強化解題思路 凸顯思維品質
——“圓錐曲線習題分析課”的設計及反思

趙士元

(江蘇省蘇州市吳中區教學與教育科學研究室 215104)

1 基本情況

1.1 授課對象

學生來自四星級重點高中，學習基礎較好，學生的邏輯判斷能力和運算能力普遍較強，但邏輯分析能力不足.

1.2 教材分析

《圓錐曲線》是高中數學選修二的主要內容，包括橢圓、雙曲線、拋物線的方程與性質，這些內容既是高中數學的重點又是高中數學的難點.由于三大圓錐曲線具有統一的定義，因此三者的性質之間必然具有高度的相似性，系統了解它們之間的相似性有利于學生從宏觀上把握三大圓錐曲線，使碎片化的知識點形成系列化的知識體系.

解析幾何的宗旨是代數法處理幾何問題，突出體現了數形結合的思想，而圓錐曲線作為解析幾何的主要內容，綜合性比較強，對學生的運算要求比較高，是學生必須牢固掌握的內容.

教學重點 橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程、性質及其相互聯系.

教學難點 以導問的形式引導學生分析思考數學問題.

2 教學過程

2.1 熱身訓練

(1)點

P

是橢圓上的點，

F

,

F

分別是它的左、右焦點，則左焦半徑

PF

=

，右焦半徑

PF

=

.它們是如何被推算出來的？(2)點

P

是橢圓上的點，

F

,

F

分別是它的下、上焦點，則下焦半徑

PF

=

，上焦半徑

PF

=

.試比較與(1)的關系.(3)點

P

是雙曲線上的點，

F

,

F

分別是它的左、右焦點，則左焦半徑

PF

=

，右焦半徑

PF

=

.試比較與(1)的關系.(4)橢圓的焦點坐標為

F

(±

c

,0)，則

a

,

b

,

c

滿足關系式

；雙曲線的焦點坐標為

F

(±

c

,0)，則

a

,

b

,

c

滿足關系式

.(5)點

P

在焦點為

F

的拋物線

y

=2

px

(

p

>0)上，則

PF

=

，如何推算出來的？若過拋物線

y

=2

px

(

p

>0)的焦點的直線與拋物線交于

A

(

x

,

y

),

B

(

x

,

y

)，則

AB

=

.

設計意圖

三大圓錐曲線有其統一的定義，正因如此，其性質也將有許多類似之處.特別是橢圓和雙曲線，其定義和標準方程具有高度的一致性，導致其相應的性質也將具有高度一致性.前四個小題的設計目的是讓學生明確焦點在

x

軸上的橢圓和焦點在

y

軸上的橢圓是關于直線

y

=

x

對稱的，因此對應的性質也具有這一對稱性.類似地，通過比較與雙曲線的定義理解對應的性質，第(5)題主要為例題講解作鋪墊.類似題組的設計有利于使學生碎片化的公式系列化，使學生對圓錐曲線的知識有系統的理解，實現數學的深度學習.

2.2 例題講解

已知橢圓的一個焦點與拋物線

C

:

y

=2

ax

的焦點

F

重合，兩條曲線在第一象限內的交點

M

滿足(1)求橢圓

C

以及拋物線

C

的標準方程；(2)過橢圓另一焦點

E

作直線(斜率存在但不為零)與橢圓相交于

A

,

B

兩點，在橢圓長軸 上是否存在點

P

，使得為定值？如存 在，求點

P

的坐標及這個定值；如不存在，請說明理由.

·教學設計

先解決第(1)題：

第一步 讀題

出示題目后學生讀題兩分鐘，而后教師逐步出示如下幾個問題，供學生相互討論交流：

問題1

“

M

是橢圓與雙曲線在第一象限內的交點”隱藏著什么樣的信息？

問題2

要求橢圓和拋物線的方程，就必須求出

a

,

b

的值，從基本算理來看，需要兩個條件，但題中僅給出一個條件，對此有什么想法？

問題3

線段

MF

是什么？點

M

是橢圓和拋物線的交點，且它們有公共焦點，暗示了什么信息？

問題4

如何利用這個條件？(引導學生回答出：要用這個條件需要用到點

M

的橫坐標，于是設其橫坐標為

x

，再分別在橢圓和拋物線中用字母

a

,

b

及

x

表示出

MF

)

第二步 設計解題思路

①利用橢圓三個基本量本身的關系、橢圓和拋物線具有公共焦點、橢圓右焦半徑等于拋物線的焦半徑這三個條件列出關系式(可列三個)得到方程組；②求解這個方程組，求出

a

,

b

,

c

的值.

第三步 實施解題計劃

解

設點

M

的橫坐標為

x

，由于橢圓的半焦距為

c

，它與拋物線

y

=2

ax

有公共焦點，故于是橢圓的離心率為又因為求得

a

=2，于是所以橢圓方程為拋物線方程為

y

=4

x

.

接下來研究第(2)題.

第一步 讀題

先弄清楚如下幾個問題：

問題5

“是否存在”這一類探究性問題通常的格式是怎樣的？

問題6

按理來說，由于直線和點

P

都不確定，應該是一個變量.那么題意所說是定值，它應該在誰確定的條件下為定值？本題中的變化量是什么？

問題7

向量的數量積怎樣表示，你能估計出它與哪些量有關？(引導學生回答出與直線

AB

的斜率以及點

P

的坐標有關)

問題8

怎樣寫出的表達式，在橢圓長軸上取一點

P

，使得為定值表達了什么信息？引導學生思考出：在確定點

P

的位置后，的值與直線

AB

的斜率無關.

問題9

你能寫出的表達式嗎？看看需要做些什么準備工作？留一定時間給學生思考并在草稿紙上書寫，而后讓學生明確應先求出

A

,

B

兩點的橫坐標的和與積.

第二步 設計解題計劃

設直線

AB

的斜率為

k

，點

P

的坐標為(

m

,0)，列出的表達式(將用

k

,

m

表示)，再針對具體的表達式進行分析，具體的運算過程在課堂上當堂完成.

第三步 實施解題計劃

解

設滿足條件的點

P

存在，且直線

AB

的斜率為

k

，

A

,

B

兩點的坐標分別為

A

(

x

,

y

),

B

(

x

,

y

)，點

P

的坐標為

P

(

m

,0)，則直線

AB

的方程為

y

=

k

(

x

+1)，且將直線

AB

的方程

y

=

k

(

x

+1)代入橢圓方程整理得(3+4

k

)

x

+8

k

x

+4

k

-12=0，故于是由條件知是一個與

k

無關的常數，于是得此時故所求點

P

的坐標為此時為定值

2.3 課堂小結及作業布置(略)

3 教學反思

反思之一

解決一個數學問題通常包含“審題”“設計解題計劃”“實施解題計劃”和“解題反思”這四個步驟.當然，對一個熟練的解題者而言并不一定要嚴格按這四個步驟執行，但在思考的潛意識里一定有這四個步驟.在平時解題教學中經常滲透這種思考模式，對提升學生數學學科素養和思維能力非常有用.

反思之二

上述的化簡由學生和教師在課堂上當堂完成，同時教師作規范板書，目的是培養學生的字母運算能力.目前，許多學生的運算能力特別是字母運算能力欠缺，而教師往往利用PPT投影的方式顯示運算過程或直接忽略其運算過程而以“化簡得”替而代之，這對培養學生運算能力極為不利.

反思之三

第(2)題的設計思路采用了一般到特殊的思想，對于類似的探究性問題，我們是否有其他的思路呢？比如是否可以采取從特殊到一般的思路？事實是可以的.本題中可以采用“極端思想”先找出這一個定點再加以驗證，盡管題中條件告知了直線

AB

的斜率存在且不為零，但我們可以想象當直線

AB

無限接近于“與

x

軸或

y

軸平行”時，應該是相等而且等于所要探求的定值.據此考慮這兩種極端情形，設點

P

坐標為

P

(

m

,0)，于是當直線斜率為零時，

A

,

B

兩點的坐標分別為

A

(-2,0),

B

(2,0)，此時當直線斜率不存在時，

A

,

B

兩點的坐標分別為此時故而必有求得

這一思路比較直觀，從特例(或極端情形)出發找出答案再進行驗證，于是將學生比較陌生的探究性問題轉化為如下一個比較熟悉的證明題：

過橢圓右焦點

E

作直線(斜率存在但不為零)與橢圓相交于

A

,

B

兩點，已知點求證為定值并求出這個定值.(學生思考：如果我們按這一思路解題，該如何規范書寫呢？請學生課后自己整理)

反思之四

遇到一個綜合性比較強的數學問題時，許多學生往往束手無策，這與平時的分析和訓練有關，遇到有一定難度的數學問題時如何幫助學生在題設和目標之間通過導問的形式架設若干階梯，將一個“大問題”分解為若干個“小問題”是教師在例題教學設計過程中必須用心思考的問題，這就是我們通常所說的“導問式教學設計”.或許有些教師會認為以導問的形式組織教學活動會影響教學進程，但是如果沒有平時規范化的思維訓練，怎么可能使我們的學生在考場上做到得心應手呢？有時，暫時的“慢”是為了更好的“快”.

反思之五

課堂教學不能僅僅滿足于讓學生聽懂，而要追求讓學生從“學會”上升到“會學”，更要讓學生實現從“不好”到“好”的轉變.“聽懂”是課堂教學最基本的要求，從“不好”到“好”是課堂教學的最高目標，采用導問式教學設計可以引導學生從常規策略入手追求最佳解決問題的途徑，有利于活躍學生思維、提升思維品質.