對一道2015年浙江預賽附加題的再探究

浙江省臺州市玉環中學 (317600) 鄔仁勇浙江省嘉興市第一中學 (314050) 沈新權

文[1]對2015年全國高中數學聯賽浙江預賽附加題1的解法作了探討，得到了一些新的結論，并對試題作了推廣，讀后很受啟發．我們在文[1]的基礎上對這個問題及其解法作了進一步的探究，得到了二階線性遞推關系與另外兩個遞推關系的等價結論，結合模數列周期性的結論，對文[1]留下的三個困惑作了研究和思考，提出了我們的看法．為了方便閱讀，我們將原題呈現如下：

已知數列{an}滿足a1=1,an+1=3an+

1. 三個等價的遞推關系

利用上面的分析方法，我們可以得到下面的更一般性的結論，結論的證明請讀者自行完成．

定理1 如果數列{an}(其中an+2≠tan,n=1,2,… )滿足下列三個遞推關系中的一個，那么它也滿足其余兩個遞推關系(其中s,t≠0為常數)：

(1)an+2+san+1+tan=0 ②；

也就是說，上面的②③④三式是等價的．

2 困惑(3)、(2)的思考

上面的討論方法以及定理1的這幾個結論，對我們思考困惑(3)、(2)有很大的啟發．

3 困惑(1)的思考

下面我們利用同余的性質來證明數列{an}的項被31除所得到的余數的周期為15.

因為an+2=6an+1-an且a1=1,a2=5，所以a3=6a2-a1=6×5-1≡29(mod31)，a4=6a3-a2≡6×29-5≡6×(-2)-5≡14(mod31)，為了節省篇幅，接下來我們只列出同余式：a5≡24(mod31)，a6≡6(mod31)，a7≡12(mod31)，a8≡4(mod31)，a9≡12(mod31)，a10≡6(mod31)，a11≡24(mod31)，a12≡14(mod31)，a13≡29(mod31)，a14≡5(mod31)，a15≡1(mod31)，a16≡1(mod31)，a17≡5(mod31)，于是，由遞推式an+2=6an+1-an并結合數學歸納法可以證明，模數列{an(mod31)}是周期為15的周期數列，即如果我們記模數列{an(mod31)}為{bn}，則對于一切的n∈N*，數列{bn}滿足bn+15=bn．

為了讓讀者進一步了解遞推數列的模數列的周期性，我們再給出定理2，有興趣的讀者可以參閱文[2]證明．

定理2 已知數列{an}滿足an+2=c1an+1+c2an(n∈N*)，其中a1,a2，c1,c2都是整數.如果(ci,m)=1(i=1,2)，則模數列{an(modm)}是周期數列.

在定理2的基礎上，我們回過頭再來思考2015年全國高中數學聯賽浙江預賽附加題1第(2)小題的解法，這種思考會給我們今后解決這類問題帶來一定的啟發．附加題1的第(2)小題是要我們判斷是否存在m∈N*，使得2015|am．由于數列{an}滿足遞推關系an+2=6an+1-an，由定理2我們知道用與6互素的數去模數列{an}中的項，其模數列必定是周期數列．因此，要解決第(2)小題，我們需首先考慮用2015的質因數5，13以及31去模數列{an}中的項，由a1=1,a2=5及遞推關系an+2=6an+1-an，容易驗證a2≡0(mod5)，a4≡0(mod13)，所以，為了解決問題，我們只能選擇31去模數列{an}中的項，由于{an(mod13)}是周期數列，因此，接下來的事情我們只需要通過a1=1,a2=5及遞推關系an+2=6an+1-an找到{an(mod13)}一個周期里面的所有的項(余數)中沒有一個為0，問題就解決了．至此，文[1]中的困惑(1)徹底解決．