Volta’s混沌系統的控制與同步

王東曉，李自強

(鄭州航空工業管理學院 數學學院,河南 鄭州 450046)

1 引 言

混沌是非線性系統普遍存在的現象，混沌理論所研究的是非線性動力學混沌，目的是要揭示貌似隨機的現象背后可能隱藏的簡單規律，以求發現一大類復雜問題普遍遵循的共同規律。混沌系統同步屬于混沌控制范疇，有著廣泛的應用前景，同步問題備受關注，新的系統及新的研究方法層出不窮。

毛北行等[1-4]研究了非線性復雜網絡混沌系統的有限時間同步問題，并對滑模同步兩種方法進行比較，發現分數階相比整數階系統存在更普遍。張燕蘭等[5-6]采用自適應方法實現分數階Rayleigh-Duffling-like系統的廣義投影同步；余明哲等[7]滑模自適應同步了一類不確定分數階系統；鐘啟龍等[8]采用主動滑模研究了分數階混沌系統同步問題；Tino等[9]發現兩個不同系統的同步也可以利用自適應滑模控制來實現；Volta’s混沌系統在物理、通訊等方面有著廣泛的應用[10-11]；張振等[12]研究了分數階Volta’s系統同步問題；李嬌[13]研究了Volta’s系統的混合投影同步；張志明等[14]對Volta’s混沌系統添加一個新的狀態變量，得到一個四維的自治超混沌系統。在上述研究的基礎上,本文研究了Volta's混沌系統的控制與同步問題，得到一個新的五維系統，并給出了系統實現同步的兩種方案，最后通過數值仿真結果表明方案的有效性和可行性。

2 五維系統

如下的三階Volta's混沌系統[10-11]

(1)

系統初始值(x1(0),x2(0),x3(0))=(1，2，8)，此時系統呈現混沌態，如圖1所示。

圖1 系統(1)的混沌吸引子

文獻[14]在系統(1)中添加一個變量x4，得到一個四維自治的超混沌系統

(2)

系統初始值(x1(0),x2(0),x3(0),x4(0))=(8,2,1,1)，此時系統呈現混沌態，如圖2所示。

圖2 系統(2)的混沌吸引子

(3)

系統初始值(x1(0),x2(0),x3(0),x4(0),x5(0))=(85,-50,-90,-40,-30)，此時系統(3)的相圖如圖4所示。

(a) x1-x2-x3

3 線性同步

以系統(3)作為驅動系統，參數r=30,其對應的響應系統設計為:

(4)

其中ui為控制器,取誤差變量ei=yi-xi,(i=1,2,3,4,5)，誤差系統如下：

(5)

定理1構造控制方案，選取控制器：

U1=k1e1;U2=k2e2;U3=k3e3;U4=k4e4;U5=k5e5，在該方案控制下，誤差系統(5)趨于零，主從系統(3)與(4)同步。

證明:構造Lyapunov函數

則Lyapunov函數關于時間t的導數：

=e1[-e1-5e2-(e2e3+x2e3+e2x3)-10e4-u1]+e2[-85e1-e2-(e1e3+e1x3+x1e3)-30e5-u2]+2e3[(e1e2+e1x2+x1e2)+e3-2u3]+e4[e1-u4]+e5[e1+e2+e3-u5]

由混沌系統的有界性，存在M>0，滿足max{|90+2x3|,|x2|,|x1|}≤M

=-eAeT

其中e=(|e1|,|e2|,|e3|,|e4|,|e5|)，

4 滑模同步

在實際應用中，系統中往往摻雜著一些不確定項或是擾動項，我們考慮在此種情況下的系統同步問題。

以系統(3)作為驅動系統r=30,其對應的響應系統設計為:

(6)

其中Δfi(y)為不確定項，di(t)為外部擾動，ui為控制器,取誤差變量ei=yi-xi(i=1,2,3,4,5)，誤差系統如下：

(7)

假設1參數mi,ni>0，使得|Δfi(y)|

定理2構造控制方案，選取控制器：

在該方案控制下，誤差系統趨于零，主從系統(3)與(6)同步。

證明：當狀態變量在滑模面上運動時，s=0，將控制輸入ui(t)代入誤差系統(7)，其第一個方程即為：

當系統狀態變量不在滑模面上運動時，構造Lyapunov函數

則Lyapunov函數關于時間t的導數：

控制器代入

=s[-e1-e2-e3-e4-e5]=-s2

5 數值仿真

圖6 定理2的系統誤差曲線

6 結 論

本文研究了Volta's混沌系統，添加狀態變量得到新的系統，并實現它的同步控制問題。分別采用線性控制和滑模控制法設計了控制方案,得到了Volta's混沌系統同步的充分性條件,并給出了嚴格的數學證明和推理過程,最后通過數值仿真表明該方法的有效性和可行性。