對一道全國高中數學聯賽試題的探究*

湖南省長沙市周南中學 (410201) 周思宇 謝建軍 劉四平

一、試題呈現

二、背景探究

三、試題推廣

解析：當λ≤0時，由①式知tanx-x>0，x-sinx>0.所以tanx-x>λ(x-sinx)恒成立，故tanx+λsinx>(λ+1)x恒成立.

現考慮λ>0時的情況.

(ⅰ)當λ=2時，tanx+2sinx>3x恒成立.

(ⅱ)當0<λ<2時，u(x)>u(0)>0，故g′(x)>0，即g(x)單調遞增，所以g(x)>g(0)=0，即f′(x)>0，所以f(x)單調遞增，即f(x)>f(0)=0，所以tanx+λ(sinx-x)-x>0，故tanx+λsinx>(λ+1)x恒成立.