鏈接“文化”溝通“模型”
——“圓”單元整體教學實踐與思考

顏壽春

浙江省溫嶺市教育科學研究室 317500

六年級上冊第五單元“圓”內涵豐富，承載著深厚的文化元素，通過這個單元的學習，不僅能加深學生對周圍事物的理解，激發學習數學的興趣，也為后續研究圓柱、圓錐相關知識奠定了基礎。探究圓的知識，還要用到“轉化、極限”等思想方法，能有效促進學生“直觀想象、邏輯推理、抽象、建模、運算”等能力的發展［1］。

一、整體設計、分散難點

由于“圓”是小學數學平面圖形中唯一一個曲線圖形，從直線圖形到曲線圖形，學生的知識結構進入了一個新的領域，研究問題的方式需要進行遷移與創新，再加上本單元概念多、公式雜、題目靈活多變，教師需從學生認知特點和規律出發，“整體設計單元教學，穩扎穩打有序推進”，以下便是本單元調整補充后的整體設計（表1）。

表1

二、品味文化，感悟思想

在“數學文化”的大背景中進行數學教學，能讓學生在追根溯源中明白知識的來龍去脈［2］。

本單元有三處承載了數學文化，一是《墨經》中記載的“圓，一中同長也”，二是《周髀算經》中的“圓出于方”和“周三徑一”，三是劉徽的割圓術。從文化的高度研究數學課堂，對這些數學史料進行再加工、再創造，還原知識形成的過程，把知識的科學性和文化性有機融合，可以讓數學與學生更加緊密聯結。

1.對比操作，理解“一中同長”

在認識圓的特征時，按照概念形成的4 個階段：“認識階段、分析階段、構建階段、應用階段”設計教學過程，能讓學生充分理解概念的本質［2］。認識階段：從六千年前人類制造的史上第一個圓形輪子，引出“為何輪子都是圓的”？學生交流之后驗證，嘗試用直尺、線繩、圓規3 種不同的方式畫圓，找到共同點。教師順勢引出2000 多年前墨子的“圓，一中同長也”。分析階段：“一中”指一個中心，“同長”指圓上每一個點到中心的距離相等。構建階段：結合圓的各部分名稱和特點，讓學生體會“一中同長”，再與正三角形、正方形、正五邊形等正多邊形比較，進一步理解“一中同長”，得出“邊的數量越多，中心點到頂點和邊的距離越來越接近，但始終不相等，直至變成一個圓，才有與中心點等距”的特征。應用階段：學生運用圓的特征解釋本課開始時提出的“輪子為什么是圓形的”，再討論“窖井蓋為什么是圓的”。

2.猜想驗證，推理“周三徑一”

在教學圓的周長時，教師讓學生自由猜想怎樣得到圓周長，圓周長怎樣計算，然后出示正方形里一個最大的圓，圓內再畫一個正六邊形，讓學生直觀感受到“C正六邊形＜C圓＜C正方形”，而“C正六邊形=6r=3d”“C正方形=4d”，就推理出了“3d＜C圓＜4d”。接著介紹《周髀算經》中記載的“周三徑一”，教師適時激勵：“這是一個非常嚴謹的推理過程，你們通過觀察和推理，得出的結論與幾千年前古人的研究如出一轍，真了不起。”在激勵中，教師引導學生繼續探索到底是介于3d 與4d之間的哪個數，最后介紹劉徽的割圓術和祖沖之發現的數據，以及之后的人們用分析法計算出的圓周率，直至今天的人們用計算機算出了小數點后數十萬億位，這些探索不斷推動著數學科學的發展。

3.引導遷移，探究“化曲為直”

圓的面積公式推導中，“化曲為直”的思想是核心。首先，學生借助經驗，發現“數方格”這一方法的不足，進而提出“怎樣將圓轉化成學過的圖形”。在對平行四邊形等平面圖形推導過程的回憶后，學生領悟到用“新知轉化成舊知”的方法去遷移學習新知。圓和哪個熟悉圖形可以建立聯系？將目標聚焦到正方形上，接著引導學生猜想面積的倍數關系。第三環節是驗證猜想，通過小組合作，在剪一剪、拼一拼的動手操作中，把圓不斷地平均分，轉化成長方形來思考，學生親歷“轉化”的過程，進一步內化了“化曲為直”的思想方法。

4.精準演繹，支撐“極限思想”

圓的面積推導過程中，學生對于“平均分的份數（偶數份）越多，拼成的圖形越接近長方形”這樣的表述理解有困難，此時，教師要借圖形軟件助力精準演繹，為學生提供強有力的視覺支持，讓學生清楚地看到：把圓動態平均分成4 份、8 份、16 份、32 份……拼成的圖形就越接近平行四邊形。并將這個過程用數學語言進行精準表達，如：因為長方形的長是圓周長的一半，即πr，長方形的寬是圓的半徑，即r，長方形的面積等于長×寬=πr×r，所以，圓的面積=πr×r=πr2。這時教師要適時板書，幫助學生更清楚地理解轉化過程。

三、共性歸整，模型求聯

數學上的求聯，是對數學學習的諸多元素，通過主動建構聯系，由已知熟悉的概念聯想到相關的概念，并根據一定的維度關系進行組合與排列，構成一個穩定的模塊儲存于學習者的認知庫里。本單元基于求聯的學習方式，能有效減輕學生的學習負擔，促使“四基”整體提升。

1.去偽存真，情境求聯

教師要設計題組讓學生在解決實際問題的分析、比較中更進一步加深對知識的理解。例如：“在一個半徑為5 米的圓形花圃，圍一條寬為3 米的環形石子路。這條環形路的面積是多少平方米？”“一個半圓形水池半徑是8 米，直徑增加2 米，水池面積增加了多少平方米？”“分針走一圈與時針走一圈，針尖掃過的面積相差多少平方厘米？”［3］把這3 個實際的場景抽象之后，其實就是同一個數學模型——環形，只需要運用求環形面積的知識來解決這個問題就可以了。教師還可以布置課后作業，讓學生自己設計同一模型下的不同情境題目，提高對題目結構化的把握和分析歸納能力。

2.等價轉換，相似求聯

相似求聯，是指當遇到一個不熟悉的問題時，會通過聯想將它變成一個自己熟悉的的問題，繼而使問題得到解決。這對學生來說是有一定難度的，因為相似求聯并沒有固定的策略與方法，它需要通過對具體問題的具體分析、深入剖析，精準提取已有知識體系中的相對應概念，才能實現由陌生到熟悉的相似轉換。教師要設計相似題組對比練習，讓學習者看到此類圖形會自然進行聯想。

如圖1、圖2，外面圓的周長與里面小圓的周長之和相比較，哪一個長？

圖1

圖2

如圖3，從點A 到點B，沿著大圓走和沿著中、小圓走的路程相同嗎？

圖3

如圖4，比較大圓周長、小圓周長之和、長方形周長的大小。

圖4

以上3 例其實是等價題組，都是外圓周長等于直徑上所有相切圓周長之和。再如下圖（圖5）所示，在相同的正方形內畫圓，每個正方形內的圓形面積總和都是相等的。教師精心設計題組對比練習，引導學生通過猜測、驗證，得出相等結論，有利于培養等價聯想能力。

圖5

3.旋轉平移，構圖求聯

構圖求聯，意指在分解組合圖形時，看清由哪幾個基本圖形組合起來的，或是從哪一個基本圖形里去掉哪一個或幾個基本圖形得到的，或借助旋轉、翻轉、平移、分割、拼補、添輔助線等方法化難為易，從而找出解答的方法。

如圖6：已知圖中陰影部分面積，求圓環面積。

圖6

如圖7，大圓半徑為小圓的直徑，已知圖中陰影部分面積為S1，空白部分面積為S2，那么這兩個部分的面積之比是多少？

圖7

如圖8，3 個圓的半徑都是10cm，3個圓兩兩相交于圓心，求陰影部分的面積和。

圖8

4.對比想象，動態求聯

動態求聯，意指讓靜態的圖形通過想象、畫圖等方式聯系起來，形成習題模塊，尋求解法上的共通點，形成同一解決策略，感受習題模塊“萬變不離其宗”的內在魅力，同時在變化中，發展空間觀念，感受數學之美［4］。如以下3 例通過化靜為動的想象和對比，就能發現屬于同一模塊的知識，都是以系繩處為定點圓心，小動物活動的范圍就是以定點到小動物之間的距離為半徑的數個面積之和，同時注意有序思考，不遺漏不重復。

例1 草場上有一個長20 米，寬10 米的關閉著的牛圈，圈的一角用長30 米的繩子拴著一只牛，這只牛的活動范圍有多大？

例2 一只小狗被拴在一個邊長為3 米的等邊三角形建筑物的墻角上，繩子長是4 米，求小狗所能到的地方的總面積。

例3 一個邊長為4 米的正五邊形的建筑物的一個頂點處拴著一只小狗，四周都是空地。繩長剛好夠小狗走到建筑物外墻邊的任一位置。小狗的活動范圍是多少平方米？

四、梳理融匯，提升能力

在對圓形特征、圓周長與面積的探究中，學生頭腦中已初步形成了新的認知結構網，這個認知網絡初具雛形，但它還不夠合理、準確、牢固，如果要讓學生在面臨各種情況時，準確地從認知網中提取出想要的信息和策略并順利解決這些問題，還需要教師的引導與幫助，形成提綱挈領的思維鏈，讓學生領悟到解決某一類問題的基本方法和基本策略，從而真正意義上實現減負提質，高效學習。

1.順逆互推，打造邏輯力

逆向思維的培養能激發學生對數學的學習興趣，這個單元的逆向思維的運用主要體現在對計算公式的逆向運用上。例如，已知圓的周長，求圓的面積，必先求出圓的半徑，就需要逆向使用計算公式C=2πr。再如，已知半圓的周長，求半圓的面積，對逆向思維能力的要求就更高了。此時，列方程解答，可以減小逆向思維的難度，順利解出這類逆向思維的題。對于逆向思維能力較強的人，可以直接由計算公式C=2πr，得到r=C÷2π 或r=C÷（2×π），根據半圓周長=πr+2r，得到r=半圓周長÷（2+π）。

2.深挖關系，培養學習力

圖9

圖10

圖11

圓周長、面積的變化規律，就是因為半徑這一要素引發的，教師還要提醒學生注意，判斷面積的變化時，要關注半徑的平方。而圓形與其他圖形的關系，關鍵是要找半徑與其他圖形長、寬或高、底的聯系，通過轉化將兩個或三個圖形打通，計算出面積或周長，同時鼓勵學生嘗試將關系網進行梳理整合，形成思維導圖或大綱、表格（表2），最后全班交流，形成規范合理、科學有序的關系網，逐漸培養學生的整理能力，提升自主學習能力。

表2

3.提綱挈領，形成思維鏈

與上面提到的關系推理一樣，本單元公式眾多，若不加以及時整理，學習效率會大打折扣。

此時，教師可以布置任務：本單元用到了哪些公式？你能將這些公式分類整理成表格嗎？（表3）值得注意的是，當下思維導圖非常盛行，但是對于數學學科的整理，表格有其先天的優勢，它便于橫向比較、縱向遞進，有利于進一步理解和掌握知識之間的內在聯系與特征。

4.找尋訣竅，提高運算力

有研究表明，近十幾年來，中小學生的計算能力較之以往的同齡學生大為下滑，原因主要是由于新課程對于計算技能要求降低了，由此帶來的問題就是在“圓”單元的計算中，尤其是計算面積時，學生耗時耗力且錯誤頻發。例如學生在完成關于圓環的作業時，時間花費是以往同量作業的至少兩倍，且計算無差錯的屈指可數。此時，教師是選擇較簡單的數據降低計算難度還是惡補計算以提高正確率？顯然都不是最佳選擇。教師應引導學生分析問題、發現問題并解決問題，即記住常用π 值結果：1π 到9π、16π、25π、36π、64π、96π，以及常用平方數結果：11 到19 的平方數，這樣就能減輕計算量，提升計算正確率。

表3

借助“圓”單元的整體教學實踐，筆者深感數學學科教學不應拘泥于一課一題，應以“發展思維”為目的，以培養“核心素養”為終極目標，盡力挖掘數學本身承載的“文化元素”“思想方法”，基于學生立場大視域、高角度地對教材、教學方式進行調整與變革，在每一節“求聯求通”的課堂教學中，讓學生實現知識體系的自主建構，在充滿人文關懷的探索中，提升自身的核心素養。