研讀教材試題，提升中考解題能力
——一道甘肅中考壓軸題的命題與反思

顏天倫

(福建省晉江市毓英中學，福建晉江，362251)

二次函數的綜合題是中考的重點和難點，因為二次函數的圖象和性質的研究利用的是從簡單到復雜、從特殊到一般的方法，這些方法是認識事物規律的重要方法，是進一步學習的基礎；其次，利用二次函數解決實際問題是對學生實踐能力考查的良好載體，無論從基礎性還是綜合性方面都能贏得命題專家的青睞，因此教師要吃透學情和教材，研究考情，學會從“最近發展區”開始，逐步引導學生達到中考能力要求的制高點，這樣才能無往而不勝.

1 試題呈現

例1(2020年甘肅省定西市中考數學試卷第28題)如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx-2交x軸于A,B兩點，交y軸于點C，且OA=2OC=8OB.點P是第三象限內拋物線上的一個動點.

圖1

(1)求此拋物線的表達式；

(2)若PC//AB，求點P的坐標；

(3)連接AC，求△PAC面積的最大值及此時點P的坐標.

2 導問結合，分析探究

2.1 回歸基礎，立足教材

立足教材是中考命題的一個原則，給學生一個以退為進的探究平臺.

源題：(義務教育教科書九年級上冊第57頁綜合運用題)根據下列條件，分別確定二次函數的解析式：

(1)拋物線y=ax2+bx+c過點(-3,2),(-1,-1),(1,3)；

教師：如何求出二次函數的解析式？

學生1：設出二次函數的解析式y=ax2+bx+c，然后用待定系數法求解.

教師：回答得很好！就是用待定系數法，請同學們細心地代點列式.

教師：解答正確！注意用消元方法和轉化的思想求解，熟練運算，要求結果準確無誤.

教師：第(2)問中拋物線y=ax2+bx+c經過哪三點？

教師：題設雖然沒有直接給出拋物線經過的三點，但這位同學善于抓住“與y軸交點”等關鍵字眼，能敏銳地洞察出三點的坐標，真棒！你會求出解析式嗎？

教師：不錯不錯！在解答過程中一定要感受到待定系數法的實質就是運用方程思想.

2.2 類比思考，求同存異

教師：本題中如何求出拋物線經過的三點？切入點在哪里？

學生5：因為拋物線交y軸于點C，所以先求出C點的坐標，再根據OA=2OC=8OB，求得A,B兩點的坐標.

教師：是這樣的！切入點或者說突破口就是“拋物線交y軸于點C，其縱坐標即x=0時對應的y=-2”.

2.3 方程思想，化難為易

教師：點C是一個定點，已知PC//AB，告訴你一個怎樣的數學事實？

學生6：OC等于點P到AB的距離，即點P的縱坐標和點C的縱坐標相等.

教師：能通過觀察發現一個幾何等量關系，太好了！如何求出點P的橫坐標？

教師：反思我們求解的困難在哪里？兩條平行直線間的距離相等，其實你畫出AB平行的直線y=-2后，直觀理解為此直線與拋物線的交點也可以.

2.4 由淺入深，循序漸進

教師：連接AC，因為沒有一個直接求三角形的面積的條件是已知的，所以要求△PAC面積，你會想到什么？

學生8：采用分割法.

教師：對！這就是今后我們遇到求拋物線內接三角形面積時應該掌握的方法之一，如何分割求面積？

學生9：過點P作x軸的垂線，垂足為D，交線段AC于點E.這樣把△PAC分割為兩個三角形△APE和△PEC.

教師：分割得很好.依以往解題經驗，兩個三角形的底和高分別是什么？

學生10：過點C作CM⊥PE，M為垂足.這樣就找到了△PEC的高CM，由于CM=DO，所以兩個三角形有同底PE，高分別是AD和OD.

圖2

教師：棒極了！求解線段長時必須設法把它化歸到(或構造)某個平面圖形中，或者盡可能轉化在容易求出線段長的平面圖形中，然后去求解.想一想：點P的直角坐標如何設？

教師：設得好！請問m的取值范圍是什么？

學生12：-4

教師：點E的坐標如何求？

教師：上述的這些推演都是為求出兩個三角形的底和高作鋪墊.想一想：此問題中，三角形的底和高分別是什么？

教師：推演方法完全正確.接下來點P的坐標如何求？

教師：至此我們在教材內容基礎上，采用分割的方法求出了面積目標函數，進而利用二次函數求最值的方法完成目標任務.問題綜合性強，內涵豐富，思維量大，選拔功能不言而喻.

3 不同視角，發散思維

由于學生的知識結構、認知水平、能力大小不一，所以從審題到解題方法的運用都千差萬別，使用的方法不可能整齊劃一，總是繁簡有別，所以在解題教學中，培養靈活運用知識分析求解問題的能力，尤其是準確而又迅速地解決問題的能力很重要.

視角一

教師：過點C作AB的平行線分割三角形，又如何來布列面積目標函數？

學生17：此時過C的平行線CF把△PAC分割為兩個三角形△ACF和△PCF.

圖3

教師：很好！請繼續講.

學生18：先求出直線AP的解析表達式，再將y=-2代入求得點F的坐標.

教師：請大家做一做，然后說出結果.

學生19：設直線AP的解析式為y=kx+b，則將點A(-4,0)代入，得b=4k，即y=k(x+4).

教師：請寫出△PAC的面積的表達式.

教師：運算推理正確.從面積結果看還需求出線段FC和PD的長，如何求出它們的長？

教師：得出這兩個結果，運算量都很大，表現出同學們極大的耐力和運算能力.請繼續進行演算.

教師：從過程來看，由于直線AP不好確定，進而點F不好確定，尤其是點P的坐標的難以確定，運算量比較大，容易出錯.與沿平行y軸的直線分割的思維相比較復雜.

視角二

教師：在直角三角形AOC中能否求出AC=？

教師：殊途同歸，如何求△PAC面積？

教師：現在三角形的一邊長AC是定值，要使△PAC面積最大，只需△PAC底邊AC上的高最長，即點P到AC的距離最大.這個過程中用到了一個點到直線距離公式，求解更簡捷，這是將來上高中以后繼續學習和掌握的方法(此處略)，正如唐朝詩人王之渙說：“欲窮千里目，更上一層樓.”

4 教學反思與建議

面對閱卷中存在的問題和諸多空白卷，教師需要進行教學反思.

(1)一次函數和二次函數的性質一直是中考命題的熱點與重點，綜合應用是學習的難點，解題的關鍵是熟練掌握二次函數和一次函數的性質，注意利用數形結合的思想進行解題.教師需要在立足教材基礎上，對教材題不斷地由淺入深進行改編和拓展，以不變應萬變；需要在綜合題、教學方法的改進上不斷創新，有效地將學術形態的數學知識轉化為教育形態的數學知識，進一步提升能力.

(2)在教學中，教師應該在設計問題、組織內容和提問上下功夫，讓學生親身體會為什么要用分割法？分割有哪些方法？引導學生分析解題方法的優劣，讓學生牢固掌握自己理解的方法.以三角形內接于拋物線的綜合題比比皆是，解題教學重視轉化的過程，培養學生觀察發現、大膽分割、細心轉化、精于計算、合作交流的精神，這符合創新意識和創新精神的培養，從根本上改變“注入式”“灌輸式”教學.

(3)教師要在轉化能力、運算能力、邏輯推理能力上狠下功夫.通過觀察課堂和學生的互動發現學生能根據基本數學活動經驗進行解答，雖然在方法的選取上趨向一致(分割法)，但運算上略有不足，所以教師在以后的教學中要精心設計教學過程，“授人以漁”，善于化整為零，各個擊破，多把總問題分解成多個讓學生能夠墊墊腳摸得到、想得來的小問題，多滲透轉化思想和數形結合的思想方法，以貼近學生認知為目標去啟發，靈活運用所學知識提高學生的解題能力，進而促進學生核心素養的提升.