一道導數壓軸題的優解

江西省南昌縣蓮塘第一中學 (330200) 熊圣華

數學考試壓軸題一般抽象性強，思路寬泛，思維跨越性大；運用好的解題思路，往往能將壓軸題巧解，在巧解導數題時，常用上函數與方程的思想，數形結合的思想.本文對2022年石家莊市高三一模數學22題進行探究：

(1)當k=1時，過坐標原點O作曲線y=f(x)的切線，求切線方程；

(2)設定義在I上的函數y=h(x)在點P(x0,y0)處的切線方程為y=l(x)，對任意x≠x0，若(h(x)-l(x))(x-x0)>0在I上恒成立，則稱點P為函數y=h(x)的“好點”，求函數y=f(x)在(0,+∞)上所有“好點”的橫坐標(結果用k表示).

本題構思巧妙，表述新穎，用簡捷的語言給出了新概念“好點”，很好地考查了學生對新概念的理解能力，考查了導數的幾何意義，導數的單調性與極值，最值及其應用知識與技能水平.