克爾度規引力場對費米子的量子散射*

郭家明 薛迅2)?

1)(新疆大學物理科學與技術學院,烏魯木齊 830046)

2)(華東師范大學物理系,上海 200241)

無中微子雙β 衰變至今尚未被觀察到,同時其存在無法被否定.因此中微子是否是Majorana 粒子這個問題目前尚無定論.本文希望從引力對費米子散射的角度研究通過引力場區分中微子費米子類型的可能性.對Levi-Civita 聯絡按宇稱變換做分解,在引力場對費米子散射微擾論最低階近似以及弱引力近似下,發現一般度規的引力場對狄拉克和馬約拉納費米子量子散射矩陣元差別來自宇稱變換下類似矢量的部分;對克爾度規的引力場散射,證實不同類型費米子的散射差別與克爾引力源的角動量相關,其散射矩陣元正比于引力源的質量與角動量乘積的平方.以上結果為通過引力場區分費米子類型提供了另外一種可能的方法.

1 引言

電荷共軛變換是聯系粒子與其反粒子的變換,費米子按電荷共軛變換性質分為兩類,狄拉克(Dirac)型和馬約拉納(Majorana)型.Majorana[1]于1937 年預言電中性費米子可用實值波函數描述,其反粒子就是自身.自中微子被發現后,在理論和實驗方面關于中微子可能是Majorana 粒子的探索一直沒停止過[2],但迄今為止,無論是理論還是實驗方面都沒有確定答案.中微子是否是Majorana粒子對于解決中微子質量等級問題,探索超出標準模型新物理都很重要.

無中微子的雙β 衰變是中微子為Majorana 粒子的特征,尋找無中微子雙β 衰變事例就成了甄別中微子費米子類型的粒子物理首選手段,然而至今為止尚未發現這樣的事例,也無法否定其存在[3].因而尋求弱相互作用之外鑒別中微子費米子類型的機制研究一直沒有停止過,20 世紀90 年代中期開始出現用費米子對引力場的響應來分辨Dirac 和Majorana 費米子的研究[4-8].2006 年Papini 等[6]提出設想,旋轉引力源的Lense-Thirring 效應會拖曳參考系標架場旋轉,其Dirac 和Majorana 費米子的自旋翻轉矩陣元的空間依賴不同,能夠區分中微子類型.但是該研究基于一次量子化波函數來處理Majorana 粒子是有問題的,滿足電荷共軛變換不變的波函數不可能是自由粒子波函數,Papini 等[6]討論的波包[9]在天文尺度下傳播時,由于波包彌散,其意義是不明確的.由于電荷共軛不變的波函數不是確定能動量本征態的自由粒子態,Majorana粒子在一次量子化框架內無法自洽的描述,處理Majorana 粒子必須考慮到電荷共軛不變性,只有在二次量子化框架內才能得到自洽的處理.

Lai 和Xue[10]用二次量子化的框架研究了漸近平直的史瓦西(Schwarzschild)時空和帶撓率Schwarzschild 度規時空對自由Dirac 費米子和Majorana 費米子的量子散射,發現Schwarzschild時空中的散射無法區分兩種費米子,而帶矢量撓率的黎曼-嘉當(Riemann-Cartan)時空的散射能夠區分Dirac 和Majorana 費米子.Majorana 費米子由于其電荷共軛不變性,撓率的矢量部分不會對Majorana 費米子散射產生影響,只有軸矢撓率會影響Majorana 費米子的散射,而Dirac 費米子會同時受到矢量撓率和軸矢撓率的影響.

廣義相對論是無撓的引力理論,引力表現為黎曼時空的彎曲,時空聯絡為Levi-Civita 聯絡,完全由度規確定.但是自廣義相對論提出后關于有撓引力的探討從來沒有停止過,理論上關于撓率在引力理論中的角色有兩種觀點.一種是將黎曼時空推廣為帶撓率的時空,即Riemann-Cartan 時空來描述引力.另一種觀點認為撓率提供了引力區別與時空曲率的另一種等價描述[11,12],例如絕對平行引力中,時空曲率為零,引力用撓率描述.文獻[10]中關于撓率對于Majorana 費米子和Dirac 費米子的散射矩陣和散射截面的影響對于以上兩種觀點同樣成立,但是對于將撓率認為是引力等效描述的第二種觀點,意味著引力場對應的矢量撓率對費米子的散射可以區分Dirac 費米子和Majorana 費米子,這就為用中微子的引力量子散射效應來區分中微子的費米子類型提供了理論基礎.

撓率按其在洛倫茲變換下的變換性質可分解為矢量、軸矢量和純張量三部分,撓率與費米場的耦合在Riemann-Cartan 框架中,最小耦合只有軸矢撓率與費米子存在耦合,但是物質場的重整化效應使得非最小耦合具有普適性,矢量撓率和軸矢量撓率都存在與旋量場的耦合.在絕對平行引力框架中,矢量撓率和軸矢撓率也都存在與旋量場的耦合,撓率場對Dirac 費米子與Majorana 費米子散射效應的差異來自矢量撓率[10].可以將對撓率按洛倫茲變換性質進行的分解推廣到無撓的自旋聯絡上,與撓率類似Levi-Civita 聯絡分解為三部分,與旋量場發生耦合的是類似矢量撓率和軸矢量撓率的兩部分.本文在一般引力場的度規描述框架中,分別計算了Dirac 費米子和Majorana 費米子對Levi-Civita 聯絡中分解出的類似矢量撓率和軸矢量撓率的兩部分的散射振幅,發現由于Majorana費米子的電荷共軛對稱性,自旋聯絡的其中一部分對Majorana 費米子的散射振幅沒有貢獻,而對Dirac 費米子的散射振幅有貢獻.將這個結果應用于旋轉引力源產生的克爾(Kerr)度規場中,發現Kerr 時空對Majorana 費米子和Dirac 費米子的散射振幅不同,尤其是自旋翻轉散射矩陣元不同,不同的散射振幅有不同的散射截面,這個結果與絕對平行引力框架中,Kerr 撓率場對Majorana 費米子和Dirac 費米子散射的差別預期是相互印證的.并且當引力源的角動量為零,Kerr 時空退化為Schwarzschild 時空,其對Majorana 費米子和Dirac費米子的散射差異也消失,印證Schwarzschild 時空散射不能區分中微子的費米子類型的結論[10].

2 Schwarzschild 度規的時空對費米子的散射

Lai 和Xue[10]用二次量子化的框架研究了自由Dirac 費米子和Majorana 費米子在漸近平直Schwarzschild 時空中的量子散射.在彎曲時空背景中,費米子拉格朗日密度L為

其中m為粒子的質量;ψ是旋量粒子的二次量子化形式,Dirac 費米子和Majorana 費米子的二次量子化形式并不相同,其具體形式會在后文給出;=ψ?γ0;

γa為伽馬矩陣;eaμ為局域4 標架場,它在時空中的每一點將時空坐標和局域自由降落坐標系聯系起來.本文中希臘字母上下標表示時空指標,如μ,ν等,其取值為0,1,2,3,上下標可以使用時空度規gμν進行升降,例如γμ=gμνγν;本文中拉丁字母上下標表示局域自由降落坐標系的指標,如a,b等,其取值為0,1,2,3,上下標使用局域自由降落坐標系的度規,即閔氏度規ηab=diag(+1,-1,-1,-1)進行升降,例如γa=ηabγb.另外本文采用愛因斯坦求和約定,即相同的上下標表求和并略去求和符號,例如γa=ηabγb=ηa0γ0+ηa1γ1+ηa2γ2+ηa3γ3;

Aabμ為洛倫茲聯絡,Sab為洛倫茲生成元的旋量表示,

在Riemann-Cartan 空間中,

在一階近似下

其中g是度規的行列式.4 標架場可取為

記初態 |i〉 的粒子動量為pi,自旋為si;末態 |f〉 的粒子動量為qf,自旋為mf,|i〉→|f〉 的躍遷振幅為

這里,S為散射矩陣,HI是相互作用哈密頓量,T表示編時乘積.

對于無撓率的黎曼時空,使用Dirac 場算符的二次量子化形式

其中,ap,s和分別是粒子的湮滅算符和反粒子的產生算符;us(p)和vs(p)分別為Dirac 方程平面波正能解和負能解中的四分量旋量.通過Majorana 費米子場算符的二次量子化形式:

可以分別得到在引力場中的散射振幅最低階:

對Schwarzschild 引力場,取空間各向同性廣義坐標,度規形式為

其中,G為引力常量,M為引力源質量,t為坐標時間,r為原點到某點的徑向坐標.取弱場一階近似

其中φ(r)=-GM/r.對Dirac 和Majorana 粒子皆有

對具有Schwarzschild 度規的Riemann-Cartan 時空,時空對Dirac 費米子的散射振幅為

矢量撓率部分不會出現在Majorana 費米子的散射振幅中,只有軸矢撓率部分會對Majorana 費米子散射振幅有貢獻[10].

3 Kerr 引力場對費米子的散射

3.1 一般引力場中的費米子散射

文獻[10]中對于撓率的分析采用了撓率對洛倫茲群不可約表示的分解,將撓率分解為矢量部分和軸矢部分,由于Majorana 旋量的電荷共軛性質,導致撓率的矢量部分在散射振幅中沒有貢獻.我們發現如對無撓的自旋聯絡進行類似的分解,則Majorana 費米子和Dirac 費米子在無撓引力中的散射振幅的形式也會有區別.

采用4 標架場,在弱引力背景中,對費米子

其中Sbc是旋量表示下的洛倫茲生成元,

naμ是平直時空的標架,取笛卡爾坐標時標架可取為δaμ,使得

從(21)式中可以分離出相互作用的部分:

Aabc為Levi-Civita 聯絡

其中,fcab是標架矢量ea=eaμ?μ的結構系數,滿足

使用(26)式,作用量中的聯絡部分可以寫為

因此,作用量的相互作用部分可以寫為

其中,

借助Dirac 場算符的自由粒子展開

Majorana 場算符的自由粒子展開

以及初末態的歸一化

得到Dirac 費米子的微擾論最低階散射振幅為

而Majorana 費米子的微擾論最低階散射振幅為

把其代入Majorana 費米子的散射矩陣(35)式可得

對比兩種費米子的散射振幅可以得到

顯然,一般度規場對Dirac 粒子和Majorana 粒子的散射振幅是有差別的,這個差別在于某些特殊的度規給不出非零的結果,例如在文獻[10]中的Schwarzschild 度規場情形,但一般而言可以期望對稱性較低的度規場對于Dirac 粒子和Majorana粒子的散射是不同的;并且由(38)式,這種散射行為的差別是自旋極化依賴的,尤其是Dirac 粒子和Majorana 粒子自旋翻轉散射矩陣元的一般形式完全不同,可以據此計算其在具體度規場中的空間依賴形式的差別,作為引力場散射鑒別費米子類型的依據.

3.2 Kerr 時空對兩種費米子的散射振幅

Kerr 度規是由帶角動量的旋轉引力源產生的引力場度規,在宇宙空間較具普適性,小到天體、大至星系,星系團等其遠離源處的時空都可以近似用Kerr 度規描述.具體討論Kerr 度規的時空對Majorana 費米子和Dirac 費米子的散射振幅對于用引力散射鑒別費米子類型的研究具有特別的意義.

取具有軸對稱的廣義坐標,Kerr 度規可寫成

其中,

其中,a=J/M,J是引力源的自轉角動量.這里定義

相應的Kerr 漸近閔氏4 標架場為

其逆矩陣為

這里定義

以及簡略記號

在r很大的遠場情況,度規(39)式可近似為

將4 標架場遠場近似形式代入Dirac 費米子的散射振幅(34)式和(37)式中,第一項為

化簡得

對(55)式進行積分可得

其中,k=qf-pi.對(56)式第一項分部積分,由散射前后能量守恒,k0=0,得到

這里利用了平面波旋量波函數滿足的方程:

因此

散射矩陣的第二項為

對(60)式積分可得

散射矩陣第三項積分為

其空間積分可以分解為

而Majorana 費米子的散射振幅為

由此得到Kerr 度規的引力場對Dirac 費米子與對Majorana 費米子的散射振幅差別

顯然Kerr 引力源的角動量a=0 時,Kerr 度規退化為Schwarzschild 度規,對費米子的散射振幅也會退化到Schwarzschild 度規對費米子的散射振幅,MD-M退化為0.a0 時,非零的MD-M既給出Kerr 度規場對Dirac 費米子和Majorana 費米子的自旋翻轉散射概率的不同,又給出對不同費米子類型粒子的不同散射截面.無論是極化還是非極化,這個差別為|MD-M|2～(GMa)4,因而高GMa天體諸如脈沖星和旋轉黑洞對中微子的散射有望用來確定中微子的費米子類型.

4 總結和展望

Lai 和Xue[10]從撓率散射的角度分析發現了引力場對不同費米子類型的費米子散射差別在于引力場的矢量撓率,軸矢撓率對Dirac 費米子和Majorana 費米子的散射矩陣元相同.在絕對平行引力這種引力的撓率等效描述框架中,度規給出的引力場有相應的等效撓率,所以矢量撓率給出的不同費米子類型費米子的散射差別也可從相應的度規場散射給出,Kerr 度規引力場相應的撓率具有非零的矢量、軸矢和純張量部分.我們對于Kerr度規場的結果是對文獻[10]中矢量撓率散射結果的印證.但是度規場引力的撓率等效描述與廣義相對論的等價性事實上是建立在標量粒子度規作用和撓率作用的等價性上的,撓率與旋量的耦合的引入雖然保證了與旋量耦合的事實上是Levi-Civita聯絡,然而撓率與旋量還會產生直接作用,對于旋量,絕對平行引力與度規引力場的等價性還需要研究,因而度規場對費米子類型的分辨與撓率場對費米子類型的分辨是否一致需要進一步研究.

無論是本文中的Kerr 引力場散射還是文獻[10]中的撓率散射,都是微擾論最低價的結果.微擾論一階和高階結果需要進一步研究,對于微擾論一階以上的量子散射,由于散射矩陣元的Wick 收縮對Dirac 費米子和Majorana 費米子有不同的收縮結構,即使對于微擾論最低階不能分辨費米子類型的引力場,在微擾論高階上是否有費米子類型的依賴依然需要研究.另外本文和文獻[10]對全時空積分都用了弱引力近似,在后繼研究中將就強引力時空區域的積分貢獻進行討論.

本文確認了Kerr 度規引力場散射對費米子類型的分辨作用,為確定對費米子類型分辨起作用的其他引力場參數,可以考慮具有更加復雜對稱性的引力場對費米子的散射.本文證明Kerr 度規背景下Dirac 費米子和Majorana 費米子的散射振幅會有不同,而粒子在引力中的傳播可以看作粒子在傳播過程中不斷被引力場散射的過程,散射振幅的不同就會體現在粒子在引力場中的運動軌跡上,從而為通過引力場區分中微子的費米子類型提供了另外一種可能的方法.