聚合·回歸·發散：數學單元復習的實踐路徑
——以三年級下冊第五單元“面積”為例

蔡林斐

浙江省溫嶺市大溪小學 317500

復習課，不能簡單粗暴地套用新授課的模式，如果這樣，勢必讓學生索然無味；如果瘋狂刷題，也只能事倍功半。多年的實踐經驗證明，復習課，除了注重知識的梳理，關注各知識點間的關聯，還要準確把握其生長點，進行綜合性的鞏固訓練，適當進行拓展與延伸，讓知識的內涵與外延得到充分的解讀與展示，達成知識的本質回歸。

一、聚合，厘清知識關聯

“知識聚合”在這里包含兩個層面：第一是“知識點的聚合”，從內容層面梳理一節課、一單元甚至一整冊的知識，厘清各知識點之間的關聯性和系統性；二是“數學方法聚合”，不僅僅是聚合某一個知識點的數學方法，更需要學會以數學思想方法為線索架構知識體系。基于以上分析與思考，“面積”復習課的教學實踐可以借助思維導圖的形式進行知識的聚合，來厘清知識間的關聯。

（一）回憶式摘錄，重現知識結構

就像電影里的閃回，用較短的時間將單元內容在頭腦中回顧一遍，然后以摘記的形式呈現出來。回憶的過程就是一次知識的整理過程，這時候講得再多、再生動、再細致也是徒勞的，教師必須舍得“浪費”時間。像“面積”單元的復習，面積和面積單位，長方形和正方形面積的計算，面積單位間的進率……一個個知識點都會在學生頭腦中一一重現。這種機械式呈現，看似將知識碎片化了，但一旦經過大腦的作用，就會自動在一個個孤立的堡壘之間產生千絲萬縷的聯系。如講到長方形和正方形的面積計算，當長方形的寬延長到與它的長一樣時，就變成了正方形，所以說正方形實際上就是特殊的長方形。這個時候，教師只要給予學生充分的鼓勵，給予學生更多的思考時間和表現機會，就能很好地建構起數學的知識結構。

圖1

（二）表格式對比，厘清知識關聯

制表梳理不失為一種較好的復習方法。從周長和面積的意義、計算公式、單位名稱，到相鄰單位間的進率，再到兩者的聯系，項項點點，清晰羅列，精準比較，使學生對于長方形、正方形的周長與面積的異同點、關聯點一目了然（如表1）。通過自制表格對所要復習的內容已有所了解，課堂上學生急于表達自己復習時的收獲和困惑。這個時候，教師可順水推舟，將時間交給學生，讓他們去展示交流。

表1

通過交流，學生明白，關于意義的區別在于，周長是講長度的，面積是講大小的。面積的單位名稱要在長度單位名稱前加上“平方”兩字。相鄰單位的進率是10 與100 的區別，正方形就是特殊的長方形。當然，交流的形式可以不拘一格。可以先在小組內展開，因為學生在小組內的交流是最無拘無束的，最能將其真實的想法展示出來。然后，以小組匯報的形式，集中展示典型思想，其他學生可以從中得到及時的提醒和啟發。學生在傾聽的同時，也作合理的補充，真正實現“學學相長、共同提高”，這其實就是課堂上的一道亮麗風景。

（三）導圖式勾勒，形成合理認知

繪制思維導圖的過程是使知識點形成知識網絡的過程。教師要在復習課前就布置學生結合內容繪制思維導圖，讓他們自己先梳理知識結構，雖然制作思維導圖不是件容易的事，是個循序漸進的過程，特別對于三年級的小學生來說，思維導圖只是整理知識點的一種手段，他們繪制的思維導圖可能很幼稚、不完整，甚至有錯誤，但是在繪制思維導圖的過程中，他們經歷了一場暴風驟雨式的頭腦反思與洗禮。在“面積復習”這一課中，學生根據自己的整理，繪制出輻射圖、括號圖、樹狀圖、魚骨圖等形式的思維導圖（圖2），圖文并茂，條分縷析，真是可圈可點。從圖中可以看出，有學生繪制思維導圖的形式雖然不同，但都是殊途同歸。這個時候，教師要安排一次交流，讓其他學生指出思維導圖的優缺點后，留出足夠的時間讓學生進行自我反思，尋找課前自己繪制的思維導圖中的不足，做進一步的調整與修改。這樣的復習課，有效進行了學科融合，在建構知識網絡、形成知識體系的同時，鍛煉了學生的口語交際能力，培養了他們欣賞美和表達美的情感。開放的課堂，趣味性強，既生動又活潑，學生樂在其中，復習的有效性不言而喻。

圖2

二、回歸，夯實本質概念

學生已經基本弄清各知識點之間的內在聯系，也已經明白復習課不僅是一個單元的整體復習，還是一個知識點的系統復習，也是相關聯知識間的整合復習。學生經歷了知識的聚合、思維的發散之后，更要關注知識點的鞏固，讓數學魅力得到充分發揮，以實現知識的本質回歸。

（一）暴露缺陷，填補知識漏洞

課堂進入練習環節，目的是想通過適當的練習加強學生對知識的鞏固。設計練習題時，教師既要考慮知識的廣度和深度，也要考慮習題的梯度，讓所有學生都能夠暴露知識的缺陷，便于及時彌補知識漏洞。有這樣三道題目：

1.比較大小

7 平方米○75 平方分米

20000 平方厘米○20 平方米

3 平方千米○3 公頃

800 米○800 平方厘米

2.用一張長2 分米、寬18 厘米的白紙，剪邊長為3 厘米的小正方形，最多能剪幾個？

①36 個 ②40 個

③12 個 ④120 個

3.A、B 兩個花壇（圖3），花壇中間有條石子路，這兩個花壇的周長哪個長？

圖3

由于題目涉及的知識范圍較廣，思維含量較高，學生必須“用自己的頭腦去分析”。習題的設計相對而言比較優秀，具有較高的層次性和啟發性。課堂上，教師首先要求學生獨立思考自主完成相應的練習，接著在全班范圍內訂正答案。學生自行訂正后，暴露出本單元的知識掌握缺陷之處，便于接下來的條分縷析，加強針對性的練習，來填補這一知識的漏洞。

（二）條分縷析，提升思維品質

一節課最精彩的部分必定來源于學生。質疑提問、生生互動，這一條路必須堅持走下去，做到真正地把時間還給學生，把課堂還給學生。對于上文三道題目的訓練所暴露出來的知識缺陷，筆者組織學生進行深入的探討與分析，尋找錯誤原因并對癥下藥。第1 題中學生暴露的主要問題是單位之間的換算是乘以進率還是除以進率弄不清，第4 小題出現大于號也大有人在。這是把長度單位與面積單位混為一談了。第2 題則簡單地認為20×18÷（3×3）=40（個），這種計算，從理論層面來講，是完全正確的，殊不知實際裁剪時，長邊只能剪6 次，寬剪6 次剛好，正確答案應該選①36個。錯誤原因是脫離了生活實際。第3題很多學生認為，A 花壇的周長大于B花壇，只要動手用筆畫一畫，正確答案是顯而易見的。兩個圖形的周長都是長加寬再加石子路的長度，是一樣長的。錯誤原因還是沒有把長方形周長和面積的概念弄清楚。學生明白，這個過程中，一定要用“表達”的方式發表自己對習題的審題與分析、解題的方法與思路、解題的過程與體會，不人云亦云，要能夠“用自己的語言去支撐自己的分析”，并逐漸地樹立起自主學習的意識和思維品質。

（三）綜合運用，獲得知識技能

抽象的數學知識光靠口頭描述，部分學生會難以接受，更難以進一步地深入和拓寬知識面。這里拓寬的不僅有學習技能的空間，還有實踐運用的空間。為了更好地彌補知識的漏洞，夯實本質概念，教師要加強對這些知識的綜合訓練。

1.仔細推敲，認真辨析。

（1）一個正方形，邊長是4 分米，它的周長與面積相等。（ ）

（2）面積相等的一個長方形和一個正方形，它們的周長一定相等。（）

2.小芳家準備將客廳地面鋪上地板，有兩種規格的地板可供選擇，第一種長90 厘米，寬10 厘米，第二種長120厘米，寬20 厘米，已知客廳長8 米，寬4米5 分米，請你幫忙算算各需多少塊？

3.第一個正方形的邊長比第二個正方形的邊長長3 厘米，第一個正方形的面積比第二個正方形的面積大57 平方厘米，求每個正方形的面積。

習題的設計相對而言比較優秀，針對性強，具有較高的層次性和啟發性。第1 題辨析，是針對學生把周長和面積概念混淆設計的；第2 題是針對學生脫離生活實際設計的；第3 題就是一道集綜合性和挑戰性于一體的題目，讓學有余力的學生挑戰一下。通過綜合訓練，學生在獲得各種認知策略、發展反思、元認知等能力的同時，認知水平不斷攀升，知識體系牢固建構，知識技能不斷獲得，解決問題也得心應手。

三、發散，展示數學魅力

在思維上，數學知識的整理與復習課的設計應該體現“發散”，把數學核心知識置于多維度的問題情境之中，并以其為中心進行拓展、發展，引導學生形成多角度的思維，并建立知識間的多元聯系，做到形散神不散。常用的綜合訓練是對學生進行“發散”思維訓練的重要形式。

（一）橫向擴散，培養思維的廣闊性

橫向擴散就是指由一道題目橫向發散出一類題目，粗看面目很相似，細細思考卻別有洞天。學生通過學一道題，獲得解一類題的本領，呈現“一把鑰匙開多把鎖”的大好局面，能幫助自己認清知識間的關系，培養思維的廣闊性，加深對知識的理解。

用20 厘米長的鐵絲可以圍成幾種不同的長方形（長和寬均為整數），計算圍成長方形的周長和面積，填入表2。然后觀察表中的數據，說說你都知道了什么？

表2

通過進行排列分析，可以得到五種情況，發現不管長與寬怎么變化，周長都不會改變，但隨著長與寬的長度差距逐漸減少，面積則逐漸變大，正方形的面積比長方形的面積都大。由此橫向擴散至“一張邊長是10 厘米的正方形紙中，沿邊緣剪去一個長6 厘米、寬4 厘米的長方形。剩下部分的面積是多少？剩下部分的周長呢？”的剪紙問題和鋪地板問題，都可以用這種排列的方法解決。運用排列的方法，可以訓練學生思維的系統性，培養學生全盤考慮問題的能力。這樣的訓練越多，學生的思維就會變得越縝密，分析問題的能力也會不斷提升，這對培養學生思維的廣闊性大有裨益。

（二）逆向求異，培養思維的靈活性

逆向求異是指一道習題，由于不同學生所審視的方向各有不同，因此解題思路也就不同。這是一種訓練力度較大的思維活動，開放的條件，開放的結論，必定通過開放的思維方式來解決問題。學生練了太多的順向思維的習題，碰到逆向思維的習題就束手無策，顯得思維的靈活性不夠。求長方形的周長和面積，往往要先知道長方形的長和寬是多少，然后按照公式代入計算即可。這種順向思維的問題是比較容易解決的。然而，有這樣兩道題目，如右上。

1.在方格紙上畫幾個長方形或正方形，使它們的周長都相等，然后比較一下它們的面積，你能發現什么？

2.畫出面積是24 平方厘米的長方形（長寬是整厘米數），并計算出這些長方形的周長。

這兩道題目已知周長和面積，長與寬都是開放的，只有在厘清它們的內在聯系后，方能理順彼此的關系，找到科學的解決辦法。在復習課習題教學中，教師要抓住一切有利時機，經常有意識地啟發、引導學生在所學的知識范圍內思考不同的解題思路，有利于培養學生思維的靈活性。

（三）縱向挖掘，培養思維的深刻性

縱向挖掘，就是由一道基礎題，不斷增加條件，習題的難度跟著一步步加大。對于這些縱向挖掘的習題而言，其復雜程度可想而知。這就需要教師對固有條件進行綜合剖析，找準變量與不變的量，進行變式訓練。

1.學校操場原來長50 米，寬20米，這個操場面積多少平方米？

2.學校操場原來長50 米，寬20米，擴建后長增加50 米，這個操場面積增加多少平方米？

3.學校操場原來長50 米，寬20米，擴建后長增加50 米，寬增加20 米，這個操場面積增加多少平方米？

課堂上，學生讀題后提問：這三道題，有什么不一樣？通過讀題，學生發現，第2 題只有一個變量，第3 題有兩個變量。看得出來，由第1 題演變出的2、3 兩題頗具挑戰性。這類“變式”訓練，極易激發學生參與挑戰的欲望，讓他們在比較中尋找解決問題的方法，在挑戰中享受學習的樂趣。通過一題多探、一題深探的課堂實踐，實現了真正意義上培養學生探究能力和實踐創新能力以及思維的深刻性。

總而言之，鞏固舊知，又獲得新知，在不斷循環的過程中，學生的認知水平得到螺旋上升。教學中，教師善于啟發學生的多維思維進行整體復習，向學生滲透事物間互相聯系、互相依存的辯證思想，不僅有利于加深對面積單元知識的鞏固，還有利于培養學生有序思考、歸納整理的能力，推動學生在原有基礎上進一步發展，在真實學習中進一步成長！