、關(guān)聯(lián)學(xué)習(xí)三種學(xué)習(xí)方式創(chuàng)新課堂教學(xué)模式，解決學(xué)生“不想學(xué)”、“不會學(xué)”“不愛學(xué)”的問題，激活學(xué)生創(chuàng)造力，激發(fā)學(xué)生潛能，打開學(xué)生思維，課堂上實現(xiàn)創(chuàng)新思維的培養(yǎng)、知識邏輯的建立、知識遷移和應(yīng)用能力的培養(yǎng)，從而全面提升思維力。