一道立體幾何調研題的解法賞析

湖南師范大學附屬中學1907班 (410006) 趙斯揚 湖南省長沙市雷鋒學校 (410217) 童繼稀 鄧捷敏

這是武漢市2022屆高中畢業生四月調研考試卷第16題，它以三棱錐為背景，點到線與點到面的距離求解為設問，全面考查點、線、面的位置關系等基礎知識，以及數學轉化、推理論證和運算求解等關鍵能力．其難點體現在圖象處理與轉化求解，即如何將這樣一道空間問題轉化成學生們更加容易理解的問題．本文給出多種解法，與讀者分享交流．

圖1

以下對第二空從多個角度求解.

綜合法解立體幾何問題離不開作輔助線，這恰好是學生難以突破的困境．從該三棱錐形狀來看，不難發現線段AC，OB，OP兩兩垂直，我們可以建立空間直角坐標系，通過空間向量求點到直線與點到平面的距離公式表示出d1+d2，再求得最值．

圖2

坐標向量法利用數及其運算來解決問題，思路簡潔，但計算有點繁雜．從該三棱錐形狀的另一角度看，我們可以將它補形成一個正四棱錐來求解．

圖3

本題也可利用點Q到平面PBC的距離等于Q到平面PCD的距離，同思路求解；還可將三棱錐補形成長方體求解，過程留給讀者．

解法3的優勢在于利用了圖形的對稱性，將題中所求的距離轉化為更加直觀的線面距離，計算量少，但又很難想到這樣補形處理．綜合法、向量坐標法與轉化法在解決立體幾何相關問題中，各有利弊，往往需要我們根據問題情境來選擇最適合的方法求解．2020年與2021年的新高考Ⅰ卷都把立體幾何小題放在選擇題或填空題的壓軸位置，加之新教材重新引入了距離公式，從而我們教學時更需重視這類問題．