完形修復：指向數學素養的核心區域

薛仕扣

［摘 要］當人面對一種不完美的刺激物時，會傾向于對其進行修復，使之趨于完形。完形修復是人的一種基本認知活動方式，如學生的數學學習過程就是一種完形修復過程。在課堂教學中，通過完形修復實踐，將學生學習能力的培養有機地滲透到整個教學過程中去，可抵達數學素養的核心。

［關鍵詞］缺陷；完形修復；數學素養

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2022）23-0044-03

一、完形修復，人的一種基本認知活動方式

1.相映成趣的心理實驗

如圖1，如果遮住A和C，我們會不約而同地認為圖中有三個數，依次是12、13、14；如果遮住12和14，同樣我們會認為圖中有三個字母，依次是A、B、C。對于中間的部分，放在不同的情境中竟然會出現不同的答案（13或B），然而這就是人之常情！

2.人之常情的背后思考

人在認識事物時，首先映入大腦中的是事物的整體，而不是事物的各個組成部分，這個整體即為完形。圖1中12、13、14或A、B、C組成的整體就是不同的完形。

3.俯拾即是的完形修復

人在面對一種不完美的刺激物時，會在認知中情不自禁地產生一種急于要使之完滿的趨向，從而傾向于建立一個完形整體，這一過程即為完形修復。例如，圖2是獨立的三個扇形，但通常情況下，人的認知傾向于它是一個三角形（自覺彌補三角形邊上的缺失部分），而忽視了其為獨立的三個扇形。這個修復過程是個體主動的，且修復完成后將難以改變。

二、完形修復，指向數學素養的核心區域

1.意義剖析，感受完形修復的價值性

（1）在元素與整體中辨析

完形之“形”不是外物的形狀，也不是一種形式，而是知覺中的“形”。完形心理學認為，心理現象最基本的特征是意識經驗中顯現出來的整體性和結構性，整體性既包括構成它的部分，又包括產生于獨立其組成要素的全新整體。元素論主張對事物進行解剖研究，把元素從整體中割裂出來，研究其屬性，并把整體的特征簡單歸結為元素之和。F.克萊因認為，數學教師應使學生了解數學知識并不是孤立的各部分，而是一個有機的整體。教學中，教師要注重數學的不同分支和不同內容之間的聯系，數學與日常生活的聯系以及數學與其他學科的聯系。

（2）在自然與數學中共鳴

完形心理學認為，人的大腦中先天存在著一些力的結構樣式，當物理中的力的樣式與心理上的力的樣式相對應時，外在對象和內在情感便產生共鳴，外在對象便具有了情感表現性，人就會產生審美體驗。自然美與數學美是相互呼應的，在數學世界里，鸚鵡螺線、對數螺線、黃金分割、斐波那契數列等都蘊含著數學的美妙與神奇。

（3）在張力與平衡中調和

張力與平衡是一對互相矛盾又互相補充的認知規律。平衡是富有張力的動態平衡，張力是在一個平衡的樣式中呈現的富有傾向性的張力。數學課堂教學要凸顯力的沖突，制造學生心理上的認知失衡。數學學習的內容應該是現實的、富有挑戰性的。比如，教學“面積和面積單位”一課，在學生難以用重疊法比較兩個不同長方形的大小時，便產生認知張力，進而思考“如何使用間接方法比較或用哪種圖形作面積單位最合適”，通過問題引發認知沖突，進而引出面積單位。

2.追根溯源，尋找完形修復的“存在感”

（1）在同化和順應的過程中修復完形

建構主義理論認為，人的知識獲取存在著兩種不同的方式，即同化和順應。以順應方式進行學習的原因是人的已有知識經驗匱乏，需要通過順應不斷建立新的知識系統。在此過程中，順應的過程從某種層面上講就是個體修復的過程，即建立新的知識系統這一新的完形。

例如，在教學“圓錐的體積”時，部分教師會讓學生先拿兩個等底等高的圓柱和圓錐容器，然后用圓錐容器裝滿水倒進圓柱容器里，發現倒3次后圓柱容器里的水正好滿了，進而得出圓錐和圓柱體積的關系。這樣的活動，看似是學生通過動手操作探究圓錐的體積，實質上是在教師的指令下完成的，學生未能積極主動地參與到知識順應的過程中，只是被動學習。為此，筆者進行了調整，課前準備大小不等的圓柱和圓錐（其中有等底等高的圓柱和圓錐）容器，讓學生自主選擇后進行小組合作探究，最后師生共同得出結論。通過小小的調整，教師的指令沒有了，學生真正通過自主合作探究，最終得出圓錐的體積計算方法。

隨著知識經驗的不斷積累，當遇到新知時，人們更傾向于從舊知中尋找與新知的關聯度，一旦找尋到，人們就會自覺將新知納入原有的知識系統中，形成新的知識體系，最終建立更為完善的新的完形體系。這一同化的過程即為人自覺主動的修復過程。例如，當學生認識了長方形后，教師出示1個長方形并提問“這是什么”，學生會回答“是長方形”，而不會回答“是4條線段”。可見，長方形是學生自主修復所建立的新完形。同理，當學生認識長方體后，教師出示1個長方體并提問“這是什么”，學生會回答“是長方體”，而不會回答“是6個長方形”。

（2）在整體和系統的結構中修復完形

把知識整體、系統地呈現給學生，學生在舊知的基礎上，把零散的知識按層次連接為系統結構體系。在連接的過程中，零散的知識不可能清晰地出現在結構體系中，很多時候是模糊的、有缺陷的，這給學生進行自主修復提供了可能。學生不僅要認識事物的外部特征，還要理解其隱含的本質規律；不僅要知曉個別零散的知識，還要把握知識之間的聯系，由此構成由表及里、由此及彼的完形知識結構。

例如，在教學“分數的基本性質”時，當學生得出“分數的分子和分母同時乘或除以一個相同的數，分數的大小不變”的結論后，筆者略作停頓。不一會兒，一位學生舉起了手，說：“同時乘或除以的數不能是0。”筆者因勢利導，問：“為什么不能是0？”這位學生回答：“因為分母不能為0，如果分子和分母都乘或除以0，所得分母就是0。”

當學生總結概括出分數的基本性質（不完整的）后，筆者沒有立即評價，也沒有問學生“可不可以同時乘或除以0”，而是略作停頓，給學生提供了修復的時間和空間，讓學生自主修復分數基本性質的完形。這種教學方式不僅有利于學生頭腦中新舊知識的結合，而且還能激發學生的認知潛力，進一步培養學生用深入、聯系的思維方式去認識周圍事物。

（3）在留白和想象的地帶中修復完形

首先，巧設板書，為學生完形修復搭建“腳手架”。

隨著科技的發展，許多現代化的教學手段走進課堂，但是板書在教學中仍然起著不可替代的作用。板書是體現教材思路、教師教路、學生學路的最佳形式，一次好的板書能簡練、系統地體現教學內容，以明晰的視覺符號啟迪學生思維，給學生提供記憶的框架結構。

例如，在旁聽“筆算兩位數加兩位數（進位加）”時，圖3是執教教師設計的板書，圖4是筆者在執教教師的基礎上略加修改形成的板書。

圖3的板書直接告知學生筆算兩位數加兩位數（進位加）的步驟，圖4的板書則出現了一些空白，正是因為這些空白的存在，激起學生對筆算兩位數加兩位數（進位加）這一完形進行自主修復的欲望。

師生對話是課堂教學中最常用也是最主要的一種手段。對話不是簡單的“教師問、學生答”，更不是“教師講、學生聽”，而是通過對話啟迪、喚醒學生主動思考。在對話的過程中只有給學生提供完形修復的場域，才能啟動學生思維的翅膀。

其次，杜絕啰唆，為學生完形修復營造“自組織”。

課堂教學是一門藝術，而課堂教學中的師生對話更是一門高級藝術。課堂上，教師的啰唆主要表現在三個方面：第一是無意識的口頭禪，如“啊”“嗯”“哦”“這個”等；第二是意思相同的提問，如一個問題提出后，在學生還沒有回答或者回答不出來時，又接二連三地換角度重復提同一個問題；第三是重復學生的答案，如學生回答后又重復學生的答案后才進行現場評價。久而久之，教師的這些啰唆會干擾學生進行自我修復。

教師應將課堂視為實現完形的陣地，充分調動可用資源，提供靈動“對話場”、營造積極“自組織”、激活融通的“心物場”和搭建最佳“腳手架”，以激發學生的完形意識，建立良性的“同構”關系，促成學生自覺能動地進行完形修復。學生在改造、補充完形的過程中，容易激起大腦的潛力，提高認知的興奮程度，從而引起一種進取的、充滿緊張感的內驅力。在這種內驅力的驅動下，學生會積極主動地去“填補”不完美的刺激物。

3.同課異景，讓完形修復提升學生數學素養

例如，在教學“平行四邊形的面積”時，筆者首先帶領學生復習長方形面積的計算方法，接著問學生如何求平行四邊形的面積。學生猜測用相鄰兩條邊相乘，筆者否定了學生的答案，但沒有告訴學生為什么否定，而是直接演示將平行四邊形轉化成長方形的過程（如圖5）。在筆者的引導下，學生根據轉化前后的關系，得出“平行四邊形的面積=底×高”。

上述教學中，學生真的掌握了求平行四邊形面積的計算方法了嗎？為求驗證，筆者出示圖6并提問：“如何計算這個平行四邊形的面積？”學生異口同聲地回答：“10×15=150（cm2）。”筆者對學生的回答表示肯定，接著追問：“你們是怎么算的呢？”學生按照之前的方法畫出了圖7，可是畫完后發現與之前學的（圖5）不一樣，學生陷入了思考。

通過學生異口同聲的回答可以發現，學生看似建立了平行四邊形面積計算方法這一完形，但對圖6這種平行四邊形，無法用之前的經驗轉化成長方形，說明這一完形是有缺陷的。學生陷入思考的過程是一種自覺完形修復的過程。

接著，筆者沒有任何干涉，學生進行自主探索。有的學生從平行四邊形上面切取一個直角三角形移到下面，轉化成長方形（如圖8）；有的學生先將作業本旋轉90°，再割補圖形，最后轉化成長方形（如圖9）。

在仔細觀察圖形的基礎上，如何把平行四邊形轉化成一個面積與之相等的長方形，圍繞這樣的中心問題，學生自覺對已建立的完形進行修復，最終豁然開朗。

三、理性把握完形修復過程中存在的問題

學生的學習過程不應只有教師的指導，還應有一種自覺的重新組織。學生的學習過程是在組織構造一種完形，并對其中各種關系進行認識，這種完形過程一旦建立，將會形成學生自動化的行為方式。

在教學過程中，如果教師制造的“陷阱”太少，學生不假思索就能輕易獲得完形，缺少了修復的過程，但如果教師制造的“陷阱”太多，學生會因捉摸不透而無法修復。因此，在完形修復的過程中，教師需要把握一定的尺度，這樣才能發揮應有的作用。

1.完形消逝，對學生修復的過程過度關照

課堂上，有的教師生怕學生聽不懂，總是講得太多且從不制造“陷阱”，或者制造“陷阱”自己跳，不敢讓學生去跳，忽視了學生對所學內容的修復過程。一節課下來，教師口干舌燥，學生只是被動接受，如此，因缺少修復的過程導致完形消逝。

2.完形失敗，對學生修復的過程放任自流

課堂上，有的教師對學生的想法缺乏恰當的引導，造成學生對所學內容完形失敗。

例如，在旁聽“倒數的意義”時，執教教師這樣導入：“同學們，在日常生活中，很多東西可以倒置。比如，書可以倒放、杯子可以倒放（杯口朝下）……今天我們一起來學習倒數，猜猜看，倒數是什么？”學生的回答五花八門，有的說倒數就是將數倒過來，如1倒過來是1，8倒過來是8，6倒過來就變成9；有的說倒數就是倒著數數……學生的回答與倒數的意義沒有任何關系，最終導致學生對“倒數”這一概念完形失敗。

“要使不同的人在數學上得到不同的發展。”在數學教學中，學生對某一學習內容的完形修復是存在差異性的，不能一概而論。教師要針對學生的不同特點，從多種角度發掘學生的潛能，用積極的心態去認識學生完形修復的過程，遵照不同學生完形修復的差異性。