構(gòu)造向量數(shù)量積巧解幾類數(shù)學(xué)題

廣東省惠州市第一中學(xué) (516007) 李海媚 方志平

我們知道向量集“數(shù)”、“形”于一體,尤其是在向量的數(shù)量積中，向量模長(zhǎng)乘積反映了“數(shù)”的特征，向量夾角的余弦反映了“形”的特征.向量數(shù)量積的特征決定了它是數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，運(yùn)用它容易看到知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系和相互作用，為我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了更為廣闊的思維空間．有些看似與向量無(wú)關(guān)的題目，通過(guò)構(gòu)造向量數(shù)量積作為“載體”, 可以使很多棘手，繁雜的問(wèn)題得以合理、順利地解決.本文例析構(gòu)造向量數(shù)量積，巧妙解決幾類數(shù)學(xué)問(wèn)題，希望對(duì)同學(xué)們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有所啟發(fā).

1.巧解函數(shù)的值域問(wèn)題

圖1

圖2

∴y∈[-1,3].故原函數(shù)的值域是[-1,3].

2.巧解與三角有關(guān)的問(wèn)題

3.巧解代數(shù)式的最值問(wèn)題

例5 設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1, 則2x+y的最大值是.

4. 巧證相關(guān)不等式問(wèn)題

我們?cè)跇?gòu)造向量的過(guò)程中，首先要觀察題設(shè)條件或結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征，必要時(shí)要對(duì)條件或結(jié)論進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)變成我們所熟悉的向量模型，再利用向量所具有的性質(zhì)和定理進(jìn)行求解．本文中將幾類相關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積問(wèn)題，不僅可避繁就簡(jiǎn)，而且方法新穎，獨(dú)辟蹊徑.構(gòu)造向量數(shù)量積解題可提高學(xué)生思維的發(fā)散性，開(kāi)拓他們的思維空間，也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的好素材.